函数概念与基本初等函数.doc

高一上学期数学教案 第二章 函数概念与基本初等函数第1课时 函数的概念和图象（一）教学目标：使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法；使学生理解静与动的辩证关系.教学重点：函数的概念，函数定义域的求法.教学难点：函数概念的理解.教学过程：.课题导入问题一：y1（xR）是函数吗？问题二：yx与y是同一个函数吗？.讲授新课在（1）中，对应关系是“乘2”，即对于集合A中的每一个数n，集合B中都有一个数2n和它对应.在（2）中，对应关系是“求平方”，即对于集合A中的每一个数m，集合B中都有一个平方数m2和它对应.在（3）中，对应关系是“求倒数”，即对于集合A中的每一个数x，集合B中都有一个数 和它对应.请同学们观察3个对应，它们分别是怎样形式的对应呢？现在我们把函数的概念进一步叙述如下：（板书）设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称fAB为从集合A到集合B的一个函数.记作：yf(x)，xA其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f(x)）值叫做函数值，函数值的集合y|yf(x)，xA叫函数的值域.一次函数f(x)axb(a0)的定义域是R，值域也是R.对于R中的任意一个数x，在R中都有一个数f(x)axb(a0)和它对应.反比例函数f(x) (k0)的定义域是Ax|x0，值域是Bf(x)|f(x)0，对于A中的任意一个实数x，在B中都有一个实数f(x) (k0)和它对应.二次函数f(x)ax2bxc（a0）的定义域是R，值域是当a0时Bf(x)|f(x)；当a0时，Bf(x)|f(x)，它使得R中的任意一个数x与B中的数f(x)ax2bxc(a0)对应.函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题.y=1（xR）是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应关系“函数值是1”，在R中y都有惟一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数.Yx与y不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但yx的定义域是R，而y的定义域是x|x0. 所以yx与y不是同一个函数.理解函数的定义，我们应该注意些什么呢？（教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结）注意：函数是非空数集到非空数集上的一种对应.符号“f:AB”表示A到B的一个函数，它有三个要素；定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.师在研究函数时，除用符号f(x）表示函数外，还常用g(x) 、F（x)、G（x)等符号来表示.例题分析例1求下列函数的定义域.(1)f(x) (2)f(x) (3)f(x)分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式yf(x)，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合.解：(1)x20，即x2时，有意义这个函数的定义域是xx2(2)3x20，即x时有意义函数y的定义域是，）(3) 这个函数的定义域是xx1xx21，2）（2，）.注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.从上例可以看出，当确定用解析式yf（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f（x）是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；(4)如果f（x）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.例如：一矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y2x2，此函数定义域为x0而不是全体实数.由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定. 例2求下列函数的值域(1)y12x （xR）(2)yx1 x2，1，0，1，2(3)yx24x3 （3x1）分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”.解：(1)yR(2)y1，0，1(3)画出yx24x3（3x1）的图象，如图所示，当x3，1时，得y1，8.课堂练习课本P24练习17.课时小结本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.