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分析力学复习与习题课分析力学复习与习题课 考察由考察由n n个质点的、具有理想约束的系统。根据个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有达朗贝尔原理，有 主动力主动力 约束力约束力 惯性力惯性力 令系统有任意一组虚位移令系统有任意一组虚位移 系统的总虚功为系统的总虚功为 5.3.1 5.3.1 动力学普遍方程动力学普遍方程 动力学普遍方程动力学普遍方程 任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的 主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和 等于零。等于零。 1 1 动力学普遍方程动力学普遍方程 动力学普遍方程的直角坐标形式动力学普遍方程的直角坐标形式 动力学普遍方程动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。适用于具有理想约束或双面约束的系统。 动力学普遍方程动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于既适用于具有定常约束的系统，也适用于 具有非定常约束的系统。具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于既适用于具有完整约束的系统，也适用于 具有非完整约束的系统。具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有既适用于具有有势力的系统，也适用于具有 无势力的系统。无势力的系统。 动力学普遍方程动力学普遍方程 主要应用于已知主动力求系统的运主要应用于已知主动力求系统的运 动规律。动规律。 应用应用 动力学普遍方程动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重求解系统运动规律时，重 要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。 由于由于 动力学普遍方程动力学普遍方程 中不包含约束力，因此，中不包含约束力，因此， 不需要解除约束，也不需要将系统拆开。不需要解除约束，也不需要将系统拆开。 应用应用 动力学普遍方程动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和，需要正确分析主动力和 惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。 动力学普遍方程的应用动力学普遍方程的应用 例例 题题 1 1已知已知： m m ，R, fR, f ， 。 求：求：圆盘纯滚时质心的加速度。圆盘纯滚时质心的加速度。 C mg aC F F IRIR MMIC IC x x 解：解：1 1、分析运动，施加惯性力、分析运动，施加惯性力 2 2、本系统有一个自由度，、本系统有一个自由度， 令其有一虚位移令其有一虚位移 x x 。 3 3、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程 其中：其中： B B A A C C 例例 题题 2 2 离心调速器离心调速器 已知：已知： m m1 1 球球A A、B B 的质量；的质量； m m2 2 重锤重锤C C 的质量；的质量； l l杆件的长度；杆件的长度； O O1 1 y y1 1 轴的旋转角速度。轴的旋转角速度。 求：求： 的关系。的关系。 l l l l l l l l O O1 1 x x1 1 y y1 1 解：解： 不考虑摩擦力，这一系统不考虑摩擦力，这一系统 的约束为理想约束；系统具有一的约束为理想约束；系统具有一 个自由度。取广义坐标个自由度。取广义坐标 q q = = 1 1、分析运动、确定惯性力、分析运动、确定惯性力 球球A A、B B绕绕 y y轴等速转动；重锤静止不动。轴等速转动；重锤静止不动。 球球A A、B B的惯性力为的惯性力为 F FI IB B F FI IA A m m1 1g g m m2 2g g m m1 1g g B B A A C C l l l l l l l l O O1 1 x x1 1 y y1 1 F FI IB B F FI IA A m m1 1g g m m2 2g g m m1 1g g r rC C r rB B r rA A 2 2、令系统有一虚位移、令系统有一虚位移 。 A A 、 B B 、C C 三处的三处的 虚位移分别为虚位移分别为 r r A A 、 r rB B 、 r r C C 。 。 3 3、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程 根据几何关系，有根据几何关系，有 B B A A C C l l l l l l l l O O1 1 x x1 1 y y1 1 F FI IB B F FI IA A m m1 1g g m m2 2g g m m1 1g g r rC C r rB B r rA A 3 3、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程 x x O O y y C C2 2 D D 求：求：1 1、三棱柱后退的加速度、三棱柱后退的加速度a a 1 1 ； 2 2、圆轮质心圆轮质心C C 2 2 相对于相对于三棱三棱 柱加速度柱加速度a a r r 。 