微积分课后题答案高等教育出版社.doc

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习 题 一（A） 1解下列不等式，并用区间表示不等式的解集：（1）x-47；（3）（5）（2）1x-23； x-a0)； （4）（6）ax-x00)； x2-x-60； x2+x-20解：.j即(-3,11). 1)由题意去掉绝对值符号可得：-7x-47，可解得-3x112）由题意去掉绝对值符号可得-3x-2-1或1x-23，可解得 -1x1,3x5.即(-1，1)3,53）由题意去掉绝对值符号可得-ex-e,解得a-exa+e.即(a-e , a+e)；4）由题意去掉绝对值符号可得-dax-x0d,解得x-dax0,x3或x0,而2cosx0和4-x0可解得x-1 1x0,可解得 0x5,即(0 , 5).43)原函数若想有意义必须满足1-x1+x0,可解得 -1x1,即(-1 , 1).x-202x34)原函数若想有意义必须满足,即 2 , 3 ( 3 , 5 ),3. x-30,可解得 3x0x-1x2-4x+305)原函数若想有意义必须满足,可解得 ,即(- , 1 3 , + ).x3(x-3)(x-1)0x00x101-lgx07)原函数若想有意义必须满足1-102x0可解得00,2x-11可解得 -3 , -2 ( 3 , 4 )7. 4求下列分段函数的定义域及指定的函数值，并画出它们的图形： （1）y=-x2,2x33x4x-1,，求y(0) , y(3)；（2） 解： 1x0x,y=x-3 ,0x1-2x+1 ,1x，求y(-3) , y(0) , y(5)1）原函数定义域为：(-4 , 4) y=(0)=3 y=(3)=8.图略2)原函数定义域为：(- , +) y(-3)=-1 y=(0)=-3 y(5)=-9y(5)-9.图略 3 5利用y=sinx的图形，画出下列函数的图形：p(1)y=sinx+1； （2）y=2sinx； （3）y=sinx+ 6解：y=sinx的图形如下y1 -1 2 x(1)y=sinx+1的图形是将y=sinx的图形沿沿y轴向上平移1个单位2 y10 p 3p 2 x (2)y=2sinx是将y=sinx的值域扩大2倍。 y -2 2 2 p 3p（3）y=sin(x+p)是将y=sinx向2移动p个单值。 6 y1-p 0-1 5p 11p x 6在下列区间中，函数f(x)=xsin(x-2)x(x-1)(x-2)2 无界的为（A）(-1 , 0) B(0 , 1) C(1 , 2) D(2 , 3)解：f(x)是基本初等函数的组合，在其定义域 B(-1 , 1) C(-2 , -1) D(-3 , 0)解：7.C. 可画出函数图像判断，图略 8指出下列函数单调增加和单调减少的区间：（1）y= 解：（1）在0 , 2上，在2 , 4上；（2）在(- , +)上；（3）在(0 , +)上；（4）在(- , 0)上，在(0 , +)上 9设f(x)x4x-x2； （2）y=x5+2 （3）y=x+log2x； （4）y=1-3x2 在(0 , +)上单调减少，a , b是任意正数，则有（C）f(a)+f(b) Bf(a+b)Af(a+b) 解:C； f(a)+f(b) f(a+b)f(a)+f(b)a+bf(a+b)f(a)f(a+b)f(b)a+baa+bba+baf(a)f(b)+aa设ab则f(a+b)f(b)a+baa 2f(a+b) 2f(a+b)2 f(a+b)10指出下列函数的奇偶性：（1）sinx+cosx； （2）xx x4-1+tanx；x0 ，1-x ， 1+x , x0 .