江苏省南京市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(含答案)

1 高高 一一 数数 学第一学期期末调研测试卷学第一学期期末调研测试卷 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置分请把答案填写在答题卡相应位置 上上 1已知集合 Mx|0x2，N1，0，1，2，则 M N 2计算：lg4lg5 2 的值是 3函数 f(x)(x2) 1 2 的定义域是 4已知 tan2，则 tan( 4) 的值是 5若函数 f(x)cosx|2xa| 为偶函数，则实数 a 的值是 6已知向量 a(1，2)，b(2，1)若向量 ab 与向量 kab 共线，则实数 k 的值是 7已知角 的终边经过点 P(12，5)，则 sin()cos() 的值是 8已知函数 f(x) log2(2x)， x1， 2x，x1， 则 f (2)f (log23) 的值是 9在ABC 中，若 tanA1，则角 A 的取值范围是 10在平行四边形 ABCD 中，AB a，ADb若|a|2，|b|3，a 与 b 的夹角为 3，则线段 BD 的长度为 11已知 (0， 2)，且满足 sin23cos2 sincos 2，则 tan 的值是 12已知函数 f(x)sin(x 3) (0)，将函数 yf(x) 的图象向左平移 个单位长度后，所得图象 与原函数图象重合，则 的最小值是 13如图，已知函数 f(x)的图象为折线 ACB (含端点 A，B)，其中 A(4，0)，B(4，0)， C(0，4)，则不等式 f(x)log2(x2) 的解集是 14若 m0，且关于 x 的方程 (mx1)2m x 在区间 0，1 上有且只有一个实数解，则实数 m 2 的取值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分请在答题卡指定区域内分请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤 作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 已知向量 a(1，2)，b(3，4) （1）求向量 ab 与向量 a 夹角的大小； （2）若 a(ab)，求实数 的值 16 （本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)Asin(x) ( A0，0，0) 的图象如图所示 （1）求 A， 的值； （2）若 x 2， 12，求 f(x)的值域 (第 16 题图) y x 6 12 2 O 3 17 （本小题满分 14 分） 已知 sin4 3 7 ，( 2，0) （1）求 cos( 4)的值； （2）若 sin()3 3 14 ，(0， 2)，求 的值 18 （本小题满分 16 分） 如图，已知 OPQ 是半径为 1，圆心角为 3 的扇形，点 A 在弧 PQ 上(异于点 P，Q)，过点 A 作 ABOP，ACOQ，垂足分别为 B，C记AOB，四边形 ACOB 的周长为 l （1）求 l 关于 的函数关系式； （2）当 为何值时，l 有最大值，并求出 l 的最大值 O P Q A B C （第 18 题图） 4 19 （本小题满分 16 分） 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，且AE 2EBM 是线段 CE 上一动点 （1）若 M 是线段 CE 的中点，AM mABnAD，求 mn 的值； （2）若 AB9，CA CE43，求 (MA2MB)MC 的最小值 20 （本小题满分 16 分） 如果函数 f(x)在定义域内存在区间a，b，使得该函数在区间a，b上的值域为a2，b2，则称函 数 f(x)是该定义域上的“和谐函数” 南京清江花苑严老师 （1）求证：函数 f(x)log2(x1)是“和谐函数”； （2）若函数 g(x) x21t (x1)是“和谐函数” ，求实数 t 的取值范围 M E D C BA (第 19 题图) 5 高一数学参考答案高一数学参考答案 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分 10，1 21 32，) 43 50 61 7 7 13 85 9( 4， 2) 10 7 113 122 13(2，2) 14(0，13，) 注：第注：第 1、3、13 题的答案必须是集合或区间形式，第题的答案必须是集合或区间形式，第 9、14 题可以用不等式表示；其它题严格按标 准执行。 