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*第九节 一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数的泰勒公式 第八章 一、二元函数的泰勒公式 一元函数的泰勒公式: 推广 多元函数泰勒公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记号 (设下面涉及的偏导数连续): 一般地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示 表示 定理1. 的某一邻域内有直 到 n + 1 阶连续偏导数 ,为此邻域内任 一点, 则有 其中 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式,称为其拉格 朗日型余项 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 令 则 利用多元复合函数求导法则可得: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地, 由 的麦克劳林公式, 得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: (1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭 邻域其绝对值必有上界 M , 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式: (3) 若函数在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求函数 解: 的三阶泰 勒公式. 因此, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束 时, 具有极值 二、极值充分条件的证明 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A 0 时取极小值. 2) 当 3) 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数定理2 (充分条件) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意 则有 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 , , 是当h 0 , k 0 时的无穷小量 ,于是 (1) 当 ACB2 0 时, 必有 A0 , 且 A 与C 同号, 可见 ,从而z0 , 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 从而 z0, (2) 当 ACB2 0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A0, 则 时, 有异号; 同号. 可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 + + 若 AC 0 , 则必有 B0 ,不妨设 B0 , 此时 可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, (3) 当ACB2 0 时, 若 A0, 则 若 A0 , 则 B0 , 为零或非零 机动 目录 上页 下
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