（3）lg( x+1-x)；2 （4）ax+a-xa-a（5）coslgx； （6）f(x)= 解：1）偶函数；f(-x)=sin(-x)+cos(-x)=sinx+cosx=-xxf(x)2）奇函数；f(-x)=-x3）奇函数；f(-x)=1g(x4-1+tan(-x)=xx4-1+tan(x)=-f(x) x2+1+x)=1g1x+1-x2=-f(x)4）奇函数；f(-x)=a-x+axa-x-ax=-f(x)5）非奇非偶函数；f(x)定义域不关于原点对称6）偶函数. 1+x x0 f(-x)=1-x x0 11判别下列函数是否是周期函数，若是则求出其周期：（1）sin2x； （2）3-sin4x；（3）xcosx； （3）2cosx-3sinx. 23 解：1）是周期函数，因为sin2(x+p)=sin2x ,所以周期T=p。2）是周期函数，因为3-sin4(x+p)4=3-sin4x，所以周期T=p. 43)不是周期函数。4）因为 12设f(x)和g(x)均为周期函数，f(x)的周期为2，g(x)的周期为3，问：f(x)g(x) ，f(x)g(x)cosx2的周期为4p，而sinx的周期为6p，所以符合函数周期为12p。 3是否是周期函数，若是，求出它们的周期. 解：是周期函数，且周期都是6。 13求下列函数的反函数及其定义域：（1）y=x+3x-3，x1； （2）y=x3+7，xR；25-x2 , 0x5 ；2x-1 , 0x1 ,22-(x-2) , 1x2 . （3）y=lg(1-2x) , x0 ； （4）y= （5）y= 解：1).Y(x-1)=x+3 , (x1)x(1-7)=-y-3所以x=y+3 y1. y-1 x0 ；x-1 ，2 x0 ；x ， （6）y=2).y=x3+7 , xRx=y-7 yR3).y=lg(1-2x) , x0 24).y=25-x2 ， 0x5y2=25-x2x-25-y2 0y5.5).y=x-1 , x0.2x , x0.x=2x-1 , 0x1.22-(x-2) , 1x2.6).y=2x-1 , 0x1.22-(x-2) , 1x2.y+1 ， -1y1x=22-2-y , 1x110. 18将下列函数分解成基本初等函数的复合：（1）y=lgtan2x； （2）y=arcsinax；（3）y=2 解：1).y=lgu , u=v2 , v=tanx. 2).Y=arcsinu , u=av , v=3).y=2u , u=xcosx2； （4）y=lg2arctanx3. . ,v=cosw , w=x2.4).y=u2 , u=1gv ,v=arctanw ,w=x3. 19在下列函数对y=（1）f(u)=f(u) , u=g(x)中，哪些可复合成fg(x)，其定义域为何？ u , g(x)=1g12+x2；（2）f(u)=lg(1-u) , g(x)=sinx；（3）f(u)=arccosu , g(x)=lgx；（4）f(u)=arcsinu , g(x)=x1+x2. 解：1).令u=g(x)=lg12+x210-1x.104). fg(x)=arcsin 20设f(x)= xx1=， (x1 ， x) 解：ff(x)=1-2xx1-1-xxx11fff(x)=, (x , x , x)x1-3x231-1-2xx1+x ， -p2x1+xp2=xR. x1-x，求ff(x)和ff(x). x2 , 0x1 , 求g(x)21设g(x+1)=2x , 1x2. 解：设u=x+1,则x=u-1.所以g(x+1)=g(u), 当0x1时，g(u)=(u-1)2，1u2. 当1x2时，g(u)=2(u-1)，2u3.(x-1)所以g(x)= , 1x2. 2(x-1) , 20时，f(x)+f(-x)=(x2-1)+1-(-x)2=0. 当x0时，f(x)+f(-x)=(-x)2-1+1-x2=0. 2 x0x-1 ，f(x)= , 求f(x)+f(-x). 21-x ， x0). j(x)-1所以j(x)+1=x. j(x)-1所以j(x)=x+1(x0 , x1). x-1 25在半径为R的球中 (0xR). 所以V=px2*2S=2px(x+2R2-x2).