过程控制基础第2章系统的数学模型.ppt

第五节第五节 传递函数传递函数 传递函数是描述系统运动规律的一种数学表达式。 它是一个复变量函数。按传递函数，可以把工程中 所遇到的元件、部件或系统用典型环节表示出来。 引用了传递函数的概念之后，可以更直观、更形象 地表示一个系统的结构和系统各变量间的数学关系 ，并使运算可以大为简化 。 一一. .传递函数的概念传递函数的概念 线性定常系统的传递函数定义为：当全部初始条件 为零时（输入量施加于系统之前，系统处于稳定的 工作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也均为 0），输出量y(t)的拉氏变换Y(s)与输入量x(t)的拉氏 变换X(s)之比叫做系统的传递函数G(s)。 设线性定常系统输入为x(t) ，输出为y(t) ，描述系 统的微分方程的一般形式为 : （2-562-56） 式中，nm; an,bm均为系统结构参数所决定的定常 数 。（n，m=0、1、2、3） 如果变量及其各阶导数初值为零如果变量及其各阶导数初值为零，取等式两边拉，取等式两边拉 氏变换后得氏变换后得 （2-572-57） 根据传递函数的定义，系统的传递函数G(s)为 (2-58)(2-58) 特征方程 X(s)=0 系统的特征方程， 特征根。 特征方程决定着系统的动态特性。 X(s) 中s的最高阶次等于系统的阶次。 当s=0时 系统的放大系数或增益 ！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导 数项都为零。K 系统处于静态时，输出与输 入的比值。 零点和极点 的根 ，称为传递函数的零点； 的根 ，称为传递函数的极点； ！系统传递函数的极点就是系统的特征根。 ！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数！ 零、极点分布图 传递函数的零、极点 分布图： 将传递函数的零、极 点表示在复平面上的 图形。 零点用“O”表示 极点用“”表示 u 传递函数分母多项式中s的最高幂数代表了 系统的阶数，如s的最高幂数为n则该系统为n 阶系统。 结论 u 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部的输 入输出特性来描述系统的内部特性。若输 入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s) 决定。 u 传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参 数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的 输入形式无关。 注意 u 适用于线性定常系统 u 只适合于单输入单输出系统的描述 u 无法描述系统内部中间变量的变化情况 u 传递函数原则上不能反映系统在非零初 始条件下的全部运动规律 u 传递函数中的各项系数和相应微分方程 中的各项系数对应相等，完全取决于系统结 构参数 例例2-172-17试写出具有下述微分方程式的传递函数。试写出具有下述微分方程式的传递函数。 （）（） （）（） 解：按（解：按（2-582-58）式，则传递函数为）式，则传递函数为 （）（） （）（） 二二. .典型环节的传递函数典型环节的传递函数 设系统有 b个实零点;d 个实极点; c 对复零点; e对复极点; v个零极点。 b+2c = m v+d+2e = n 把对应于实数零点把对应于实数零点z z i i 和实数极点和实数极点p p j j 的因式变换成的因式变换成 ： 式中式中 把对应于共轭复数零点、极点的因式变换成：把对应于共轭复数零点、极点的因式变换成： 式中式中 而而 式中式中 ！串联 比例环节一阶微分环节二阶微分环节 积分环节惯性环节二阶振荡环节 理想微分环节 延迟环节 系统传递函数一般形式可以写成：系统传递函数一般形式可以写成： u 环节是根据微分方程划分的，不是具体 的物理装置或元件 u 一个环节往往由几个元件之间的运动特 性共同组成 u 同一元件在不同系统中作用不同，输入 输出的物理量不同，可起到不同环节的作 用 1. 