周期信号的频谱分析.ppt

2.2 周期信号的频谱分析 傅里叶级数 2.2.1 正交函数 1、正交矢量 垂直投影 x y 斜投影 xx y y 当 =90，称x与y相互垂直的矢量为正交矢量。 将一个平面中的任意矢量在直角坐标中分解为两个 正交矢量的组合。把相互正交的两个矢量组成一个二维 的“正交矢量集”。在此平面上的任意分量都可用二维正 交矢量集的分量组合来表示。 可推广应用于n维信号矢量空间。 v 1 2正交函数 假定，要在区间t1，t2内用函数x2(t)近似表示x1(t) x1(t) c12x2 t) 这里的系数怎样选择才能得到最佳的近似？我们选择 误差的方均值（或均方值）最小，这时，可以认定已 经得到了最好的近似。均方误差定义为 2 上式表示x1(t)有x2(t)的分量，此分量的系数是c12。如 果c12等于零，则x1(t)不包含x2(t)的分量，这种情况称 为：x1(t)与x2(t)在区间 t1，t2 内正交。得出两函数在 区间 t1，t2 内正交的条件是 【例2-2】 试用正弦函数sint在区间 0，2 内来 近似表示余弦函数cost。 解：显然，由于 cost与sint两函数正交。 3 【例2-3】设矩形脉冲x (t)有如下定义 波形如图，试用正弦波sint在区间 0，2 内近似表 示此函数，使均方误差最小。 解：函数x(t)在区间 0，2 内近似为 x(t) = c12 sin t 为使均方误差最小，c12应满足 4 5 3. 正交函数集 定义：假设有n个函数g1(t)，g2(t)，gn(t)构成的 一个函数集，这些函数在区间 t1，t2 内满足如下的正交 特性 其中ki为常数，则函数序列g1(t), g2(t), g3(t), , gn(t)是t1 ，t2区间上的正交函数集。 三角函数序列cos1t , cos21t , cos31t , , cosn1t , ， sin1t , sin21t , sin31t , sinn1t , 为区间0, 2/1上的正交函数集。 6 令任一函数x(t)在区间 t1，t2 内由这n个互相正交的函 数线性组合所近似，表示式为 x(t) = c1 g1(t) + c2 g2(t) + + cn gn(t) 为满足最佳近似的要求，可利用均方误差最小的条件 求系数c1，c2，cn。均方误差表示式为 7 4、完备正交函数集 定义一 :如果用正交函数集 gi(t)在区间 t1，t2 内近 似表达函数x(t)，即 x(t) = c1 g1(t) + c2 g2(t) + + cn gn(t) 若令n，其均方误差的极限等于零 则此正交函数集为完备正交函数集。 如果对某一正交函数集ki = 1，称此正交函数集为“归一 化正交函数集”。 8 定义二 如果在正交函数集g1(t)，g2(t)，gn(t)之外 ，不存在函数f(t)满足等式 则此函数集称为完备正交函数集。 常用的完备正交函数集有 （1）三角函数 1，cos1t， cos21t， ，cosn1t sin1t，sin21t， ，sinn1t （2）复指数函数 e jn1, n=0, 1, 2, （3）沃尔什函数 Wal(k, t) 9 数学上可以证明，当函数x(t)在区间t1 t2内具有连 续的一阶导数和逐段连续的二阶导数，x(t)可以用完备的 正交函数集来表示，这就是所谓的函数“正交分解”。 对于任意周期信号x(t) = x(t + nT1) ，在满足狄里赫 利条件下，可展成傅里叶级数。狄里赫利条件： 1）在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个； 2）在一个周期内，极大值与极小值的数目应是有限 个； 3）在一个周期内，信号是绝对可积的，即 10 三角形式的傅里叶级数，即将周期信号展成不同频 率的正弦或余弦三角函数的线性组合。即 x(t) = a0 + a1cos1t + b1sin1t + a2cos21t + b2sin21t + + ancosn1t + bnsinn1t + 根据三角函数的正交性，满足如下关系： （所有的m,n） 2.2.2 周期信号的频谱分析傅里叶级数 1. 