定积分的应用毕业论文.doc

编号编号 学士学位论文学士学位论文 定积分的应用定积分的应用 学生姓名：学生姓名：艾麦提江吾拉木江 学学 号：号：20080101037 系系 部：部：数学系 专专 业：业：数学与应用数学 年年 级：级：2008-1 班 指导教师：指导教师：热米拉阿不都克依木 完成日期：完成日期：2013 年 4 月 日 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 中文摘要 定积分是一元函数积分学中的另一个基本概念，它是从大量的实际问题中抽象 出来的在自然科学与工程技术中有着广泛的应用，该论文主要讨论从几何问题 物理问题出发叙述应用定积分解决各种问题的优越性。 关键词关键词：微元；体积；面积；参数方程；重心；旋转体；变化率为； 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 中文摘要中文摘要 1 引言引言 1 1. 定积分的应用定积分的应用 .1 1.1 定积分在几何方面的应用.1 1.1.1 微元法 1 1.1.2 用定积分求平面图形的面积 2 1.2 极坐标下平面图形的面积.7 2. 应用定积分求旋转体的体积应用定积分求旋转体的体积 .8 2.1 平行截面积已知的立体体积.8 2.1.1 旋转体体积 9 3.定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 .13 3.1 重心.13 3.2 变力做功.15 3.3 电学上的应用.15 4.定积分在经济中的应用定积分在经济中的应用 .16 总结总结 17 参考文献参考文献 18 致谢致谢 19 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 0 引言 定积分在数学，物理上有好多个应用比如：求曲边梯形的面积，旋转体的体积， 物体的重心，变力做功，转动惯量等等，为什么把这些问题应用定积分来计算？ 答案是很简单这些问题都与求和有关系，但是求和没那么容易事所以必须用定 积分这工具来解决。 1. 定积分的应用 定积分在几何，物理及经济上有广泛的应用。 首先我们介绍以下定积分这个概念。 定义：设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数。若f, a bJ 0，0，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要, a bT i ，就有T 1 max i i n Tx ， 1 n ii i fxJ 则称函数在区间上可积或数称为在上的定积分，记作f, a bJf, a b b a Jf x dx 下面我们介绍以下定积分若干方面的应用。 1.1 定积分在几何方面的应用定积分在几何方面的应用 我们用什么样的方法把定积分应用在几何方面的问题？ 我们引入微元法这一概念。 1.1.1 微元法 以曲边梯形面积为列，如图曲边梯形 选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间在区间上任取一个小区间1, a b 并记为。 , x xx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 1 ab 图 1-1 以点处的函数值为高，以为底的矩形面积作为2x, x xx Af x dx 其中称为面积微元，记为 f x dx dAf x 于是面积为 bb aa AdAf x dx 1.1.2 用定积分求平面图形的面积 直角坐标系下平面图形的面积。 设函数在上连续求由曲线及直1 ,f xg x, a b ,g xf x ,f xg x 线（)所围成图形的面积。,xa xbab 分析：在上任取小区间设此小区间上的面积为，它近, a b, x xxA 似于高为底为的小矩形面积，如图 1-2 所示，从而的面积 f xg xdx 微元为 b a dAf xg xdx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 2 以为被积表达式，在区间作定积分 f xg xdx , a b b a Af xg xdx 图 1-2 就是所求图形的面积在这个公式中无论曲线在轴的上方与下方都成立，只要x 在下方即可。 yg x yf x 例求由曲线所围成平面图形的面积。1.sin ,00 x yex yx 分析：先对曲线进行分析，显然曲线有无穷多个零点。sin x yex 正的 且。