（本小结的内容可由学生自己来归纳）.课后作业课本P28，习题1、2.第2课时 函数的概念和图象（二）教学目标：使学生掌握函数图像的画法.教学重点：函数图像的画法.教学难点：函数图像的画法.教学过程：.复习回顾师上节课，我们学习了函数的概念，请同学们回忆一下，函数的定义是怎样的？它有几个要素？分别是什么？生设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称fAB为从集合A到集合B的一个函数.函数有三要素：定义域、值域、对应关系.新课讨论在初中，我们已学过函数的图象，并能作出函数y2x1，y（x0）以及yx2的图象.社会生活中还有许多函数图象的例子，如心电图、示波图等。将自变量的一个值x 0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点（x 0，f(x0)）.当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点.第3课时 函数的表示法教学目标：使学生掌握函数的三种常用表示方法，了解初等函数图象的几种情形，理解分段函数的意义，初步学会用函数的知识解决具体问题的方法；通过本节课的教学，使学生认识到知识无止境，对客观世界的认识也是永无止境的，树立终身学习的思想.教学重点：函数的表示方法，函数的应用.教学难点：函数的应用.教学过程：.复习回顾师上节课我们学习了判定两个函数是否相同的方法，哪位同学来回答一下如何判定两个函数是否相同呢？生判定两个函数是否相同，一要看其定义域是否相同，二要看其对应关系是否相同，当两者完全一致时，这两个函数就是相同的函数，当两者有一不同或两者完全不同时，这两个函数就不是相同的函数.师很好!我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题（板书课题）.指导自学师课下同学们已经进行了自学，函数的表示方法常用的有哪几种，各有什么优点？生函数的表示方法常用的有三种，分别是解析法、列表法、图象法.解析法是用解析式表示两个变量的函数关系，它的优点是关系清楚，容易求函数值，便于研究函数的性质.列表法是用表格表示两个变量的函数关系，它的优点是不必计算就可知道自变量取某些值时的函数值.图象法是用图象表示两个变量的函数关系，它的优点是表示函数的变化情况形象直观.师好!（再举些例子对各种表示方法进行说明，并强调：中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数）师下面请同学们看课本P30例1、例2.（学生看课本、教师巡视）师例1、例2的图象有什么特点呢？生例1的图象是一些孤立的点，例2的图象是几条线段.师回答完全正确，在初中，我们学过的函数图象通常是一条光滑的（不打折）曲线（或直线）.例1、例2告诉我们函数的图象有时也可以由一些弧立的点或几段线段组成，以后我们还将看到函数的图象还可以由几段光滑的曲线组成，从例2看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数.师例3是生活中的实际问题，对实际问题的解决，要求我们认真分析题意，将其抽象，转化成数学问题，通过解答数学问题，使实际问题得以解决，因此，解决应用问题的关键是将实际问题分析，抽象，转化成数学问题，即将实际问题数学化.下面我们一起对例4进行分析，请大家再仔细看一遍题.例4经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间t的函数，且销售量近似地满足关系（t）t （tN*，0t100)，在前40天内价格为f（t）t22（tN*，0t40），在后60天内价格为f（t）t52（tN*，40t100)，求这种商品的日销售额的最大值(近似到1元).分析：弄清“日销量”“价格”“日销额”这三个概念以建立它们之间的函数关系式.解：前40天内日销售额为：S（t22）（t）t2t779S（t10.5）2后60天内日销售额为：S（t52）（t）t2tS（t106.5）2得函数关系式S由上式可知：对于0t40且tN*，有当t10或11时，Smax809对于40t100且tN*，有当t41时，Smax714，综上所述得：当t10或11时，Smax809答：第10天或11天日售额最大值为809元例5某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.(1)写出图一表示的市场售价间接函数关系Pf（t）.