题可以用不等式表示；其它题严格按标 准执行。 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分分 15 （本小题满分 14 分） 解解 （1）因为 a(1，2)，b(3，4)，所以 ab(2，6)， 所以|ab| (2)2622 10，|a| 5， (ab)a21210 4 分 记向量 ab 与向量 a 的夹角为 ， 从而 cos (ab)a |ab|a| 2 2 6 分 因为 0，所以 4， 即向量 ab 与向量 a 的夹角为 4 8 分 （2）因为 a(ab)，所以 a(ab)0， 即 a2ab0， 所以 5 (38)0， 12 分 解得 1 14 分 注：第注：第(1)问问 8 分，计算出数量积分，计算出数量积 2 分，求两个向量模各分，求两个向量模各 1 分，求夹角余弦分，求夹角余弦 2 分，求出角分，求出角 2 分，不交 代向量夹角的范围或错误扣 分，不交 代向量夹角的范围或错误扣 1 分；第分；第(2)问问 6 分，列出关系式分，列出关系式 4 分，解出分，解出 得得 2 分分 16 （本小题满分 14 分） 解解（1）设函数 f(x)的最小正周期为 T，由图象知：A2，1 4T 6( 12) 4， 所以周期 T，从而 2 T 2 4 分 因为函数图象过点( 12，2)，所以 sin( 6)1 6 因为 0，所以 6 6 5 6 ， 所以 6 2，解得 2 3 因此 A2，2，2 3 8 分 （2）由（1）知 f(x)2sin(2x2 3 ) 因为 x 2， 12，所以 32x 2 3 5 6 ， 10 分 所以 3 2 sin(2x2 3 )1， 从而函数 f(x)的值域为 3，2 14 分 注：第注：第(1)问问 8 分，指出分，指出 A 得得 1 分，求出周期得分，求出周期得 2 分，求出分，求出 得得 1 分，列出求分，列出求 的关系式的关系式 2 分，求 出 分，求 出 得得 2 分， ；第分， ；第(2)问问 6 分，指出相位范围得分，指出相位范围得 2 分，求出分，求出 sin(2x2 3 )的范围得的范围得 2 分，求出值域得分，求出值域得 2 分分 17 （本小题满分 14 分） 解解（1）因为 sin4 3 7 ，( 2，0)， 所以 cos 1sin2 148 49 1 7 2 分 从而 cos( 4)cos 4cossin 4sin 2 2 1 7 2 2 (4 3 7 ) 24 6 14 6 分 （2）因为 ( 2，0)，(0， 2)， 所以 ( 2， 2) 8 分 因为 sin()3 3 14 ， 所以 cos() 1sin2() 1(3 3 14 )213 14 10 分 从而 sinsin()sin()coscos() sin 3 3 14 1 7 13 14 ( 4 3 7 ) 3 2 12 分 因为 (0， 2)，所以 3 14 分 7 法二法二:因为因为 sin()3 3 14 ，所以，所以4 3 7 cos1 7sin 3 3 14 8 分 从而有从而有 2sin8 3cos3 3，又，又 sin2cos21， 解得解得 cos1 2， ，sin 3 2 或或 cos23 98， ，sin55 98 3(舍去舍去) 12 分 因为因为 (0， 2)，所以 ，所以 3 14 分 注：第注：第(1)问问 6 分，求出分，求出 cos 的值得的值得 2 分分(公式公式 1 分，结果分，结果 1 分分)，求，求 cos( 4 )共共 4 分，分，(公式公式 2 分， 结果 分， 结果 2 分分)；第；第(2)问问 8 分，指出分，指出 的范围列出关系式的范围列出关系式 2 分，求出分，求出 cos()得得 2 分，求出分，求出 sin 得得 2 分分 (公式公式 1 分，结果分，结果 1 分分)，最后根据，最后根据 的范围，求的范围，求 的值的值 2 分分 第第(2)问，用解法二，列出关系式得问，用解法二，列出关系式得 2 分，解出两解，每一组解分，解出两解，每一组解 2 分，若列出方程直接得出分，若列出方程直接得出 sin 与与 cos 之一，并没有消元的过程，最后结果正确，扣之一，并没有消元的过程，最后结果正确，扣 4 分，仅给分，仅给 4 分。分。 