0,1,2,3. .knlimsin0 x x ex sincos xx yexex cossin x exx sinsin 2 x exx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 3 2cossin 44 x ex 2sin 4 x ex 时， 4 xk 0y x x y xe 我们可以画出草图如图 1-3. 进一步分析可知： 时，21,2xkk 0y 时，. 图 1-3 2, 21xkk 0y 所求面积 234 023 sinsinsinsin. xxxx Sexdxexdxexdxexdx 1 0 lim1sin n k k x kn k exdx 解：由于 1 sin k x k exdx 1 sincos 2 x k k exx 1 1 11 2 kk kk ee 可得 1 0 1 lim 2 n kk n k S ee 1 1 0 1 lim 12 2 n nk x k eee 1 11 lim 12 21 n n x e ee e 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 4 求由曲线及直线所围 11 21 e e 2 12 ,xyxy,ycydc d 成图形面积在区间上任取小区间，设此小区间上的面积为，, c d, y ydyA 则近似于高为，低为的小矩形面积，从而得面积微元dy 12 yy dA 12 yydy 于是所求面积为 。 12 d c Ayydy 例 2求由叁数方程所围成图形的面积 ，2coscos2xatt2sinsin2yatt 分析：对参数方程所围图形，与直角坐标图形相似，必须讨论其所给曲线的几 何特征，尔后确定积分变量被积函数及积分区间。 解：函数为周期（针对变量 t 而言）函数，因而在直角坐标系中只须考虑 0t2范围内的叁数方程即可，原方程可变形为 ， 0t2. 2 2 31 2 cos 22 4 sinsin, xat yatt 1 2sin2sin4 sincos, 2 1 2coscos241 coscos, 2 dx attatt dt dy attatt dt 时，此时，曲线单升，至最右点为0t ,0,xa y0 3 t x t y t 。时，曲线至最左点为 33 , 22 aa 2 33 t x t y t 3 ,3, 2 2 a a ，曲线至最左点为. 2 3 t x t y t3 ,0a 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 5 ，曲线至最低点为 4 3 t x t y t 3 ,3, 22 a a ，曲线至点， 45 33 t x t y t 33 , 22 aa ，曲线至点 5 2 3 t x t y t,0a 图象如图 1-4 所示 图 1-4 3333 2222 1234 33 aaaa aaaa Sy dxy dxy dxy dx 3 1 2sinsin24 sincos 2 attattdt 3 0 1 2sinsin24 sincos 2 attattdt 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 6 5 3 1 2sinsin24 sincos 2 attattdt 2 5 3 1 2sinsin24 sincos 2 attattdt 2 2 0 1 42sinsin2sincos 2 attttdt 2 222 0 22sinsin2sin 22sinsinsin2atttttt dt 2 6 a 1.2 极坐标下平面图形的面积极坐标下平面图形的面积 设曲线的极坐标方程在上连续，且，求此曲线与射 ,rrr, 0r 线所围成的曲边扇形的面积如图 1-3 所示，在区间上任取一个, , 小区间设此小区间上曲边扇形的面积，则近似于半径为,d AA 中心角为的扇形面积，从而得到面积微元为可得面积为 rd 2 1 2 dArd 2 1 2 Ard 例 1利用定积分求曲线围成面积。cos ,cossin, 2 a raraMaS 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 7 解：如图 4-18，阴影部分即为所求面积, 4 OAa 曲线，故所求面积为 1: cos ,Lra 2: cossinLra 2 0 2 2 4 1 cossin 222 a Sad 2 0 2 4 1 sin2 82 a ad 2 2 0 1 cos 822 4 a a 2 22 884 a aa 2 1 4 a 例 2.计算阿基米德螺线上对应于从 0 变到的一段曲线与极轴所围成图ra 形的面积 。 