写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Qg（t）；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元102kg，时间单位：天)解：(1)由图一可得市场售价间接函数关系为，f（t）由图二可得种植成本间接函数关系式为g（t）（t150）2100 0t300(2)设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）f（t）（t）即h（t）当0t200时，得h（t）（t50）2100当t50时，h(t)取得在t0，200上的最大值100当200t300时，得h（t）（t350）2100当t300时，h（t）取得在t（200，300上的最大值87.5综上所述由10087.5可知，h(t)在t0，300上可以取得最大值是100，此时t50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿收益最大.评述：（1）以上两例都是考查用数学中函数知识思想、方法去解决实际问题的能力，注意其中关键词的理解，正确找出函数关系式.求最值时配方法是一种常用方法.（2）应用题是高考热点问题，且应用题的具体内容可以多种多样，千变万化，而抽象其数量关系，并建立函数关系式是具有普遍意义的方法.（3）数学应用题因其具有没有固定的背景与题型，难以摸拟分类的特点，也就更接近于我们的生产和实际生活.所以应用题是考查学生创新意识和创新能力的难得的有效题型，同时也不失为提高学生分析问题和解决问题能力的好题型.所以，我们广大师生应加强这一方面的训练，清除心理负面影响，以积极的姿态，迎接数学应用题的挑战，以适应高考的改革要求.例6季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式.(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q0.125（t8）212，t0，16，tN*试问该服装第几周每件销售利润L最大?解： (1)P (2)因每件销售利润售价进价，即LPQ故有：当t0，5)且tN*时，L102t0.125（t8）212t26即，当t5时，Lmax9.125当t5，10)时tN*时，L0.125t22t16即t5时，Lmax9.125当t10，16时，L0.125t24t36即，t10时，Lmax8.5由以上得，该服装第5周每件销售利润L最大.课堂练习课本P31练习1，2，3，4.课时小结.课后作业（一）课本P32习题2.2 112.（二）1.预习内容：函数的单调性.2.预习提纲：（1）增函数、减函数的定义是什么？（2）函数单调区间的定义是什么？（3）证明函数单调的方法步骤是怎样的？（4）单调性是个整体概念还是个局部概念？第4课时 复合函数教学目标：使学生掌握与复合函数有关的各类问题.教学重点：复合的含义.教学难点：复合函数的讨论.教学过程：例1已知f（x）x2x7，求f（2x1）解：f（2x1）（2x1）2（2x1）74x26x9例2已知f（x1）x23x4，求f（x）解法一：令tx1，则xt1有：f（t）（t1）23（t1）4t2t2即：f（x）x2x2解法二：f（x1）（x1）2x3（x1）2（x1）2 f（x）x2x2练习：1已知f（x）x2，求f（x）2已知f（x1）x23x4，求f（2x3）例3(1)已知函数f（x）的定义域为(0，1)，求f（x2）的定义域.(2)已知函数f（2x1）的定义域为(0，1)，求f（x）的定义域.(3)已知函数f（x1）的定义域为2，3，求f（2x22）的定义域.分析：(1)求函数定义域就是求自变量x的取值范围，求f（x2）的定义域就是求x的范围，而不是求x2的范围，这里x与x2的地位相同，所满足的条件一样.(2)应由0x1确定出2x1的范围，即为函数f（x）的定义域.(3)应由2x3确定出x1的范围，求出函数f（x）的定义域进而再求f（2x22）的定义域.它是(1)与(2)的综合应用.解：(1)f（x）的定义域为(0，1)要使f（x2）有意义，须使0x21，即1x0或0x1函数f（x2）的定义域为x1x0或0x1(2)f（2x1）的定义域为（0，1），即其中的函数自变量x的取值范围是0x1，令t2x1，1t3，f（t）的定义域为1x3 函数f（x）的定义域为x1x3(3)f（x1）的定义域为2x3，2x3令tx1，1t4f（t）的定义域为1t4即f(x)的定义域为1x4，要使f（2x22）有意义，须使12x224，x或x函数f（2x22）的定义域为xx或x评述：（1）对于复合函数f （x）而言，如果函数f（x）的定义域为A，则f （x）的定义域是使得函数（x）A的x取值范围.（2）如果f （x）的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数(x)的值域.例4已知f（x），求f（x21）解：f（x21）例5已知f（f（x）2x1，求一次函数f（x）解：设f（x）kxb，则：f（f（x）k f（x）bk（kxb）bk2xkbb2x1 得：k，b1或k，b1f（x）x1或f（x）x1例6已知函数满足2f（x）f（ ）x，求f（x）解：令t ，则有2f（ ）f（t）即：2f（ ）f（x） f（x）课后作业：1已知f（1）x2，求f(x)的解析式.分析：此题目中的“f”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用.