1.比例环节比例环节 比例环节的微分方程式为比例环节的微分方程式为 （2-592-59） 则传递函数为则传递函数为 （2-602-60） 式中k比例系数 这类环节在工程中是很多的，比如齿轮系统中的 输出转速与输入转速的关系；杠杆中的输出位移 和输入位移的关系；电位计中的输出电压与输入 转角的关系；电子放大器中输出信号与输入信号 的关系等 表表2-22-2常见的比例环节常见的比例环节 2. 2.积分环节积分环节 积分环节的微分方程为积分环节的微分方程为 （2-61） 传递函数为 （2-62） 具有上式传递函数的环节，称为具有上式传递函数的环节，称为积分环节积分环节。 积分环节很多，仅举几个例子加以说明。积分环节很多，仅举几个例子加以说明。 例2-18 如图2-12所示的油缸，其输入为流量q,输出 为油缸活塞的位移x,试写出其传递函数。 图图2-122-12 液压积分环节 液压积分环节 解：活塞的速度为解：活塞的速度为 所以位移 所以位移 （2-632-63） 式中式中A A活塞的面积活塞的面积 对式（对式（2-582-58）取拉氏变换，并）取拉氏变换，并 整理，则得其传递函数为整理，则得其传递函数为 ： （2-64） 注意：注意：位移对流量来说是积分环节，而速度对流量来位移对流量来说是积分环节，而速度对流量来 说，则是一个比例环节。因此对一个具体的物理系统说，则是一个比例环节。因此对一个具体的物理系统 而言，究竟是属于那一个环节，要看确定出而言，究竟是属于那一个环节，要看确定出输入量与输入量与 输出量输出量后的传递函数而定。后的传递函数而定。 例2-19 如图2-13的无源网络，输入量为回路电流i, 而输出量为uc，试写出其传递函数。 图图2-132-13 电气积分环节 电气积分环节 解：电容器充电电流解：电容器充电电流i i与电容器两端的电压与电容器两端的电压u u c c 关系为关系为 （2-652-65） 对式（对式（2-652-65）进行拉氏进行拉氏 变换得变换得传递函数为传递函数为 （2-662-66） 3. 3.惯性环节惯性环节 （2-672-67） （2-682-68） 惯性系统的传递函数是惯性系统的传递函数是 式中，式中，y y为输出量；为输出量；x x为输入量。对上式进行拉氏为输入量。对上式进行拉氏 变换得：变换得： 惯性环节的微分方程是惯性环节的微分方程是 式中，式中，T T 为时间常数。为时间常数。 例例2-202-20 如图如图2-142-14所示的无源网络，当输入电压所示的无源网络，当输入电压 u u i i ( (t t) )输出电压输出电压u u o o ( (t t), ),试写出其传递函数。试写出其传递函数。 图图2-142-14 电气惯性系统 电气惯性系统 ui(t)uo(t) R C i 解：按基尔霍夫定律建立回路电压方程式得到解：按基尔霍夫定律建立回路电压方程式得到 ： （2-692-69） （2-702-70） 由（由（2-702-70）式得）式得 （2-712-71） 将将( ( 2-702-70）、（）、（2-712-71）代入（）代入（2-692-69）式，且两边取）式，且两边取 拉氏变换，得到拉氏变换，得到 （2-722-72） 式中式中 例例2-212-21 设有一个液压缸如图设有一个液压缸如图2-152-15 所示，它带动具所示，它带动具 有弹性系数为有弹性系数为k k的弹性负载和阻尼系数为的弹性负载和阻尼系数为f f c c 的阻尼的阻尼 负载。试求以压力负载。试求以压力p p为输入量，与以活塞位移为输入量，与以活塞位移x x为为 输出量的传递函数。输出量的传递函数。 图图2-152-15 油缸负载系统 油缸负载系统 解：液压缸的作用力解：液压缸的作用力F F （2-732-73） 式中式中p p进油压力进油压力 A A液压缸工作面积液压缸工作面积 该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即 （2-742-74） 式中式中x x 液压缸输出位移液压缸输出位移 f f c c 阻尼系数阻尼系数 K K 弹簧刚度弹簧刚度 合并式（合并式（2-732-73）与式（）与式（2-742-74），得液压缸的运），得液压缸的运 动方程式：动方程式： （2-752-75） 传递函数为传递函数为 （2-762-76） 式中式中 4. 