关于y的函数时y2x=R- ， 0y2R)42.V=p(R2-y2)*y. 4y2y2-) , 0y2R. 44S=2p(R2+yR2-26某厂生产某产品2000吨，其销售策略如下：购买800吨以下时按每吨130元出售超过800吨的部分按九折出售，求销售收入与销量之间的关系解：设销量为x（吨），则销售收入为（元），0x800130x y= (元)，800x2000117x+1040027设某商品的供给函数为S(p)=a+bcp，已知S(2)=30，S(3)=50，S(4)=90求a，b，c 解：由题意可得： S(2)=a+bc2=30a=103S(3)=a+bc=50b=5可以解得c=2 S(4)=a+bc4=90a=10b=5 c=228设一商场某商品售价为500元/台时每月可消售1500台，每台降价50元时每月可增销250台，该商品的成本为400元/台，求商场经营该商品的利润与售价的函数关系 解：设每台售价为P，则销量Q=500-P*250+1500 50(400=4000-5Pp500)则利润函数L(P)=(P-400)(400-5P)=6000P-5P2-1600000(400P500)29某商场每月需购进某商品2400件进价为150元/件，分批进货，每批进货量相同，每次进货需500元，设商品的年平均库存量为每批进货量之半，而每年每台的库存费为进价的6%，试将商场每月在该商品上的投资总额表示为每批进货量的函数 解：设一批进货x件，则每月投资总额y=(150x+500)*24001x+*150*6% x122x =360000+3x+1200000(01 y2x2(x2)则所以递减故选D(8)f(-x)=-xtan(-x)esin-x=xtan xe-sinxg(x)f(x)f(x)不是偶函数 =x没有周期，f(x)不是周期函数是周期函数，f(x)不是单调函数 g(x)=tan xesinx2填空题(1)设f(x)=(2)设1+x x0则ff(x) 1， x0x , -x1-1f(x)=x2， 1 x4则其反函数f(x)= x 4x+2，xx-1(3)设f(x)+f=2x，x0，1，则f(x)=(4)已知f(x)=sinx，fj(x)=1-x2，则j(x)=的定义域是 解：(1)当x<0时，u=f(x)<1. 当x>0时，u=f(x)=1.所以ff(x)=f(u)=所以ff(x)=1+u，u0 1，u02+x，x-1； 1，x-1（2）由题意可知当-1<x<1时,y=f(x)(- ，1）. 由题意可知当1x4时,y=f(x)1 ，16. 由题意可知当4<x<+时,y=f(x)16 ，+. 所以f(x)的反函数g(y)为 y ，-y1g(y)=y，116 log ，16y+2即x ，-x1f-1(x)=x ，1x16 log x，216x1) ; （2）xn1n=3(-1)n ; 1n（3）xn=1g ; （4）xn=(-1)n(1+) ;（5）xn=3+(-1)n ; （6）xn=sec ;11+L+1+3+5+L+(2n-1)2. （7）lim; （8）limnn2+4+6+L+2n1+L+221+1n1n 解：1）收敛.因为当n时,an(a1) ;所以xn0 ;所以lim xn=lim xx1a=0 .3 n为偶数2)因为xn=xn=1n为奇数3 所以xn是发散的;3)发散的.因为当n时,4)因为xn=1 n为偶数-1 n为奇数110;所以xn=1g-; nnxn是发散的; 所以5)收敛的.因为当n时,6)收敛的.当n时, 110;所以xn=3+(-1)n3;即limxn=3; nnx110;sec1;即limxn=1; nnxn(1+2n-1)1+3+5L+(2n-1)n=7)因为; 2+4+6+L+2n1+n2所以limxn=1; 1+n所以是收敛的;111+L+1-1328)因为 = n-121+2n-11+L+1-()221-221-1 所以lim313=; x21+22所以是收敛的; 2.据我国古书记载，公元前三世纪战国时代的思想家庄子在其著作中提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的朴素极限思想，将一尺长的木棒，“日取其半”，每日剩下的部分表示成数列，并考察其极限.