即：求出f及其定义域.解：设t11，则t1，x（t1）2f（t）（t1）22（t1）t21（t1）f（x）x21（x1）2（1）已知函数yf（x）的定义域为0，1，求f（x1）的定义域.解：f（x）中0x10x11，即1x2（2）已知函数yf（x1）的定义域为0，1，求f（x）的定义域.解：函数yf（x1）中0x11x10即：yf（x）的定义域为1，0（3）已知函数yf（x2）的定义域为1，2，求yf（x3）的定义域.3已知函数f（x）是一次函数，且满足关系式3f（x1）2f（x1）2x17，求f(x)的解析式.解：设f（x）axb则3f（x1）2f（x1）3ax3a2b2a2baxb5a2x17a2，b7f（x）2x7第5、6课时 函数的值域教学目标：使学生掌握如何求二次函数、无理函数和分式函数的值域.教学重点：联系图像求值域.教学难点：联系图像求值域.教学过程：例1求函数yx2在下列范围内的值域：（1）x1，2 （2）x1，2 （3）x3，2（4）xa，2 （5）xT，T2例2 求函数y的值域. 解：令tx22x3，则：y且t0，4所求函数的值域为：0，2例3 求函数y2x3的值域.分析：对于没有给定自变量的函数，应先考查函数的定义域，再求其值域.解：4x130 x，） 令t则得：xyt2t y（t1）23x t0根据二次函数图象可得y，） 例4 求函数y的值域. 解：y（2）2y0，4例5 求函数yx1x2的值域.分析：对于yx1x2的理解，从几何意义入手，即利用绝对值的几何意义可知，x1表示在数轴上表示x的点到点1的距离，x2表示在数轴上表示x的点到点2的距离，在数轴上任取三个点xA1，1xB2，xCc，如图所示，可以看出xA1xA233xB1xB23，xC1xC23，由此可知，对于任意实数x，都有3x1x23所以函数yx1x2的值域为y3，3例6 求函数y的值域.解：函数定义域为xR由原函数可化得：y1 令txR t(0，1y5t2t15（t）2根据二次函数的图象得当t时 ymin当t1时，ymax5函数的值域为y，5例7 求下列函数的值域.（1）y （2）y （k0，k是常数）（3）y（a、b是常数，a0）（4）y（a、b、k是常数，a、k0）例8 求函数y（x0）在下列定义域范围内的值域.（1）x（1，2）； （2）x（0，2）； （3）x（1，2）；（4）x（2，+）； （5）x（2，+）例9 求下列函数的值域：（1）y；（2）y解：（1）y2函数的值域为 yy0（2）y0 y函数y的值域为y（，）（，）例10 求函数y的值域.解：由y可知，xR且yx22y3x21 即（3y）x22y1若y3时，则有07，这是不可能的.y3得：x2 x20 0解得：y3函数值域为y，3）例11 求下列函数的值域：（1）y；（2）y例12 求函数y的值域.解：由y得xR且可化为：（2y1）x22（y1）x（y3）0当y时，2（y1）24（2y1）（y3）0y23y40 4y1且y又当y时，2（1）x（3）0得：x，满足条件函数的值域为y4，1评述：（1）求函数的值域是一个相当复杂的问题，它没有现成的方法可套用，要结合函数表达式的特征，以及与所学知识联系，灵活地选择恰当的方法.（2）对于以上例题也可以采取不同的方法求解每一个值域，请读者不妨试一试.（3）除以上介绍的方法求函数值域外，随着学生的继续学习，我们今后还会有“反函数”法、“单调性”法、“三角换元”法、“不等式”法及“导数法”等.课后作业：第7课时 函数的图象教学目标：使学生掌握作函数图象的一般步骤，会运用平移变换和翻折变换作图.教学重点：用平移变换和翻折变换作图.教学难点：用平移变换和翻折变换作图.教学过程：(1)作函数图象的一般步骤：确定函数的定义域(决定图象的左、右位置)和值域(决定图象的上、下位置).化简函数的表达式(如含绝对值的函数应化为分段函数).讨论函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性等图象特征及图象上特殊点的位置).利用基本函数图象作出所需函数的图象.(2)描绘函数图象的基本方法有描点法：通过列表、描点、连线三步，画出函数的图象.图象变换法：一个函数图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图象.问题1：平移变换都有哪些内容？【答】 平移变换主要有水平平移yf(xa)(a0)的图象，可由yf(x)的图象向左或右平移a个单位得到.竖直平移yf(x)b(b0)的图象，可由yf(x)的图象向上或向下平移b个单位而得到.问题2：翻折变换都有哪些内容？【答】 翻折变换主要有yf(|x|)的图象在y轴右侧(x0)的部分与yf(x)的图象相同，在y轴左侧部分与其右侧部分关于y轴对称.y|f(x)|的图象在x轴上方部分与y=f(x)的图象相同，其他部分图象为yf(x)图象下方部分关于x轴的对称图形.例1作函数y的图象.例2作函数yx22x2的图象.例3作函数yx22x2的图象.例4如何由函数yx2的图像变换得到函数y（x1）22的图象？ 例5作函数y3的图象.