理解矩阵的概念掌握一些特殊矩阵及其性质.doc

19第二章 矩阵要求：1） 理解矩阵的概念。掌握一些特殊矩阵及其性质，如零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵等；2） 掌握矩阵的基本运算及其运算规则，如线性运算、乘法运算、矩阵行列式运算等； 3） 理解逆矩阵概念，掌握逆矩阵性质及矩阵可逆的充分必要条件，了解伴随矩阵概念；4） 掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。5）掌握矩阵的分块运算。2.1 矩阵知识点：矩阵的定义，一些特殊矩阵定义1（矩阵） 由 个实数排成的一个 m行n列的矩形数表，称之为 矩阵，位置（ ,）上的元素，一般用表示（强调两个足标的意义）。矩阵可简记为 或 或 .例1 含有n个未知数、m个方程的线性方程组 把和按原顺序可以组成一个矩阵： 。 任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述；反之，一个矩阵也完全刻划了一个方程组。如 已知某方程组对应于下列矩阵 。写出该方程组，方矩阵 若 ，称A为阶（方）矩阵，也可记作 . （强调矩阵的（主）对角线，）而 称之为对角元素；（反主对角线）。当 时，即 ， 此时矩阵退化为一个数.同型矩阵 具有相同行数和相同列数的矩阵，称之为同型矩阵。矩阵相等 若同型矩阵和在对应位置上的元素都相等，即 零矩阵 所有元素都为零的矩阵，称之为零矩阵。一般记作O；或 . 注意，不同型的零矩阵是不相等的。三角矩阵 设是 阶矩阵。1）若的元素满足 ，称是上三角矩阵； 2）若的元素满足 称是下三角矩阵； 和 。对角矩阵 若元素满足 ；其形状是 ，记作 .数量矩阵：对角元素为常数的对角矩阵，记作 K， 即 K = 单位矩阵 对角元素为1的对角矩阵，记作 或 （阶），即。零矩阵和单位矩阵在矩阵运算中所起的作用类似于0和1在数的运算中所起的作用。2.2 矩阵的基本运算知识点：矩阵的加（减）法、数乘、乘法、转置和矩阵的行列式；伴随矩阵。一、 加（减）法定义2 （矩阵加法）设 和 是 的矩阵，A与B的加法（或称和），记作A+B，定义为一个 的矩阵 .例2 设 , , ，计算 ；若已知 ， 求出 .负矩阵 设 ，称矩阵 为矩阵A的负矩阵。矩阵的减法: 由定义，容易验证矩阵的加法满足下列运算法则（其中为同型矩阵）。（1） 交换律 （2） 结合律 （3） （4） 二、 数乘定义3 （矩阵数乘） 数与矩阵的乘积（称之为数乘），记作 或，定义为一个 的矩阵 。由定义，数乘运算满足下列运算法则（设是同型矩阵，是数）：（1） 数对矩阵的分配律 （2） 矩阵对数的分配律 （3） 结合律 （4） 例3 设 ，且 求矩阵.三、 乘法定义4 （矩阵乘法） 设是一个矩阵，是一个矩阵，A与B的乘法，记作AB，定义为一个 的矩阵 ，其中 .由定义，不难看出（强调）：（1） 只有在左矩阵A的列数和右矩阵B的行数相等时，才能定义乘法AB；（2） 矩阵C=AB的行数是A的行数，列数则是B的列数；（3） 矩阵C=AB在 位置上的元素等于A的第行元素与B的第列对应元素的乘积之和。例4 设矩阵 ， .求 和 .例5任何一个矩阵A与单位矩阵I的乘积仍然等于该矩阵A（假如乘积有意义），即 A I = I A = A。如 例6 设是的矩阵（行向量），是的矩阵（列向量），即，求 和 .例如 ， 则 ， 而 。 .例7 设矩阵 , 求 和 .