ch2-2求导的基本法则.ppt

第2章 一元函数微分学及其应用 第1节 导数的概念 第2节 求导基本法则 第3节 微分 第4节 微分中值定理及其应用 第5节 Taylor定理及其应用 第6节 函数性态的研究 2008年11月3日1 南京航空航天大学 理学院 数学系 第2节 求导基本法则 1 函数的求导法则、 初等函数的求导问题 2 高阶导数 4 由参数方程 所确定的函数的求导法则 5 相关变化率问题 3 隐函数求导法 2008年11月3日2 南京航空航天大学 理学院 数学系 (定义 ) 求导法则 其它基本初等 函数求导公式 证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题 1 函数的求导法则、初等函数的求导问题 2008年11月3日3 南京航空航天大学 理学院 数学系 定理2.1 的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 ( C为常数 ) 和、差、积、商的求导法则 2008年11月3日4 南京航空航天大学 理学院 数学系 此法则可推广到任意有限项的情形. 证: 设, 则 故结论成立. 例如, 2008年11月3日5 南京航空航天大学 理学院 数学系 (2) 证: 设 则有 故结论成立. 推论:( C为常数 ) 2008年11月3日6 南京航空航天大学 理学院 数学系 (3) 证: 设则有 故结论成立. 推论:( C为常数 ) 2008年11月3日7 南京航空航天大学 理学院 数学系 例1 求证 证 类似可证: 2008年11月3日8 南京航空航天大学 理学院 数学系 反函数求导法则 定理2.3 2008年11月3日9 南京航空航天大学 理学院 数学系 证 在 x 处给增量由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 2008年11月3日10 南京航空航天大学 理学院 数学系 例2 求反三角函数及指数函数的导数. 解 1) 设则 类似可求得 利用 , 则 2008年11月3日11 南京航空航天大学 理学院 数学系 2) 设则 特别当时, 小结 2008年11月3日12 南京航空航天大学 理学院 数学系 复合函数的链式法则 链式法则 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 2008年11月3日13 南京航空航天大学 理学院 数学系 证在点 u 可导, 故 （当 时 ) 故有 2008年11月3日14 南京航空航天大学 理学院 数学系 例3 解 例4 解 2008年11月3日15 南京航空航天大学 理学院 数学系 例5 求下列导数: 解 (1) (2) 说明: 类似可得 2008年11月3日16 南京航空航天大学 理学院 数学系 例6 设 解 记 则 (反双曲正弦) 的反函数 2008年11月3日17 南京航空航天大学 理学院 数学系 初等函数的求导问题 由前面得到的基本初等函数的求导公式以及 运算法则，可以得到全体初等函数的导数 见课本 102页 四则运算 复合函数 反函数 2008年11月3日18 南京航空航天大学 理学院 数学系 基本导数公式 （基本初等函数的导数公式） 2008年11月3日19 南京航空航天大学 理学院 数学系 幂指函数的导数 2008年11月3日20 南京航空航天大学 理学院 数学系 例7 求下列导数: 解 (1) 2008年11月3日21 南京航空航天大学 理学院 数学系 EX 求下列函数的导数 6. 设其中可导, 求 2008年11月3日22 南京航空航天大学 理学院 数学系 1. 解: 解: 2008年11月3日23 南京航空航天大学 理学院 数学系 解: 2008年11月3日24 南京航空航天大学 理学院 数学系 解: 关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 2008年11月3日25 南京航空航天大学 理学院 数学系 5. 解: 2008年11月3日26 南京航空航天大学 理学院 数学系 6. 