总结：图像平移例6作函数yx 的图象.扩展：yax （a0，b0）的图像.练习题：1.如图为函数f(x)的图象，那么f(x)是 ( )A.f(x)B.f(x)x22|x|1C.f(x)|x21|D.f(x) 【解析】 A:f(x)=|x|1|;B:f(x)=(|x|1)2;D:f(x)=|x1|可以看出B、C对应的图象应是曲线，不符合要求，而D在x=1时，不符合要求. 【答案】 A2.若把函数f(x)的图象作平移变换，使图象上的点P(1，0)变换成点Q(2，1)，则函数yf(x)的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 ( )A.yf(x1)1B.yf(x1)1C.yf(x1)1D.yf(x1)1 【答案】 A第8课时 函数的单调性（一）教学目标：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判断和证明.教学过程：.复习回顾师前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，讨论了函数的定义域、值域的求法.今天我们再进一步来研究一下函数的性质(板书课题).讲授新课师在初中我们已经学习了函数图象的画法，为了研究函数的性质，按照取值、列表、描点、作图等步骤分别画出yx2和yx3的图象如图.我们先着重来观察一下yx2的图象，图象在y轴右侧的部分是上升的，也就是说在y轴右侧越往右，图象上的点越高，这说明什么问题呢?下面大家来看图象在y轴左侧的部分情形是怎样的?一般地，设函数f（x）的定义域为：如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是增函数.(打出幻灯片2.3.1C)如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是减函数.如果函数yf（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做yf（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.注意：函数的单调性也叫函数的增减性.函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a.设x1、x2给定区间，且x1x2b.计算f（x1）f（x2）至最简b.判断上述差的符号d.下结论(若差0，则为增函数；若差0，则为减函数).例题分析例1(课本P34例1，与学生一块看，一起分析作答)师要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明.下面举例说明例2证明函数f（x）3x2在R上是增函数.证明：设任意x1、x2R，且x1x2则f（x1）f（x2）（3x12）（3x22）3（x1x2）由x1x2得x1x20f（x1）f（x2)0 即f（x1）f（x2）f（x）3x2在R上是增函数例3证明函数f（x）在（0，）上是减函数.证明：设任意x1、x2（0，）且x1x2则f（x1）f（x2）由x1，x2（0，）得x1x20又x1x2 得x2x10f（x1）f（x2）0 即f（x1）f（x2）f（x）在（0，）上是减函数注意：通过观察图象、对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法.证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.课堂练习课本P37练习1，2，5，6，7.课时小结本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明.课后作业课本P43习题 14第9课时 函数的单调性（二）教学目标：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.教学重点：函数单调性的判断和证明.教学难点：函数单调性的判断和证明.教学过程：例1已知函数f（x）在其定义域M内为减函数，且f（x）0，则g（x）1在M内为增函数。证明：在定义域M内任取x 1、x 2，且x 1x 2，则： g（x 1）g（x 2）11对于任意xM，有f（x）0 f（x1）f（x2）0f（x）在其定义域M内为减函数， f（x1）f（x2）g（x 1）g（x 2）0 即g（x 1）g（x 2）g（x）在M内为增函数例2函数f（x）在（0，）上是减函数,求f（a2a1）与f（）的大小关系?解：f（x）在（0，）上是减函数a2a1（a）20f（a2a1）f（）评述：体会“等价转化”思想的运用，注意解题时的层次分明和思路清晰.例3已知函数f（x）在区间（2，+）上单调递增，求a的取值范围。解：在区间（2，+）内任取x 1、x 2，使2x 1x 2，则： f（x 1）f（x 2） f（x 1）f（x 2） （2a1）（x1x2）0 而x 1x 2必须2a10 即a例4已知函数f（x）x22axa21在区间（，1）上是减函数，求a的取值范围。