18 （本小题满分 16 分） 解解（1）在直角三角形 OAB 中，因为 OA1，AOB， 所以 OBcos，ABsin 2 分 在直角三角形 OAC 中，因为POQ 3，所以AOC 3， 从而 OCcos( 3)，ACsin( 3) 4 分 所以 lsincossin( 3)cos( 3)，(0， 3) 7 分 （2）由（1）知，lsincossin( 3)cos( 3) sincos( 3 2 cos1 2sin)( 1 2cos 3 2 sin) 31 2 sin 33 2 cos ( 31)(1 2sin 3 2 cos) ( 31)sin( 3)，(0， 3) 12 分 因为 (0， 3)，所以 3( 3， 2 3 )， 所以 当且仅当 3 2，即 6 时，l 取得最大值 31 答：答：当 6 时，l 取得最大值，最大值为 31 16 分 注：第注：第(1)问问 7 分，求出分，求出 OB，AB，OC，AC 各各 1 分，写出分，写出 l 的表达式的表达式 2 分，定义域分，定义域 1 分；分； 8 第第(2)问问 9 分，将分，将 l 化为化为( 31)sin( 3)得 得 5 分，求出最值分，求出最值 3 分，答分，答 1 分分 19 （本小题满分 16 分） 解解（1）因为 M 是线段 CE 的中点，AE 2EB， 所以AM AEEMAE1 2EC AE1 2(AC AE)1 2(AC AE) 1 2(AB AD2 3AB )5 6AB 1 2AD mABnAD， 因为AB 与AD不共线， 所以 m5 6，n 1 2，则 mn 4 3 7 分 （2）在矩形 ABCD 中，CA ABAD，CECBBEAD1 3AB ， 所以CA CE(ABAD) (AD1 3AB )1 3AB 24 3AB ADAD2 1 3AB 2AD2 因为 AB9，CA CE43，所以1 3AB 2AD21 39 2AD 243， 解得|AD |4，即 ADBC4 在 RtEBC 中，EB3，BC4，则 EC5 11 分 因为AE 2EB， 所以MA 2MB(MEEA)2(MEEB)3MEEA2EB 3ME 13 分 设 MEt，0t5 所以(MA 2MB) MC3ME MC3t (5t)3(t25t)3(t5 2) 275 4 ，0t5 因此当且仅当 t5 2 时，(MA 2MB) MC 有最小值75 4 ， 从而(MA 2MB)MC的最小值为75 4 16 分 解法二解法二:建立如图直角坐标系，则建立如图直角坐标系，则 A(0，0)， E(6，0)，B(9，0)，设，设 C(9，m)，m0 则则CA ( 9，m)，CE ( 3，m)， M E D C BA (第 19 题图) 9 CA CE27 m243，所以，所以 m4 3 分分 所以所以 C(9，4)，因为，因为 M 在线段在线段 CE 上，上， 设设CM CE，0 1M(x，y)，则，则CM (x 9，y4)，CE ( 3，4)， x93，y44，所以，所以 x93，y44即即 M(93，44) 5 分分 所以所以MA (3 9，44)，MB (3， ，44) MA 2MB(9 9，1212)，MC (3， ，4)， (MA 2MB) MC272 274824875(2) 75(1 2) 2 75 4 ，01 8 分分 所以当且仅当所以当且仅当 1 2时， 时，(MA 2MB) MC有最小值有最小值75 4 ， 从而从而(MA 2MB) MC 的最小值为的最小值为75 4 9 分分 注：第注：第(1)问问 7 分，将分，将AM 用用AB 与与AD 线性表示，得线性表示，得 4 分，指出分，指出 m，n 并求出并求出 mn 的值的值 3 分，不交代分，不交代 AB 与 与AD 不共线，扣 不共线，扣 1 分；分； 第第(2)问问 9 分，求出分，求出 AD 的长得的长得 3 分，求出分，求出 EC 的长得的长得 1 分，得出分，得出MA 2MB 3ME 得 2 分，得 2 分， 列出列出(MA 2MB) MC 的函数关系式得的函数关系式得 2 分，求出最值得 分，求出最值得 1 分分 用坐标法用坐标法(解法二解法二)，求出，求出 C 点坐标点坐标(即求出即求出 m 值值)得得 3 分，得出分，得出 M 点坐标得点坐标得 2 分，分， 列出函数关系式得列出函数关系式得 3 分，求出最值得分，求出最值得 1 分分 20 （本小题满分 16 分） 解解（1）函数 f(x)log2(x1)的定义域为(1，)，且在(1，)上单调递增 考察函数 F(x)f(x)x2log2 (x1)x2，x(1，) 因为 F(0)log2 100，取 a0，则 F(a)0，即 f(a)a2； 2 分 F(1)log2 210，取 b1，则 F(b)0，即 f(b)b2 4 分 因为 f(x)在a，b上单调递增， 所以 f(x)在区间a，b上的值域为f(a)，f(b)，即为a2，b2 10 所以函数 f(x)log2 (x1)是(1，)上的“和谐函数” 6 分 （2）任取 x1，x21，)，