设 解: 其中可导, 求 2008年11月3日27 南京航空航天大学 理学院 数学系 定义若函数的导数可导, 或 即或 的二阶导数 , 记作的导数为 则称 2 高阶导数 1、高阶导数的概念 2008年11月3日28 南京航空航天大学 理学院 数学系 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 依次类推 , 分别记作 2008年11月3日29 南京航空航天大学 理学院 数学系 设求 解 依次类推 , 例1 思考 设 问 可得 直接法 -由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 2008年11月3日30 南京航空航天大学 理学院 数学系 例2 设 求 解 特别有: 解 规定 0 ! = 1 思考 例3 设 求 2008年11月3日31 南京航空航天大学 理学院 数学系 注意： 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 例4 解 同理可得 2008年11月3日32 南京航空航天大学 理学院 数学系 例5 解 2008年11月3日33 南京航空航天大学 理学院 数学系 莱布尼兹（Leibniz）公式 2、高阶导数的运算法则 2008年11月3日34 南京航空航天大学 理学院 数学系 用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 . 2008年11月3日35 南京航空航天大学 理学院 数学系 例6 解 2008年11月3日36 南京航空航天大学 理学院 数学系 例7. 设求 解即 用莱布尼兹公式求 n 阶导数 令得 由得 即 由得 2008年11月3日37 南京航空航天大学 理学院 数学系 常用高阶导数公式 间接法:利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 2008年11月3日38 南京航空航天大学 理学院 数学系 例8 解 2008年11月3日39 南京航空航天大学 理学院 数学系 例9 解 降幂 2008年11月3日40 南京航空航天大学 理学院 数学系 (1) 直接法逐阶求导法 利用归纳法 (2) 间接法 利用已知的高阶导数公式 (3) 利用莱布尼兹公式 高阶导数的求法 2008年11月3日41 南京航空航天大学 理学院 数学系 1. 如何求下列函数的 n 阶导数? 解 解 练习 2008年11月3日42 南京航空航天大学 理学院 数学系 练习 2008年11月3日43 南京航空航天大学 理学院 数学系 证明 2008年11月3日44 南京航空航天大学 理学院 数学系 解 2008年11月3日45 南京航空航天大学 理学院 数学系 3.隐函数求导法则 定义: 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 2008年11月3日46 南京航空航天大学 理学院 数学系 例1 解 解得 2008年11月3日47 南京航空航天大学 理学院 数学系 由方程 确定 , 解方程两边对 x 求导, 得 再求导, 得 当时,故由 得 再代入 得 求 例2 设 2008年11月3日48 南京航空航天大学 理学院 数学系 解 例3 2008年11月3日49 南京航空航天大学 理学院 数学系 EX. 解 所求切线方程为 显然通过原点. 2008年11月3日50 南京航空航天大学 理学院 数学系 多个函数乘积的导数对数求导法 对数求导法的步骤: 1. 两端取绝对值之后, 再取自然对数. 2. 等式两端分别对自变量求导. 2008年11月3日51 南京航空航天大学 理学院 数学系 例4 先对函数取对数, 得解 再对上式两边分别求对数, 得 2008年11月3日52 南京航空航天大学 理学院 数学系 整理后得到 2008年11月3日53 南京航空航天大学 理学院 数学系 例5 解等式两边取对数得 2008年11月3日54 南京航空航天大学 理学院 数学系 4. 由参数方程所确定的函数的导数 2008年11月3日55 南京航空航天大学 理学院 数学系 例如 消去参数 2008年11月3日56 南京航空航天大学 理学院 数学系 由复合函数及反函数的求导法则得 2008年11月3日57 南京航空航天大学 理学院 数学系 2008年11月3日58 南京航空航天大学 理学院 数学系 例6 已知注意 : 解 2008年11月3日59 南京航空航天大学 理学院 数学系 EX. 解 2008年11月3日60 南京航空航天大学 理学院 数学系 例7 设由方程 确定函数求 解 方程组两边对 t 求导 , 得 故 2008年11月3日61 南京航空航天大学 理学院 数学系 例8 2008年11月3日62 南京航空航天大学 理学院 数学系 解 2008年11月3日63 南京航空航天大学 理学院 数学系 2008年11月3日64 南京航空航天大学 理学院 数学系 相关变化率问题 2008年11月3日65 南京航空航天大学 理学院 数学系 2.方程F(x,y)=0两边对t求导,得到 与 的关系式. 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 解决这类问题的一般途径是: 1. 先建立x, y之间的函数关系 F (x, y)=0; 2008