解：数列为1, 2, K ,所以通项为an=12112212n-1 ; ;所以liman=0; x 3.由函数图形判别函数极限是否存在，如存在则求出其值：（1）limxm(m0) ; （2）limxm(m0 , 1) ; （4）limax(a0 , 1) ; x0x（5）limlogax(a0 , 1) ; （6）limarccosx ; x1x-1（7）limarctanx ; （8）limcosx . x1x 解：1）当x0时,limxu(u0)=0 ; x2）limxu(u0)=limx1xx(u0 , a1)=1 x4） 00 a0 , a1)=x1 a1 .a1 ;5)limlogax(a0 , a1)=0 x-16)limarccosx=p所以cosp=-1 ; x-17)limarctanx=. x-1p48)limcosx的极限不存在 x 4求下列函数在指定点处的左、右极限，并判定函数在该点的极限是否存在：（1）f(x)=xx , x=0 ; （2）f(x)=1 3x, x=0 ;（3）f(x)= , x=0 ;1, x1 , x=1 . （4）f(x)=1g(1+x)arcsin(x-1) , 1x21x 解：1)lim-1f(x)=-1lim+f(x)=1 ;所以该点的极限不存在 x0x02)lim-1f(x)=0lim+f(x)= ;所以该点的极限不存在 x0x03)lim-1f(x)=-x0p2limf(x)=x0+p2;所以该点的极限不存在 4)lim-f(x)=x11limf(x)=0 ; 所以该点的极限不存在 1g2x1+ 5用e-d或e-N的方法陈述下列极限：（1）lim+f(x)=A ; （2）lim-f(x)=A ; xaxa（3）limf(x)=A ; （4）limf(x)=A . x+x-解：1)当0x-ad时 f(x)-Ax2)当0a-xd时 f(x)-AM时 f(x)-Ax4)当x-M时 f(x)-A所以对于任意给定的x,存在N=11x1n即n1x成立 1n=0 x4当nN时恒有-0N时恒有5-n25-n23n+12+10,存在d=x2当0x+d时 恒有f(x)-0x成立故lim+x+1=0 x-14)对于任意给定的正数x要使x-01gx成立 所以存在X=1gx .当xX时恒有x1gx成立即lim10x=0 . x 7求下列极限：(x+h)3-x3xn-1（1）lim ; （2）lim; h0x1x-1h（3）limx+1(arctanx+2x) ; （4）lim1x- ; x1x-1x-x-x-32+x（5）limx21-+x2x0; （6）limx ;（7）limx+1-3x-2-2x4 ; （8）lim(x2+x+1-x2-x-3) . x(x+h)3-h3x3+3x2h+3xh2+h3-x3解：1）lim=lim=lim(3x2+3xh+h2)=3x2 h0h0h0hhxn-12)lim=n x1x-11p3）limarctanx+2x=lim(arctanx+1)=+1 x+2x+4)lim(x1x1(x-1)(x+1)x+1 -)=lim=limx1x(x-1)x1xx-1x-xx2=limx2(1+x2)-x25)limx01-+x2x0=-lim(1+x2)=-2 x06)lim-x-32+xx-=1-x-9(2+x)(-x+3) =(2+x)(x2-2x+4)(2+x)(-x+3)=-2 7)lim2x+1-3x-2-2x4=lim(x+1-3)(2x+1+3)x-2-2)(2x+1+3)x4(=lim=lim =2(x-4)x-2-2)(2x+1+3)(2x+1+3)x4(2(x-2+2)x4 2 38)lim(x2+x+1-x2-x-3) x=lim(x2x+4x+x+1+x-x-32+422) =lim(x+1113+-xxxx)=1 8求lim5-4nn-15n-4n-1n5+3. 解：limn5+314n()=1 =limn55+9()n51- 9下列数列xn，当n时是否是无穷小量？（1）xn=10503n; （2）xn=1+(-1)n1n;（3）xn=n