三角函数形式的傅里叶级数 2/T1=1 11 直流分量 余弦分量 正弦分量 积分区间t0 ，t0+T1，可取为0，T1或T1/2，T1/2。 也可写成另一种形式: 或 12 两者的关系: a0 = c0 = d0 cn = dn = (an2 + bn2 )1/2 an = cn cosn = dn sinn bn = cn sinn = dn cosn 13 傅里叶级数的公式表明： （1）等式左端为一复杂信号的时域表示，右端则是 简单的正弦信号的线性组合，利用傅里叶级数的变换， 可以把复杂的问题分解成为简单问题进行分析处理。 （2）虽然左端是信号的时域表达式，右端是信号的 频域表示，但表示的是同一信号，是完全等效的。 （3）任意周期信号可以分解为直流分量和一系列交 变分量的相加。1为信号的基频，相应的分量为基波， 其他交变分量则为谐波，其频率必定是基频的整数倍。 （4）直流分量的幅度c0(d0)与基波、谐波的幅度 cn(dn)以及相位n(n)的大小取决于信号的时域波形，而 且是频率n1的函数，把这种函数关系绘成线图表示，就 是所谓的“频谱”。14 | cn | n1 0 1 21 n n1 0 1 21 15 由三角形式可以导出指数形式 根据欧拉公式 cosn1t = e jn1t + e jn1t /2 sinn1t = e jn1t e jn1t /2j 令 因为 an是n的偶函数，即an = a n bn是n的奇函数，即bn = b n 2. 指数形式的傅里叶级数 16 令:X(0) = a0 式中 傅里叶系数 画出信号频谱: 因为Xn一般为复数，故称复数频谱。 Xn = | Xn |e jn | Xn | n1图称复数幅度谱 n n1图称复数相位谱 17 X0 = a0 = c0 = d0 Xn = | Xn |e jn =(an jbn)/2 Xn = (an + jbn)/2 | Xn | = | Xn | = cn/2 = dn/2 偶对称 n = n 奇对称 18 |Xn| n1 21 1 0 1 21 n n1 19 指数形式的傅氏级数说明一个任意周期函数也可 以分解为直流分量及一系列不同频率的复指数分量之 和。三角形式和指数形式相比,具有下列特点: 1、复数幅度谱的谱线长度为实数谱的一半且偶对 称于纵轴。 2、复数相位谱与实频谱中相同，且奇对称于原点 。 3、复数谱在正负频率处均有值，负频率的出现是 由于将正弦、余弦写成指数形式得来的，是数学运算 的结果，而无物理意义。在实际中，只有将对应正负 频率项成对合并，才能合成一个实际的谐波分量，所 以三角形式具有明确的物理意义，而指数形式用于理 论分析或运算比较方便。 20 如果x(t)是实函数而且他的波形满足某种对称性，则 在其傅里叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的 表示式也变得比较简单。 波形的对称性有两类，一类是整周期对称，如偶对 称和奇对称；另一类是半周期对称，如奇谐函数。 前者决定级数中只可能含有余弦项或正弦项；后者 决定级数中只可能含有偶次或奇次项。 （1）偶函数 x(t) = x(t) 相对与纵轴是对称的。 x(t ) t T1/2 0 T1/2 傅里叶级数中只含有直流 分量和余弦项。 3. 函数的对称性与傅里叶系数的关系 21 (2)奇函数 x(t) = x(t) 相对于纵坐标是反对称的。 x(t) t 0 T1 2 T1 2 傅里叶级数中只含有正弦项。 (3)奇谐函数 x(t) = x( t T1/2) 波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下翻转 ，此时，波形并不发生变化。 