解：顶点横坐标为a，且开口向上 a1例5写出函数f（x）的单调区间。解：tx22x30 x1或x3当x（，1时：x递增，t递减，f（x）递减当x3，+）时：x递增，t递增，f（x）递增当x（，1时，f（x）是减函数；当x3，+）时，f（x）是增函数.例6判断函数f（x）的增减情况。解：设tx24x，则t4且t0 y 当t4，0时，y递减；当t0，+）时，y递减.又当x0，4时，t4，0当x（，0）或x（4，+）时，t0，+）当x（，0）时，x递增，t递减，y递增当x0，2时，x递增，t递减，y递增当x（2，4时，x递增，t递增，y递减当x（4，+）时，x递增，t递增，y递减当x（，0）0，2时，f（x）是增函数当x（2，4（4，+）时，f（x）是减函数例7已知f(x)的定义域为（0，），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）f（x）f（y），f（2）1，试解不等式f（x）f（x2）3.解：由f（2）1及f（xy）f（x）f（y）可得3f（2）3f（2）f（2）f（2）f（4）f（2）f（8）f（x）f（x2）3 f（x）f（x2）3f（x2）f（8）f 8（x2）又函数f（x）在定义域（0，）上是增函数 即2x评述：（1）例7是利用函数的单调性解不等式的重要应用，这类问题解决时要特别注意必须首先考虑定义域，进而结合函数单调性去求不等式的解集.（2）建议在教学中指导学生树立“定义域优先”的原则,即：在解题时必须时时考虑到.例8设f（x）定义在R+上，对于任意a、bR+，有f（ab）f（a）f（b）求证：（1）f（1）0；（2）f（ ）f（x）；（3）若x（1，+）时，f（x）0，则f（x）在（1，+）上是减函数.证明：（1）令ab1，则：f（1）f（1）f（1） f（1）0（2）令ax，b，则：f（1）f（x） f（ ） f（ ）f（x）（3）令1x 1x 2，则：f（x1）f（x2）f（x2）f（ ）f（ ）1x 1x 2 1 f（ ）0 即f（x1）f（x2） f（x）在（1，+）上是减函数.对称变换对称变换都有哪些内容？【答】 对称变换主要有y=f(x)与y=f(x)的图象关于y轴对称;若f(x)=f(x),则函数自身的图象关于y轴对称.y=f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.y=f(x)与y=f(x)的图象关于原点对称;若f(x)=f(x),则函数自身的图象关于原点对称.y=f1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.y=f1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.y=f(2ax)与y=f(x)的图象关于直线x=a对称；若f(x)=f(2ax)(或f(ax)=f(ax)则函数自身的图象关于直线x=a对称.y=2bf(x)与y=f(x)的图象关于直线y=b对称.y=2bf(2ax)与y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.案例1证明函数y= (a1)的图象关于直线y=x对称.本题考查对函数图象本身关于直线对称的理解.【分析】 利用函数解析式与它的反函数的解析式若为同一个函数，则函数图象关于直线y=x对称，也可利用函数图象上任意点关于直线的对称点也在已知函数的图象上，则函数图象关于直线y=x对称.【证法一】 a1,y= (1) y由y= 得x(ay1)=y1,x=y=(a1)的反函数是y=y=的图象关于直线y=x对称.【证法二】 设点P(x,y)是这个函数图象上任一点，则x且y=易知点P关于直线y=x的对称点P的坐标为(y,x)由得y(ax1)=x1即x(ay1)=y1如果ay1=0,则y=,代入得=.解得a=1,与已知矛盾.于是ay10,由得x=这说明点P(y,x)也在已知函数的图象上.因此，这个函数的图象关于直线y=x成对称图形.【评注】 要分清函数本身关于直线y=x对称与两个函数关于直线y=x对称的区别.1.已知函数y=f(x)的图象如图23，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( )A.y=|f(x)|B.y=f(|x|)C.y=f(x)图23D.y=f(x)【解析】 y=f(|x|)是偶函数，图象关于y轴对称. 【答案】 B8.设函数y=2x的图象为C，某函数的图象C与C关于直线x=2对称，那么这个函数是( )A.y=2xB.y=22xC.y=24xD.y=2x4【解析】 y=f(x)的图象与y=f(4x)的图象关于直线x=2对称，设f(x)=2x,则f(4x)=24x.【答案】 C10.设函数y=f(x)的定义域是R，且f(x1)=f(1x),那么f(x)的图象有对称轴( )A.直线x=0B.直线x=1C.直线y=0D.直线y=1【解析】 设x1=t,则f(t)=f(t)，函数为偶函数，关于y轴对称. 