4.微分环节微分环节 （2-77） 一阶微分环节 理想微分环节 （2-78） 二阶微分环节二阶微分环节 （2-79） 式中，式中，T T为常数；为常数； 为阻尼比。为阻尼比。 对应于上面微分方程式的传递函数分别为 理想微分环节 （2-80） 一阶微分环节 （2-81） 二阶微分环节二阶微分环节 （2-82） 其中，若其中，若 具有实根时，（具有实根时，（2 2 -79-79）、（、（2-822-82）所描述的环节就不是二阶微分环）所描述的环节就不是二阶微分环 节，它实际上是两个一阶微分环节的串联。节，它实际上是两个一阶微分环节的串联。 例2-22如图所示的电气环节，输入电压ui(t),输出 电压为uo(t)，试写出其传递函数。 图2-16 电气微分环节 解：按基尔霍夫定律建立回路解：按基尔霍夫定律建立回路 电压方程式得到电压方程式得到 经拉氏变换后，整理，可 得传递函数为 （2-832-83） 式中式中 如果RC很小，式（2-83）可以近似写成G(s)=Ts。可 以把图2-16所示的RC电路看成理想微分环节。 5. 5.振荡环节振荡环节 其微分方程式为 （2-84） 传递函数为 （2-85） 在图2-2所示的机械系统可以看作这种环节。 对于平移机械系统，微分方程式为： （2-862-86） 其传递函数为其传递函数为 6 6、延迟环节、延迟环节 输出与输入关系具有延迟关系的环节，称为延 迟环节。 微分方程为 传递函数为传递函数为 （2-872-87） 实际上，任何线性系统都可由实际上，任何线性系统都可由8 8种（或其中若干种）种（或其中若干种） 典型环节构成，这典型环节构成，这8 8种典型环节的传递函数如下：种典型环节的传递函数如下： 1 1、放大环节（或比例环节）、放大环节（或比例环节） 2 2、理想微分环节、理想微分环节 3 3、一阶微分环节、一阶微分环节 4 4、二阶微分环节、二阶微分环节 5 5、积分环节、积分环节 6 6、惯性环节、惯性环节 7 7、振荡环节、振荡环节 8 8、延迟环节、延迟环节 第六节第六节 框图及其应用框图及其应用 框图是系统中各个元件功能和信号流向的图框图是系统中各个元件功能和信号流向的图 解表示。用框图表示系统的优点是，只要依解表示。用框图表示系统的优点是，只要依 据信号的流向，将各环节的框图连接起来，据信号的流向，将各环节的框图连接起来， 就能容易地构成整个系统；通过框图可以评就能容易地构成整个系统；通过框图可以评 价每一个环节对系统性能的影响，便于对系价每一个环节对系统性能的影响，便于对系 统进行分析和研究。框图和传递函数表达式统进行分析和研究。框图和传递函数表达式 一样包含了与系统动态性能有关的信息，但一样包含了与系统动态性能有关的信息，但 和系统的物理结构无关。因此，和系统的物理结构无关。因此，不同的物理不同的物理 系统，可以用同一框图表示系统，可以用同一框图表示；另外，由于分；另外，由于分 析角度的不同，对于同一系统，可以画出许析角度的不同，对于同一系统，可以画出许 多不同的框图。多不同的框图。 结构框图结构框图 将系统中各元件的将系统中各元件的名称或功用名称或功用写在写在框框图单元图单元 中，并标明它们之间的连接顺序和信号流向中，并标明它们之间的连接顺序和信号流向 ，主要用来说明系统构成和工作原理。，主要用来说明系统构成和工作原理。 函数框图函数框图 把元件或环节的传递函数写在框图单元内把元件或环节的传递函数写在框图单元内 ，并用表明信号传递方向的箭头将这些框，并用表明信号传递方向的箭头将这些框 图单元连接起来，主要用来说明环节特性图单元连接起来，主要用来说明环节特性 、信号流向及变量关系，便于分析系统。、信号流向及变量关系，便于分析系统。 一、方框图单元、相加点和分支点一、方框图单元、相加点和分支点 1 1. .