解 ; .上述几个例子显示，当有意义时，不一定有意义（例4）；即使和都有意义（例6），且有相同的矩阵阶数（例7），和也不一定相等。因此矩阵乘法不满足交换律(对一般情况而言)。若两个矩阵和满足 则称矩阵和是可交换的，如1）单位矩阵与任何（同阶）矩阵可交换，即成立 。2）任何两个对角矩阵也都是可交换的。（作为习题）3）一个矩阵与任何（同阶）矩阵可交换的当且仅当该矩阵为数量矩阵。（作为习题） 例7 还显示，当 时，不能推出或。进一步，当，且时，推不出。这表明矩阵乘法也不满足消去律。但矩阵乘法仍满足分配律和结合律：（1） 分配律 ； 。（2） 结合律 。（3） 数乘结合律 , 其中 是一个数。（4） 。证明矩阵相等的方法：(I) 左右矩阵为同型；(II) 左右矩阵在对应位置上的元素相等。（2）的证明 设是矩阵，是矩阵，是 矩阵，则 是矩阵，且；而是矩阵，且，从而和都是矩阵。再记 ，。只需证故 即可。 例8 设矩阵、是上（下）三角矩阵，则 亦是上（下）三角矩阵；且 的对角元素等于、对角元素的乘积。特别，对角矩阵的积仍是对角矩阵。证明：记 ，则 ，只要证明 ，并 。如 ， ， 矩阵的幂 设是阶矩阵，定义：,其中，是正整数；特别规定 . 由于乘法成立分配律结合律，有 ，但由于不成立交换律，故一般 。例9 设矩阵 , 求 和 。（把A推广到一般n阶矩阵）四、 转置运算定义5 (转置矩阵) 设 ， 将的行和列对应互换得到的矩阵，定义为A的转置矩阵，记作，。由定义可知，即在位置上的元素是矩阵A在位置上的元素。 例10 设矩阵 ,求 ， 和 。上述例子成立 ，而并不成立。 这是转置运算的性质。 矩阵的转置满足下列运算法则：（1） ；（2） ；（3） 是数；（4） 定义6 (对称矩阵) 设是 阶矩阵。若其元素满足：， 若其元素满足：， 则称是反对称矩阵。此时成立 。例如是一个对称矩阵，而 是一个反对称矩阵。显然，对角矩阵一定是对称矩阵。下面是（反）对称矩阵的一些基本性质。性质1 设，为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。但注意，此时 不一定是（反）对称矩阵。例如 ，但 不是对称矩阵。 下列性质的证明都可按对称矩阵的定义证得。性质2 设、是对称矩阵，则（或）是对称矩阵的充分必要条件。性质3 设为（反）对称矩阵，则 也是（反）对称矩阵。性质4 对任意方矩阵，则， 分别是对称矩阵和反对称矩阵；且 。五、 矩阵的迹和行列式定义7 (矩阵的迹与行列式) 设是阶矩阵，称 为矩阵A的迹；称 为矩阵的行列式，记作 | 或det(。性质1 （提示矩阵乘法交换律不成立） 性质2 （由行列式性质1）性质3 （由矩阵的数盛和行列式性质3）例如 ，即 。而 ，即= 成立。初学者容易犯的一个错是：。性质4 。证明 以阶矩阵来证明。 构造6阶（即阶）行列式： .由例1.11 , ； 另一方面，对做下列变换：第一步： 消去 。第二步、地三步： 消去 和 再进行行的交换，于是 。再由例1.11，得到 , 从而结论成立。定义8 ( 伴随矩阵 ) 设，由行列式 | 的代数余子式 所构成的矩阵 ，称之为矩阵的伴随矩阵。注意到，伴随矩阵在位置上的元素是矩阵在位置上的代数余子式。例如， 的伴随矩阵是 。定理1 成立证明 记 ，由矩阵的乘法，展开定理1.3及推论1.3，得 。 例11 求矩阵 的伴随矩阵。解 。 并 ；注意到。同理可验证 。2.3 逆矩阵知识点：逆矩阵的定义，逆矩阵存在的充分必要条件。