面积微元为于是所求面积为 21 2 dAad 2 2 0 1 2 Aad 23 2 023 a 23 4 3 a 2. 应用定积分求旋转体的体积 2.1 平行截面积已知的立体体积平行截面积已知的立体体积. 设有一立体价于过点圆垂直于 轴的两平面之间如图所示，求,xa xb ab 此立体的体积. 如图价于与之间的薄片的体积xxdx 图 1-5 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 8 图 2-1 近似等于地面面积为高为的扁柱体的体积，即体积微元为 A xdx dVA x dx 于是所求的体积为 b a VA x dx 即对截面积从 到求积分。 A xab 2.1.1 旋转体体积 设及所围图形绕轴旋转，如图 2-2 所示。求 ,yf xxa xb ab0y x 所得旋转体的体积，选取为积分变量其变化区间为过点做垂直于轴x, a bxx 的平面，截的旋转体截面是半径为 的圆，其截面积为 ,f x 图 2-2 y 0 a x b z x 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 9 从而所求旋转体的体积 2 A xfx 2 bb aa VA x dxf xdx 例 1.求绕极轴把面积 ar2sin2a 旋转而成的旋转体的体积。 分析：分析所给面积()ar2sina 确定被积函数及积分上下限，是圆，ra 观察曲线： , r 2sin2a 则 , 即曲线在以为半径的圆内，定义域为 0或r2a2a222 0,在第一第三象限内有定义，由对称性只求第一3 2 3 2 象限情况下的体积。， 时， 取最大值。这样， 00r0 2 r 4 r2a 我们基本上掌握了极坐标系下的曲线的基本形状。曲线，与2sin2rara 的交点在第一象限内为2sin2ra 1212 155 sin22,2, 266126 所求体积，便是如图 2-3 中阴影部分绕极轴旋转而得的立体体积。根据结论， 我们便有 5 3 33 122 12 4 2sin2sin 3 Vaad 5533 2 1212 1212 44 4 2sincossin2sin. 33 aa dd 为此，需求不定积分 2 sincossin2.d y 图 2-3 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 10 令， 2 coscossin2Ad 则A cos2 cossin2 d 32 1 cossin2 3 d 3 3 2 2 11 cossin2sin2sin 33 d 32 12 cossin2. 33 即 32 51 cossin2. 33 A 而sin2cos.Ad A 令，则上述积分可得tant 11 sinsin2ln sincossin2 22 AI 1 ln sincossin2arcsin sincos 4 可得 3 11 sinsin2ln sincossin2 8 22 32 11 ln sincossin2arcsin sincoscossin2. 43 c 于是，可得 23 . 2 2 a V 例 2 设函数在上有连续导数，那么曲线及直线 yf x 12 ,x x yf x 所围曲边梯形绕直线旋转所成立体体积 1 0 ,ykxb kyxb k ykxb 等于什么？ 设为曲线上任意点，曲线在点处的切线为,M x y yf xM 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 11 过点作直线的垂线为 :MT Yf xf xXx M:L Ykxb ，即应用定积分的元素法， 1 :MMYXxf x K 0XkYxkf x 考虑子区间，设相应于的曲线弧段在直线上的投影长为则当子区, x xdxLdl 间的长度充分小时，如图 10-15 所示，取切线上对应于右端点的点M, x xdx 到垂线的距离 ,N xdx f xf xdx MMdl 2 1 1 dlxdxkf xfx dxxkf x k （在此不妨假设）而点到直线的距离为 2 1 1 kfx dx k 0dx ML 从而得 2 1 f x kxb d k 2 3 2 1 1 f xkxbkfx dx k 图 10-15 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 12 2 2 2 2 1 1 1 f xk xbkfx dVddldx k k 取积分 2 1 2 3 2 1 1 x x Vf xkxbkfx dx k 2 1 2 3 2 2 1 1 x x Vf xkxbkfx dx k 3.