a0= an = 0 22 x(t) t T1 2 T1 2 0 x(t) t T1 2 T1 2 0 x(t) t T1 2 T1 2 x(t) t T1 2 T1 2 0 x(t) t 23 a0 = 0 a1 0 b1 0 a2 = 0 b2 = 0 傅里叶级数中只含有奇次正弦项和奇次余弦项。 当为n偶数时 an= bn = 0 为n奇数时 24 1. 周期矩形脉冲信号 解： (1)展成三角函数形式的傅里叶级数 x(t) t 0 /2/2 T1T1 T1/2 E 2.2.3 典型周期信号的傅里叶级数 25 由于x(t)是偶函数，则 bn = 0。 从而，周期矩形脉冲信号的三角形式的傅里叶级数为 由上式 26 n n10 1 21 4/ cn n1 0 1 21 2/ 27 (2)展成指数形式的傅里叶级数 28 4/ |Xn| n1 1 21 4/ 0 21 1 n n1 0 1 21 2/ Xn 1 21 4/ 0 21 1 4/ 29 (3)频谱特点 由谱图可以看出，周期矩形脉冲信号的频谱具有以 下特点： 离散谱：离散间隔等于基频1的量值，1=2/T1 。 频谱有无穷多个分量，即有无穷多条谱线，其幅值 E /T1 ，呈抽样函数状衰减。 带宽：谱图中| Xn | = 0的点为谱零点，即 n1 /2 = m m=1时的零点为第一零点，位置在 n1 = 2/ 对于周期矩形脉冲信号，它的大部分能量（90%左右）集 中在第一零点内的各频率分量上。把 = 0 2/ 这一频 率范围，称为带宽，以b表示，带宽b与脉冲宽度成反 比。 30 (4)时域参数对频谱的影响 时域主要参数：信号幅度E，脉冲宽度，信号周期T1。 E：对频谱的影响不太大。 T1：由于谱间隔1=2/T1，谱幅度cn E /T1，所以 T1，谱线变密， cn 。 ： cn b = 2/ 反映出一个普遍的规律：时域、频域变化时，时域 上压缩（减小），频域上带宽展宽（b增大），反之亦 然。上述结果，实际上由能量守恒定律决定的。 极端情况：若T1，周期函数 非周期函数 1d 0，离散频谱 连续频谱 T1，又 0，带宽b ，即矩形脉冲冲激函 数，频谱为“白色谱”。31 cn n10 1 2/ 4/ x(t) E t 0T1 x(t) t 0T12/ cn n101 x(t) E t0T1 cn n10 1 2/ 32 具体参数如 E=1， = 0.05，T1 = 0.25 1 = 2/T1 = 8 2/ = 40 = 51 cn n10 1 51 n n1 0 1 51 33 2. 对称方波 是一个正负交替的信号，其直流分量a0 = 0； 脉宽等于周期的一半，即 =T1/2； 偶函数，又是奇谐函数，bn = 0，an = 0(偶数)。 x(t) t 0 T1T1 T1 4 E 2 an n1 0 1 21 31 41 51 34 3. 周期锯齿脉冲信号 奇函数 a0 = 0，an = 0 x(t) t 0 T1 2 T1 2 E 2 35 4. 周期三角脉冲信号 偶函数，去直流分量后是奇谐函数， bn = 0 x(t ) t T1/2 0 T1/2 E 36 5. 周期半波余弦信号 偶函数，bn = 0 x(t) t 0 T1 4 T1 4 T1 37 6. 周期全波余弦信号 令余弦信号 x1(t) = cos0t 全波余弦信号 x(t) = E | x1(t)| 1= 2/T1 = 20 T1 = T0 /2 偶函数，bn = 0 x(t) t 0 T1 2 T1 2 T1 38 2.2.4 吉布斯现象 任意周期信号的傅里叶级数需要无穷多项才能完 全逼近。但实际中经常采用有限项来近似代替无限多 项，当项数取得愈多，误差愈小，通常以均方误差来 衡量其大小。 取前 N + 1 项 误差函数 N(t) = x (t) xN(t) 均方误差 39 傅里叶级数的理论还进一步证明了：在限定级数项 数的条件下，由无限项傅里叶级数截断后的有限项级数 ，是对原信号在最小均方误差意义下的最优逼近。 下面以对称方波为例说明： x(t) t 0 T1T1 T1 4 E 2 40 如果仅取一项，均方误差等于0.0