一、逆矩阵定义9（逆矩阵） 设是阶矩阵，若存在矩阵，使得，则称矩阵是矩阵的逆矩阵；并称是可逆矩阵（或称矩阵是可逆的）。例如 ，则 是的逆矩阵。 性质1 逆矩阵是唯一的。 如此，可用 来表示的逆矩阵。证明 设，均是的逆矩阵，则。 定理2 矩阵是可逆的充分必要条件是其行列式 ；且在 时，。证明 必要性 由，故 .充分性 由定理1， 。 由于，。有时称可逆矩阵为非奇矩阵；称不可逆矩阵（即时）为奇异矩阵。例12 求矩阵 的逆矩阵。解 按定理1，只需求出的伴随矩阵。由例11，我们已有的伴随矩阵，于是 =。推论2 若（或），则非奇，且。证明 因为 ，故 ，从而 存在。于是。 例13 已知矩阵A满足 ，证明 均可逆；并求 证明： 利用逆矩阵求方程组的解。记，根据矩阵乘法，方程组可以写成下列矩阵形式，, 其中，称为方程组的系数矩阵。若，则 存在，可得方程组的解 .例14 求方程组的解 解 = 。 性质2 若非奇，则 亦非奇，且.性质3 若非奇，则 亦非奇，且.性质4 若、非奇，则 亦非奇，且.性质5 若非奇，则 亦非奇，且.性质6 若非奇，则 . （因为）矩阵的负幂 设，定义 。例15 设矩阵是对角矩阵，求其逆矩阵。2.4 矩阵的分块知识点：分块的目的，一些特殊结构矩阵的分块运算。把一个矩阵看成是由一些小矩阵组成的，有时会对一些具有特殊结构的矩阵的运算带来方便，如乘法和求逆等。而在具体运算时，则把这些小矩阵看作数一样（按运算规则）进行运算。这种把一个矩阵划分成一些小矩阵，就是所谓的矩阵分块。 设我们对与进行不同形式的划分，来进行与的基本运算。划分一、把矩阵与分别分划成4个小矩阵：， 现在我们对矩阵进行乘积运算，把这些小矩阵看作数一样来处理，按乘法运算规则， = 计算出 ，和 ，可得.同样，我们也可以进行加法、数乘的运算： ，。划分二、把矩阵与按下列形式划分成4个小矩阵：，其中 ， ，；， ，。按这种划分进行乘法运算，即 = ， 此时所有的小矩阵乘积运算都是没有定义的。划分三、对矩阵的划分不变，而的划分改成为： ， ，。此时的运算也可以按分块形式进行： = ，但此时小矩阵之间的乘法运算并没有给我们带来方便，不如划分一这样简单。因此在对矩阵进行分块运算时，特别是乘法运算和求逆运算，矩阵的划分一定要注意到：1）矩阵的行列对应，以保证小矩阵的运算可以进行。2）针对矩阵的结构进行划分，以给运算带来方便。例16 设 是一个（）阶矩阵，按下列形式划分成4个小矩阵， ，其中、分别是阶和阶的非奇矩阵，求。解 设 ，根据 ，得 . 特别，当时，有 .例17 设 ， 求。这些结论可以推广到一般情况：称为块下三角矩阵，其逆矩阵（若存在的话）一定也是块下三角矩阵。下列形式的矩阵称之为块对角矩阵，成立。矩阵的一种重要划分是所谓的按列划分和按行划分。设是一个矩阵把矩阵的每一列看成是一个的小矩阵，于是可以写成； 类似地，把矩阵的每一行看成是一个的小矩阵，于是可以写成。 2.5 矩阵的初等变换知识点：初等变换、初等矩阵，化矩阵为行阶梯型、行最简型以及标准型（强调要用列变换了）；矩阵的等价与矩阵等价于标准型。一、引例 - 线性方程组的Gauss 消元法 线性方程组的矩阵形式： A 增广矩阵： 例18 用Gauss消元法求解线性方程组解 消元 ： （同时对增广矩阵作同样变换）消元结束。再回代。 可得到方程组的解为 也可以继续消元： （同时对增广矩阵作同样变换） 对方程组用了以下三种变换：1）互换两个方程的位置；2) 用一个不等于零的数乘某一个方程；3) 某一个方程加上另一个方程的倍。