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两个向量的数量积两个向量的数量积 3.1.3 空间向量及其运算 一、引入 1.共线向量定理： 2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 平行，则 (2)三点P、A、B共线的充要条件有： 3.共面向量定理： 4.P、A、B、C四点共面充要条件： 已知非零向量 与 ，我们把数量 叫 作 与 的数量积（或内积），记作 ，即 1. 数量积的定义： 我们规定零向量与任一向量的数量积为零，即 注意： (1)数量积是两个向量之间的运算，要与“数乘”相区别； (2)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，它的符号 由cosq的符号决定； (3)点乘符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略， 也不能用“”代替. 二、基础知识讲解 二、.空间向量的数量积性质 注意：性质2）是证明两向量垂直的依据； 性质3）是求向量的长度（模）的依据； （）性质是求两个向量夹角的依据； 对于非零向量 ，有： 三.空间向量的数量积满足的运算律 注意： 数量积不满足结合律 数量积的应用 数量积的应用（一）求线线角 课堂练习 课本92页1. 例1 已知在平行六面体 中， , , 求对角线 的长。 A D C B 数量积的应用（二）求线段长度 课堂练习 课本92页3. 数量积的应用（二）证明垂直 证明： 如图,已知: 求证： 在直线l上取向量 ,只要证 为 逆命题成立吗? 在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 C B A1 B1 C1 A D D1 证明： C B A1 B1 C1 A D D1 同理可证， A1CB1D1 由三垂线定理知 A1CBC1 C B A1 B1 C1 A D D1 结论:正方体的对角线与每个面中与之 为异面直线的对角线垂直 m n g 解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在 上取非零向量 因m与n相交,故向量m ,n 不平行,由共面向量定理,存在唯一实数 ,使 例3:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 m, n,求证: . 小 结： 到目前为止，我们可以利用向量数量积解决立体 几何中的以下几类问题： 1、证明两直线垂
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