方框图单元方框图单元 如图如图2 2-17-17所示，图中指向方框图单元的箭头表示输所示，图中指向方框图单元的箭头表示输 入，从方框图出来的箭头表示输出，箭头上标明入，从方框图出来的箭头表示输出，箭头上标明 了相应的信号，了相应的信号，G G( (s s) )表示其传递函数。表示其传递函数。 方块图的运算功能为： （2-88） 2.相加点 如图2-18 所示，相加点代表两个或两个以上的 输入信号进行相加或相减的元件，或称比较器 。箭头上的“+”或“-”表示信号相加还是相减， 相加减的量应具有相同的量纲。 图2-18 相加点 3. 3.分支点如图分支点如图 2 2-16-16所示，分支点表示信号引所示，分支点表示信号引 出和测量的位置，同一位置引出的几个信号出和测量的位置，同一位置引出的几个信号 ，在大小和性质上完全一样。，在大小和性质上完全一样。 图图2-162-16 分支点 分支点 二、框图基本连接方式二、框图基本连接方式 1. 1.串联串联 各环节一个个顺序连接称为串联，如图各环节一个个顺序连接称为串联，如图2-202-20所示。所示。 前一框图的输出为后一框图的输入。前一框图的输出为后一框图的输入。G G 1 1 ( (s s) )、G G 2 2 ( (s s) )为为 各个环节的传递函数，综合后总的传递函数为：各个环节的传递函数，综合后总的传递函数为： 由串联环节所构成的系统，当前后方框之 间无负载效应时，它的总传递函数等于个 环节传递函数的乘积。 当系统由n个环节串联而成时，总传递函 数为： （2-89） 式中Gi(s)第i个串联环节的传递函数 (i=1，2，n ) 2. 2.并联并联 凡有几个环节的输入相同，输出相加或凡有几个环节的输入相同，输出相加或 相减的连接形式称为并联。图相减的连接形式称为并联。图2-212-21为两个环节的为两个环节的 并联，共同的输入为并联，共同的输入为X X( (s s), ),总输出为总输出为: : 总的传递函数为总的传递函数为 并联环节所构成的总传递函数，等于各个 并联环节传递函数之和（或差）。 推广到n个环节并联，其总的传递函数等于 各并联环节传递函数的代数和，即 （2-90） 式中Gi(s)第i个并联环节的传递函数(i=1 ，2，n ) 3 3、反馈连接、反馈连接 将系统或某一环节的输出量，全部或部分地通过将系统或某一环节的输出量，全部或部分地通过 反馈回路回馈到输入端，又重新输入到系统中去反馈回路回馈到输入端，又重新输入到系统中去 。反馈信号与输入信号相加的称为。反馈信号与输入信号相加的称为“ “正反馈正反馈” ”，与，与 输入信号相减的称为输入信号相减的称为“ “负反馈负反馈” ”。 由图可见：由图可见： （2-912-91） （2-922-92） 将将( ( 2-922-92 ) ) 式代入式代入( ( 2-912-91 ) ) 式，经整理后，式，经整理后， 可得传递函数为：可得传递函数为： （2-932-93） （2-932-93）式中，传递函数分母的）式中，传递函数分母的“ “+”+”号对号对 应于负反馈情况，而应于负反馈情况，而“ “-”-”号对应于正反馈号对应于正反馈 情况。情况。 前向通路：前向通路： 信号沿箭头方向从输入直到输出，并且每一路径信号沿箭头方向从输入直到输出，并且每一路径 不要重复的通道。不要重复的通道。 前向通路传递函数：前向通路传递函数： 在前向通路中，所有经过的环节的乘积。可由下在前向通路中，所有经过的环节的乘积。可由下 式计算：式计算： （2-94） 反馈回路传递函数： H(s)称为反馈回路传递函数，它是信号沿着输出端 进入，而回到输入端时所有经过的环节乘积，即 （2-95） 常用的几个术语常用的几个术语 开环传递函数： G(s)H(s)称为系统的开环传递函数，可表示为 （2-96） 注意 ：开环传递函数和开环系统传递函数是不 一样的。将（2-94）、（2-95）与（2-96）代入 （2-93）式中，则系统的闭环传递函数为 ： （2-97） 当H(s)=1时，我们将系统称为单位反馈系统或全 反馈系统。 可以对输入量与干扰量单独地进行处理，然后再可以对输入量与干扰量单独地进行处理，然后再 叠加，就可以得到总的输出叠加，就可以得到总的输出Y Y( (s s) )。 