ch1-8函数的连续性与连续函数的运算.ppt

福州大学数计学院1 推广： 将 换成 , 及 , , 该法则仍然成立。 推广： v v 复习 福州大学数计学院2 推广 v 将 换成 , 及 , , 该法则仍然成立。 福州大学数计学院3 v v v v 福州大学数计学院4 定理(等价无穷小替换定理) 注:对于代数和中各 无穷小不能分别替换 . v v 福州大学数计学院5 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: 例如, 称 福州大学数计学院6 例5 解 可用函数的近似表达来解决 福州大学数计学院7 第八节 函数的连续性与 连续函数的运算 一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、四则运算的连续性 四、反函数与复合函数的连续性 五、初等函数的连续性 新课 第一章 福州大学数计学院8 福州大学数计学院9 福州大学数计学院10 定义1 设 函数在 内有定义，如 果当自变量的增量 趋向于零时，对应的函 数的增量 也趋向于零，即 或 ，那末就称函数 在点 连续， 称为 的连续点。 2.连续的定义 设 福州大学数计学院11 定义2 设函数 在 内有定义,如果 函数 当 时的极限存在,且等于它在 点 处的函数值 ,即 那末就称函数 在点 连续. 定义3 设函数 在 内有定义 称函数 在点 连续. 福州大学数计学院12 例1 证 由定义2知 由定义 2或3 可推得： 反之呢？ 福州大学数计学院13 解 且 但反之不成立. 例 但 思考题 夹逼准则 0 福州大学数计学院14 3.单侧连续 定理 福州大学数计学院15 (1) f(x)在 内有定义； 福州大学数计学院16 例2 解 右连续但不左连续 , 福州大学数计学院17 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,称函数在该区间 上连续，或者叫做在该区间上的连续函数. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 福州大学数计学院18 解 例3 福州大学数计学院19 (但在点x0的去心领域内有定义 ) 福州大学数计学院20 函数 的间间断点 思考 (但在点 x= 0 的去心领域内有定义 ) -1 福州大学数计学院21 .跳跃间断点 例5 解 1.第一类间断点 1 福州大学数计学院22 .可去间断点 例6 解 x = 1为函数的可去间断点 福州大学数计学院23 如例6中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 福州大学数计学院24 2.第二类间断点 例7 解 x = 0为函数的第二类间断点. 福州大学数计学院25 例8 解 福州大学数计学院26 判断下列间断点类型: 福州大学数计学院27 有几个间断点？ 练 习 (书习题P70 3(2) ) 跳跃 可去 无穷 福州大学数计学院28 三、四则运算的连续性 定理1 例如, 三角函数在其定义域内皆连续. 福州大学数计学院29 取最值函数 y x o y x o 由右图 可知 例 补充 福州大学数计学院30 例 福州大学数计学院31 复合函数(composite function) 例 ： 注意: 1. 复合条件： 2.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的; 补充 福州大学数计学院32 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 3.函数复合应注意其定义域. 福州大学数计学院33 四、反函数与复合函数的连续性 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 福州大学数计学院34 例如, 定理3u u f u(x) 意义 极限符号可以与函数符号互换; 福州大学数计学院35 连续函数时 例如： 福州大学数计学院36 五、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的. 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. (均在其定义域内连续 ) 福州大学数计学院37 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是 连 续的.定义区间是指包含在定义域内的区间. 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续; 注意 例如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 在点x= 0的邻域内没有定义. 福州大学数计学院38 2. 初等函数求极限的方法代入法. 例 ： 3. 分段函数的连续性：各段内部的连续性及各 分段点处的连续性. 练习 求使函数 连续的 a, b 值. (即 作业本P17 二2) 福州大学数计学院39 六、小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 (见下图) 福州大学数计学院40 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x 福州大学数计学院41 连续函数的和差积商的连续性. 复合函数的连续性. 初等函数的连续性. 定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法. 两个定理; 两点意义. 反函数的连续性. 福州大学数计学院