高中数学1.3空间几何体的表面积与体积.ppt

上面提到的物体的几何结构特征大致有以 下几类： 多面体多面体 旋旋 转转 体体 柱体柱体锥体锥体 台体台体 球球 问题:1.长方体的展开图与其表面积有何关系？ 水立方的长，宽，高分别为177m 177m30m试求它的表面积 (1)矩形面积公式： _。 (2)三角形面积公式：_。 正三角形面积公式：_。 (3)圆面积面积公式：_。 (4)圆周长公式： _。 (5)扇形面积公式： _。 (6)梯形面积公式： _。 (7)扇环面积公式： _。 如何用展开图来计算棱柱棱锥棱台的表面积？ 侧面展开图的构成几何体的展开图 表面积=侧面积+底面积 一组平行四边形 一组梯形 一组三角形 例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面 体S-ABC，求它的表面积 D 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组 成。 因为SB=a， 所以： 因此，四面体S-ABC 的表面积 交BC于点D 解：先求 的面积，过点S作 B C A S a 例2.下图图是一个几何体的三视图视图 (单单位:cm)想 象对应对应 的几何体，并求出它的表面积 12 解：直观图是四棱台,侧 面是四个全等的梯形,上 下底面为不同的正方形 如何根据圆柱、圆锥、的几何结构特征求它 们的表面积. 表面积侧面积 侧面展开图 圆台呢？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别和矩形、三角形、梯 形的面积有什么相似的地方？ 梯 形 三 角 形 矩 形 平面图形面积空间体的侧面积空间体侧面展开图 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式有什么联系？ 侧面积侧面展开图 1.看图回答问题 做一做 3.以直角边长为边长为 1的等腰直 角 三角形的一直角边为轴边为轴 旋转转 ， 所得旋转转体的表面积为积为 _. _ . 2.一个圆圆柱形锅锅炉的底面半径为为 ,侧侧面展 开图为图为 正方形，则则它的表面积积 为为 21 4.已知圆锥圆锥 的表面积为积为 ，且它的侧侧面展开 图图是一个半圆圆，这这个圆锥圆锥 的底面直径 _. 分析 (1)花盆外壁的面积=花盆的侧 面积+底面积-底面圆孔面积 23 (2)涂100个需漆: y=0.1100100 =1000(毫升) 答:每个涂漆面积0.1 , 100个需 涂漆1000毫升. 24 解: (1) 蜜蜂爬行的最短路线问题. 易拉罐的 底面直径 为8cm,高 25cm. 分析: 可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开, 将问题转化为平面几何的问题. A B 三者之间关系三者之间关系 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？ 柱体、锥体、台体的表面积 各面面积之和 小结：小结： 展开图 圆台 圆柱 圆锥 一、基本知识 二、思想方法 由特殊到一般 类比、归纳、猜想 转化的思想 直棱柱 ：侧棱和底面垂直的棱柱 侧面展开 斜高h 正棱锥 ：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面 的正投影是底面的中心，则称这样的棱锥为正棱锥。 侧面展开 正棱台 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底 面之间的部分叫做正棱台 练习 v5. 已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为 3cm。它的展开图的形状为_。该图 形的弧长为_cm，半径为_cm， 所以圆锥的侧面积为_cm2。 扇形 6 34 扇形面积公式 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法 球的体积 我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新 拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是 当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式 即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积 ，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n 变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积 球的体积 分割求近似和化为准确和 问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积. A O B2 C2 A O O R O A 球的体积 球的体积 球的体积 2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为 顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大 ,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. 1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块, 每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似 看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近 于甚至等于球的表面积. 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图 求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法, 是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式 球的表面积 球的表面积 第 一 步 ： 分 割 球面被分割成n个网格，表面积分别为： 则球的表面积： 则球的体积为： O O 球的表面积 第 二 步 ： 求 近 似 和 由第一步得： O O 球的表面积 第 三 步 ： 化 为 准 确 和 如果网格分的越细,则: “小 锥体”就越接近小棱锥 O 球的表面积 例1.钢球直径是5cm,求它的体积. (变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 例题讲解 (变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是 答:空心钢球的内径约为4.5cm. 由计算器算得: 例题讲解 (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 至少要用多少纸? 用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体 侧棱长为5cm 例题讲解 例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。 AB CD D1 C1 B1 A1 O 分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。 AB CD D1 C1 B1 A1 O 例题讲解 O A B C 例已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的 体积，表面积 解：如图图，设设球O半径为为R， 截面O的半径为为r， 例题讲解 O A B C 例.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积 ，表面积 例题讲解 2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为cm3. 8 3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 个球的体积之比_. 1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的倍. 练习一 课堂练习 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是_. 练习二 1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的_倍. 2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的_倍. 3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_. 课堂练习 7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是_. 5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ， 则它的外接球的表面积为