相应地矩阵也有上述三种变换。施行这三种变换不会改变方程组的同解性。二、矩阵的初等变换定义11（初等变换） 矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：(1) 对换：互换矩阵中两行（列）的位置；(2) 倍乘：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；(3) 倍加：矩阵的某一行（列）元素加上另一行（列）对应元素的倍；（注意：另一行的元素并没有改变）例19 用初等行变换化矩阵A为上三角形矩阵 行阶梯形矩阵是指满足下列两个条件的矩阵：(1) 矩阵的零行（元素全为零的行）全部位于非零行的下方；(2) 各个非零行的左起第一个非零元素的列序数由上至下严格递增。例如，矩阵是一个行阶梯形矩阵，下列矩阵则不是行最简形矩阵：若行阶梯形矩阵还满足(1) 所有非零行的左起第一个非零元素均为1；(2) 各个非零行的左起第一个非零元素所在的列的其余元素都是零。 还可进一步通过行初等行变换化为 定理3 任意一个非零矩阵总可经过行初等变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。证明 因，在A的第一列元素中找一个非零元素，若全为零，则在第二列中找，依此类推。不妨设，对A施行初等行变换，得如果，则A已化为行阶梯形，如果，同样在的第一列元素中找第一个非零元素，若全为零，则在第二列中找。不妨设，重复上述步骤，必可得到矩阵.其中，都不等于零。故得到A的行阶梯形矩阵，再施行初等行变换，得， 即为行最简形矩阵。例20 化下列矩阵为行阶梯形矩阵，及行最简形矩阵： （1）； （2）定义12（初等矩阵）对单位矩阵I施行一次初等变换后得到的矩阵，称为初等矩阵。1对换矩阵 记为。2倍乘矩阵 记为, 其中 。3倍加矩阵 记为, 第i行加上第j行的k倍，或等价地说，第j列加上第i列的k倍，例如：性质1 初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆阵也是同类初等矩阵，； ； 。 性质2 初等矩阵的转置仍是同类初等矩阵，； ； 。性质3 对矩阵A施行一次行初等变换相当于用一个同类阶初等矩阵左乘A；而施行一次列初等列变换相当于用一个同类阶初等矩阵右乘A。例21 验证：三、 矩阵的等价定义13（矩阵等价） 若矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B，则称A与B等价，记为。 或 。矩阵等价的三个性质：(1) 自反性：对任一矩阵A，有；(2) 对称性：若，则 ；故 。(3) 传递性：若，则 。证明：（3） A与C等价 。由定理3，任意一个矩阵均可与行阶梯形矩阵等价，也可与行最简形矩阵等价（强调可以是行等价）。进一步，还可有：定理4 任意一个非零矩阵都可经初等变换化为下列形式的矩阵（强调要用列变换） 称为矩阵A的标准形矩阵。即任意一个非零矩阵与它的标准形矩阵是等价的。证明 在行最简型基础上再施行列初等变换即可。 例22 化矩阵为标准形。解 定理5 对任意一个非零矩阵，一定存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得。证明 由定理4，有，记，即可，定理6 (1) 阶可逆矩阵A的标准形为单位矩阵。(2) 任意阶可逆矩阵A可表示为一系列初等矩阵乘积。(3) 任意阶可逆矩阵A仅经行初等变换即可化为单位矩阵。证明 (1)