C C1 1 A A C C B B 例题例题3 3 质量为质量为m m 1 1 的的三棱柱三棱柱ABCABC 通过滚轮搁置在光滑的水平面上通过滚轮搁置在光滑的水平面上 。质量为。质量为m m 2 2 、半径为、半径为R R的均质圆轮的均质圆轮 沿沿三棱柱的斜面三棱柱的斜面ABAB无滑动地滚下无滑动地滚下 。 解：解：1 1、分析运动、分析运动 三棱柱作平动，加速度为三棱柱作平动，加速度为 a a 1 1 。 圆轮作平面运动，质心的牵连圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为加速度为a a e e = = a a 1 1 ；质心的相对加质心的相对加 速度为速度为a a r r ；圆轮的角加速度为圆轮的角加速度为 2 2 。 a a1 1 a ae e a a r r 2 2 x x O O y y C C2 2 D D C C1 1 A A C C B B a a1 1 2 2 m m1 1g g m m2 2 g g F FI I1 1 F F I I 2 e 2 e F F I I 2 r 2 r MMI2 I2 a ae e a a r r 解：解：2 2、施加惯性力、施加惯性力 解：解：3 3、确定虚位移、确定虚位移 考察三棱柱和圆盘组成的考察三棱柱和圆盘组成的 系统，系统具有两个自由度。系统，系统具有两个自由度。 第一组第一组 第二组第二组 二自由度系统具有两组虚二自由度系统具有两组虚 位移：位移： x x x x O O y y C C2 2 D D C C1 1 A A C C B B m m1 1g g m m2 2 g g F FI I1 1 F F I I 2 e 2 e F F I I 2 r 2 r MMI2 I2 解：解：4 4、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程 令：令： x x O O y y C C2 2 D D C C1 1 A A C C B B m m1 1g g m m2 2 g g F FI I1 1 F F I I 2 e 2 e F F I I 2 r 2 r MMI2 I2 解：解：4 4、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程 令：令： x x 解：解：5 5、求解联立方程、求解联立方程 此即此即拉格朗日方程拉格朗日方程 如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主 动力动力 2 2 拉格朗日拉格朗日( (LagrangeLagrange) )方程方程 引入拉格朗日函数引入拉格朗日函数L LT TV V 得到得到主动力为有势力的拉格朗日方程主动力为有势力的拉格朗日方程 如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主 动力动力 对于只具有完整约束、自由度为对于只具有完整约束、自由度为 N N 的系统，可以得到的系统，可以得到 由由 N N 个拉格朗日方程组成的方程组。个拉格朗日方程组成的方程组。 应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤：应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤： 首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势，首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势， 决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。 其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。义力。 将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。 拉格朗日方程的应用拉格朗日方程的应用 O A R r MM 例例 题题 均质杆均质杆O OA A质量为质量为m m 1 1 、可以绕、可以绕O O端转动端转动, , 小小齿齿轮轮A A质量为质量为m m 2 2 ，半径为，半径为r r , ,其上其上作用作用 力偶力偶MM。 求：求：该杆的运动方程。该杆的运动方程。 解：解：1 1、系统具有一个自由度，、系统具有一个自由度， 取取 为其广义坐标。为其广义坐标。 2 2、计算系统的动能：、计算系统的动能： 其中：其中： O A R r MM 3 3、计算广义力：、计算广义力： 4 4、应用拉格朗日方程、应用拉格朗日方程 例例 题题 5 5 已知已知： m m 1 1 , , m m 2 2 , , R, fR, f , , F F 。 求：求： 板的加速度。板的加速度。 