同时存在输入量同时存在输入量X X( (s s) )与干扰量与干扰量N N( (s s) )时的系统时的系统 在输入量X(s)的作用下可把干扰量N(s)看作为零 ，系统的输出为YR(s)，则 (2-98)(2-98) 在干扰量N(s)作用下可把输入量X(s)看作为零， 系统的输出为YN(s) ，则 （2-99） 在（2-98）式中，称GX(s)为输出量对输入量的传 递函数，即 在（在（2-992-99）式中，）式中，称称GN(s)为输出量对干扰量的传为输出量对干扰量的传 递函数递函数，即，即 （2-1012-101） 系统总的输出量系统总的输出量 （2-1022-102） （2-1002-100） 三、绘制系统框图的方法三、绘制系统框图的方法 1、列出描述系统各个环节的运动方程式，明确 信号的因果关系（输入/输出）； 2、假定初始条件等于零，对方程式进行拉氏变 换，求出环节的传递函数，并将它们分别以方块 的形式表示出来； 3、按照信号在系统中的传递、变换过程，依次 将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图 。 例2-23绘制图2-24所示的二阶RC回路的框图 。 解：首先列出系统原始方程 （2-1032-103） （2-1042-104） （2-1052-105） （2-1062-106） 求出与上述方程式相对应的拉氏变换式求出与上述方程式相对应的拉氏变换式 （2-1072-107） （2-1082-108） （2-1092-109） （2-1102-110） 根据方程中间变量间的关系画出与式（2-107）至式 （2-110）相对应的方块图，将上面四张单元方块图 中相同的变量联接起来，即得二阶RC回路的方块图 。 练习题：绘制图示机械系统的框图。设作用力fi(t) 、位移xo(t)分别为系统的输入量、输出量。 解 ： 拉氏变换得 四、框图的变换法则四、框图的变换法则 系统可以由多个典型环节以不同方式系统可以由多个典型环节以不同方式 联接，通常采用框图的变换法则将其联接，通常采用框图的变换法则将其 变换成最基本的联接方式，最后可以变换成最基本的联接方式，最后可以 轻而易举地得到系统的传递函数。轻而易举地得到系统的传递函数。 序 号 原框图等效框图说明 1 加法交 换律 2 加法结 合律 3 乘法交 换律 4 乘法结 合律 表2-3 框图变换法则 序 号 原框图等效框图说明 5 并联环 节简化 6 相加点 前移 7 相加点 后移 8 分枝点 前移 序 号 原框图等效框图说明 9 分枝点 后移 10 分枝点 前移越 过比较 点 11 分枝点 后移越 过比较 点 等效等效是这一框图与原框图不管内部联接如何变化是这一框图与原框图不管内部联接如何变化 ，但从，但从进入到框图的输入信号以及输出信号进入到框图的输入信号以及输出信号来看来看 ，这些量都是不变的。，这些量都是不变的。 结论：结论： 1 1、分支点可以互换；、分支点可以互换； 2、相加点可以互换； 3、分支点可以前移或后移，但移动之后，需在 此回路中乘或除以所跨接的传递函数； 4、相加点可以前移或后移，但移动之后，需在 此回路中除或乘以所跨接的传递函数； 注意：注意：前移是迎着信号输入方向移动；后移是顺前移是迎着信号输入方向移动；后移是顺 着信号输出方向移动。着信号输出方向移动。 五、系统传递函数的求法五、系统传递函数的求法 一个系统，只要可以画出框图联接方式，然后应用一个系统，只要可以画出框图联接方式，然后应用 变换法则与基本连接公式，就很容易求得系统的传变换法则与基本连接公式，就很容易求得系统的传 递函数。递函数。 例例2-242-24求出如图求出如图2-262-26所示框图的传递函数。所示框图的传递函数。 图图2-262-26 a) 解： 1、图2-26(a)的分支点A后移到分支点B处，因而得 到图2-26(b)所示的方框图。它包括三个回路，分别 以、标明。 图图2-262-26 b) 2、第回路的传递函数为： 以F3(s)代替第回路，从而得到图 2-26 (c) 图图2-262-26 c) 3、 第回路的传递函数为： 以F2(s)代替第回路，从而得到图2-26(d) 图图2-262-26 d) 4、最后，得到系统的传递函数为 可以将其表示在图 2-26（e）的框图中。 