【答案】 A12.已知函数f(x)=(x2),那么函数f(x1)的图象关于直线y=x成对称图形的函数是( )A.y=(x1)B.y=(x1)C.y=(x1)D.y=(x0)【解析】 f(x1)=y=1 (x1)x=1,即上式的反函数是y=(x1). 【答案】 B13.函数y=的图象关于点_对称.【解析】 y=1,y=的图象是由y=的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为(1，1). 【答案】 (1，1)16.定义在R上的函数y=f(x)、y=f(x)、y=f(x)、y=f(x)的图象重合，它们的值域为_.【解析】 函数y=f(x)与y=f(x)的图象重合，说明函数y=f(x)的图象关于y轴对称；y=f(x)与y=f(x)图象重合，说明y=f(x)的图象关于x轴对称；y=f(x)与y=f(x)的图象重合，说明y=f(x)的图象关于原点对称.即若y=f(x)上任一点(x,y),则也有点(x,y)、(x,y)、(x,y);根据函数的定义，对于任一xR,只能有惟一的y与之对应，从而y=y,即y=0，故函数的值域为0.17.已知函数f(x)定义域为R，则下列命题中y=f(x)为偶函数，则y=f(x2)的图象关于y轴对称.y=f(x2)为偶函数，则y=f(x)关于直线x=2对称.若f(x2)=f(2x),则y=f(x)关于直线x=2对称.y=f(x2)和y=f(2x)的图象关于x=2对称.其中正确命题序号有_(填上所有正确命题序号).【解析】 y=f(x)是偶函数，而f(x2)是将f(x)的图象向左平移2个单位得到的，则对称轴左移2个单位为x=2,所以f(x2)图象关于直线x=2对称.y=f(x2)为偶函数，则f(x2)=f(2x),所以y=f(x)图象关于直线x=2对称.令x2=t,则2x=t,得f(t)=f(t),y=f(x)的图象关于y轴对称.f(x)与f(x)的图象关于y轴对称，将f(x)与f(x)的图象分别向右平移2个单位，分别得到f(x2)与f(2x)的图象，对称轴右移2个单位为直线x=2. 【答案】 18.若函数y=f(x)=的图象关于直线y=x对称，求a,b应满足的条件.【解】 由y=f(x)= (x),得2xyby=2ax12(ya)x=by1,x=y=f(x)的反函数是f1(x)= (xa)y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则函数y=f(x)反函数就是它本身.=，比较系数得b=2a.即为a,b所满足的条件.20.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x2)=f(x),又当1x1时，f(x)=x3.(1)证明直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴；(2)当x1,5时，求f(x)的解析式.【解】 (1)设(x0,y0)是f(x)的图象上任意一点，它关于x=1对称的点为(x1,y1),则y0=y1,x0=2x1,y1=f(2x1)=f(x1)=f(x1)(x1,y1)也在y=f(x)的图象上，命题成立.(2)f(x)的图象关于x=1对称，故当1x3时，f(x)=(2x)3又当3x5时，1x41,此时f(x)=(x4)3f(x)=第13课时 映射教学目标：使学生掌握作函数图象的一般步骤，会运用平移变换和翻折变换作图.教学重点：用平移变换和翻折变换作图.教学难点：用平移变换和翻折变换作图.教学过程：教学目的：（1）了解映射的概念及表示方法 （2）了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. （3）会结合简单的图示，了解一一映射的概念 教学重点：映射的概念教学难点：映射的概念授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析： 本节是在集合与简易逻辑和函数的概念之后学习的，映射概念本身就属于集合的知识因此，要联系前一章的内容和函数的概念来学习本节，映射是是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念映射中涉及的“原象的集合A”“象的集合B”以及 “从集合A到集合B的对应法则f”可以更广泛的理解集合A、B不仅仅是数集，还可以是点集、向量的集合等，本章主要是指数的集合随着内容的增多和深入，可以逐渐加深对映射概念的理解，例如实数对与平面点集的对应，曲线与方程的对应等都是映射的例子映射是现代数学的一个基本概念教学过程：一、复习引入：在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答）看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A与此相对应坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数