F F C R解：解：1 1、系统具有二个自由度，、系统具有二个自由度， 取取 x x、 为其广义坐标。为其广义坐标。 O x x 2 2、计算系统的动能：、计算系统的动能： 其中：其中： 3 3、计算广义力：、计算广义力： (1)(1)令：令： (2)(2)令：令： F F s s 4 4、应用拉格朗日方程、应用拉格朗日方程 解得： 例例 题题 6 6 x x O O x x l l 0 0 质量为质量为m m、长度为、长度为l l 的均质杆的均质杆ABAB 可以绕可以绕A A端的铰链在平面内转动。端的铰链在平面内转动。 A A端的小圆轮与刚度系数为端的小圆轮与刚度系数为k k 的弹的弹 簧相连，并可在滑槽内上下滑动。簧相连，并可在滑槽内上下滑动。 弹簧的原长为弹簧的原长为l l 0 0 。 求求：系统的运动微分方程：系统的运动微分方程 A A B B k k C C 解：解：1 1、系统的约束为完整约束，、系统的约束为完整约束， 主动力为有势力。主动力为有势力。 2 2、系统具有两个自由度，广义坐、系统具有两个自由度，广义坐 标选择为标选择为q q= =( (x x, , ) ), , x x 坐标的原点取在坐标的原点取在 弹簧原长的下方弹簧原长的下方。 x x O O x x l l 0 0 A A B B k k C C 解：解：3 3、计算系统的动能：不计弹、计算系统的动能：不计弹 簧的质量，系统的动能即为簧的质量，系统的动能即为ABAB杆的杆的 动能动能 速度速度v v C C 的确定的确定 系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成，以系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成，以O O点为共同的点为共同的 势能零点：势能零点： x x O O x x l l 0 0 A A B B k k C C 拉格朗日函数拉格朗日函数 4 4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程 O A C k 例例 题题 7 7 质量为质量为m m 1 1 、半径为、半径为 r r 的均质圆的均质圆 轮在水平面上纯滚轮在水平面上纯滚，轮心与，轮心与刚性刚性 系数为系数为k k 的弹簧相连。的弹簧相连。均质杆均质杆ABAB 长度为长度为l l ，质量为质量为m m 2 2 。 求求：系统的运动微分方程。：系统的运动微分方程。 解：解：1 1、系统的约束为完整约束，、系统的约束为完整约束， 主动力为有势力。主动力为有势力。 2 2、系统具有两个自由度，广义坐、系统具有两个自由度，广义坐 标选择为标选择为q q= =( (x x, , ) ), , x x 坐标的原点取在坐标的原点取在 弹簧原长处弹簧原长处。 x x y O A C k x x y 3 3、计算系统的动能：、计算系统的动能： 速度速度v v C C 的确定的确定 系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成： O A C k x x y 拉格朗日函数拉格朗日函数 4 4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程 O O1 1 O O2 2 例例 题题 8 8 质量为质量为m m、半径为、半径为 3R 3R 的均质大的均质大 圆环在粗糙的水平面上纯滚圆环在粗糙的水平面上纯滚。另。另 一小圆环质量亦为一小圆环质量亦为m m ，半径为半径为R R ，又在粗糙的大圆环内壁做纯滚又在粗糙的大圆环内壁做纯滚 动。不计滚动摩阻，整个系统处动。不计滚动摩阻，整个系统处 于铅垂面内。于铅垂面内。 求求：系统的运动微分方程。：系统的运动微分方程。 解：解：1 1、系统的约束为完整约束，、系统的约束为完整约束， 主动力为有势力。主动力为有势力。 2 2、系统具有两个自由度，广义坐、系统具有两个自由度，广义坐 标选择为标选择为q q= =( ( , , ) )。 O O1 1 O O2 2 3 3、计算系统的动能：、计算系统的动能： 由运动学可知：由运动学可知： 建立随质心建立随质心O O 1 1 平动的坐标系平动的坐标系O O 1 1 x x 1 1 y y1 1 x x1 1 y y1 1 O O1 1 O O2 2 E E v v O1O1 v v O2rO2r v v ErEr O O1 1 O O2 2 3 3、计算系统的动能：、计算系统的动能： O O1 1 O O2 2 E E v v O1O1 v v O2rO2r v v ErEr 系统的势能：系统的势能： O O1 1 O O2 2 拉格朗日函数拉格朗日函数 4 4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程 达朗贝尔原理在形式上将质点系动力学达朗贝尔原理在形式上将质点系动力学 问题化为静力学平衡问题。问题化为静力学平衡问题。 虚位移原理给出了质点系平衡的充分与虚位移原理给出了质点系平衡的充分与 必要条件。必要条件。 通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广 应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