图 2-26（e） 第七节第七节 信号流程图及梅逊公式信号流程图及梅逊公式 n n 当系统很复杂时，框图的简化过程就显当系统很复杂时，框图的简化过程就显 得很复杂。得很复杂。 n n 信号流程图是另一种分析复杂系统的有信号流程图是另一种分析复杂系统的有 用工具，它可以不需要经过任何简化，直用工具，它可以不需要经过任何简化，直 接采用梅逊公式求出系统的传递函数。接采用梅逊公式求出系统的传递函数。 一、信号流程图及术语一、信号流程图及术语 二、信号代数运算法则 三、系统信号流程图的画法三、系统信号流程图的画法 图图2-252-25（a a）的框图可表示成图的框图可表示成图2-25 (b)2-25 (b)的的 信号流程图。信号流程图。 图图2-252-25 框图与信号流程图 框图与信号流程图 信号流程图中的输入节点表明框图的输入信号流程图中的输入节点表明框图的输入 信号信号X X( (s s) )，输出节点表示了输出信号，输出节点表示了输出信号Y Y( (s s), ), 支路的传输表示了传递函数。支路的传输表示了传递函数。 反馈回路的框图与信号流程图的对应关系反馈回路的框图与信号流程图的对应关系 n n 信号流程图中的信号流程图中的E E( (s s) )点为只有一个输出支路的混点为只有一个输出支路的混 合节点，它对应于框图中的相加点合节点，它对应于框图中的相加点A A。 n n 信号流程图中的混合节点信号流程图中的混合节点Y Y( (s s) )对应于框图中的分对应于框图中的分 支点支点B B。 n n 反馈回路中的传递函数反馈回路中的传递函数HH( (s s) )可用信号流程图中的可用信号流程图中的 Y Y( (s s) )节点到节点到E E( (s s) )节点的传输表示，如为负反馈，传节点的传输表示，如为负反馈，传 输前加输前加“ “” ”号。号。 例例2 2-25-25 试将图 试将图2-302-30的框图化为信号流程图。的框图化为信号流程图。 图图2-302-30 框图框图 图图2-312-31 信号流程图信号流程图 解：图解：图2-302-30框图可化为图框图可化为图2-312-31的信号流程图。的信号流程图。 例例2 2-26-26 试将图 试将图2-322-32的框图化为信号流程图。的框图化为信号流程图。 图图2-322-32 框图框图 解：图解：图2-322-32框图可化为图框图可化为图2-332-33的信号流程图。的信号流程图。 图图2-332-33 信号流程图信号流程图 四、梅逊公式四、梅逊公式 在信号流程图上，利用梅逊公式可以直接计算出在信号流程图上，利用梅逊公式可以直接计算出 来系统的传递函数。来系统的传递函数。 梅逊公式可表示为：梅逊公式可表示为： （2-111） 式中： PK -第K条前向通路的通路传递函数； - 信号流程图的特征式，可由下式计算 （2-112） 上上式中式中 :为所有不同回路的传递函数之和； :为每两个互不接触回路传递函数乘 积之和； :为每三个互不接触回路传递函数 乘积之和； K :第K条前向通路特征式的余因式，其值 是除去与第K条前向通路相接触回路传递函 数以后的值。 例2-27 试求出图2-31信号流程图表示的系统传递函数。 解：此例中仅有一条前向通路P1 ，三条反馈回路分别 为L1 ，L2及L3 ，且L1及L2互不接触（即为独立回路） 所以所以 ： 因为因为L L 1 1 ， ，L L 2 2 及及L L 3 3 都同前向通路都同前向通路P P 1 1 相接触相接触 最后可求得系统的传递函数为：最后可求得系统的传递函数为： 例例2 2-28-28 试求出图试求出图2-342-34信号流程图所示系统信号流程图所示系统 的传递函数。的传递函数。 图2-34 信号流程图 解：此例有三条前向通路，分别为解：此例有三条前向通路，分别为P P 1 1 ，P P 2 2 与与P P 3 3 ，还，还 有四条反馈回路有四条反馈回路L L 1 1 ，L L 2 2 ，L L 3 3 与与L L 4 4 且且L L 1 1 与与L L 2 2 不接触。不接触。 所以：所以： （全部