定积分在物理上的应用 定积分在物理上有好多个应用比如：求物体的重心，变力做功，转动惯量等等。 3.1 重心重心 如果平面上有 n 个质点，它们的质量分别为 位置分别为 那未这一组点的重心的坐标，可用下列公式求出： 1 1122111 12 1 n ii nnnni n n i i x m x mx mxmx m x mmm m 2 1122111 12 1 n ii nnnni n n i i y m y my mymy m y mmm m 我们已经知道了求平面薄板的重心坐标公式1 但是用这个公式求出重心没那么容易， 我们解决的是求和问题，可能脑子里出现是否用定积分来计算，我们进一步讨 论以下： 设具有质量的平面薄板是由曲线，直线 和轴所围成的曲 yf x,xa xbx 边梯形，又设此平面薄板的面密度为常数设把区间 分成 n 个小区间，则u, a b 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 13 整个平面被分成 n 个小窄条取其中处宽为的小狭条,这个窄条的质量可xdxdm 近似地看作均匀分布在线段 上而在该线段均匀分布的质量又可以看作集, pp 中于 的中点处,于是这个窄条可以用质量为的质点来近似地代替, pp i Gdm i G 而整个图形就用 个质因小条的质量称质量微元,而点 ,mdmuf x dx dm 的横坐标是,纵坐标是 i Gx 1 2 f x 故质点对轴及 轴的静力矩是 i Gy 2 11 , 222 yx y mxdmuxf x dx mdmuyf x dxufx dx 则平面薄板对轴及轴的静力矩为又这整yx 2 2 b x a u Mfx dx , b y a Muxf x dx 个平面薄板的总质量等于密度与面积 的乘积，而面积，故得Mus b a sf x dx 整个平面薄板的中心为 2 1 2 , b b a y ax bb aa fx dx xf x dx M M xy MM f x dxf x dx 如平面图形是及直线所谓成，假设在区间内则同理可得此平面图形的中心为 22 1 2 , b b a a bb aa fxgxdx x f xg xdx xy f xg xdxf xg xdx a xxdxx p Q Q 0 y p Q i G 图 3-1 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 14 3.2 变力做功变力做功 下面我们讨论一下变力做功 设某物体在力的作用下沿着轴运动力平行于轴并在轴上不同的点处取FxFxx 不同的值，即力是的函数.Fx FF x 我们要求物体在这个变力的作用下，由轴上的一点移动到另一点时变力所xab 做的功 W （图 3-2）由力学知，物体受恒力产生位移， 所做的功为功=力 距离（等速）故当物体由 移动到时，所做的功近似地为 i x i xx （为功微元）在上 WF x dxdW. ab 所做的功就是 b a WF x dx 3.3 电学上的应用电学上的应用 我们学过电流在单位时间所做的功称为电流的功率，即，由于交流电P W P t 流 随时间 在不断变化，因而所求的功是一个非均匀分布的量，我们必须itW 用定积分来计算。 交流电流在不断的变化，但是很短的时间隔内可以近似地认为是不变的，因而 在时间内对以不变代变，就可求得功局部量的近似值，即功微元dt( )i tW 在一个周期 内消耗的功为 因此交流电的平均功 2( ) dWRi t dtt 2 0 ( ) T WRi t dt 率的计算公式是： 2 0 1 ( ) T W PRi t dt TT 4.定积分在经济中的应用 定积分在经济中也有用处比如 图 3-2 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 15 设是经济量的函数（生产函数，成本函数，总收益函数等）则导数 yf x 成为的边际函数或变化率，在经济管理中，可以利用和分法，根据 f x f x 边际函数，求出总函数或总函数在区间 上的改变量, a b （1）如已知其产品总产量的变化率为则从时间到 Q dQ f t dt tatb 该产品的总产量ab b a Qf t dt （2）设某产品总产量，如已知其产品成本对产量的变化率为，则产量Q f Q 从到总成本为ab b a Cf Q dQ （3）如某商品收益的变化率为已知时则销售个单位的商品的收益为 f QN 0 , N Rf Q dQ 例 1 设某产品生产个单位，总收益的变化率为（0）QR 20 10 Q f Q Q 1生产 40 个单位产品时的总收益。 2求从生产 40 个单位产品到 60 个单位产品时的总收益。 解：