高考复习方案数学理科北师版第2单元第15讲定积分与微积分基本定理.ppt

第15讲 定积分与微积分基本定理 第第1515讲 定积分与微积分基本定理讲 定积分与微积分基本定理 知识梳理 1定积分的概念 一般地，给定一个在区间a，b上的函数yf(x)，其图像如图151所示 将a，b区间分成n份，分点为： ax0x1x2xn1xnb. 第i个小区间为xi1，xi，设其长度为xi，在这个小区间上取一点i，使 f(i)在区间xi1，xi上的值最大，设Sf(1)x1f(2)2f(i)xi f(n)xn. 在这个小区间上取一点i，使f(i)在区间xi1，xi上的值最小， 设sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn. 第15讲 知识梳理 图151 如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时S与s 同时趋于某一个固定的_，容易验证，在每个小区间xi1，xi上任取 一点i，Sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn的值也趋于该 _，我们 称_是函数yf(x)在区间a，b上的_，记作f(x)dx，即 _ 其中，叫作积分号，a与b分别叫作积分的_与积分的_，函数f(x) 叫作_ 第15讲 知识梳理 常数A 常数A A 定积分 下限 上限 被积函数 第15讲 知识梳理 yf(x) xa，xb和x轴 ba F(b)F(a) 要点探究 探究点1 利用微积分基本定理及定积分的性质求定积分 第15讲 要点探究 思路 利用微积分基本定理求定积分，就是求出被积函数的一个 原函数，然后再计算在相应区间上的函数值的差即可 第15讲 要点探究 第15讲 要点探究 (2)不等式0(2x8)dx0的解集为 答案 a|0a8 第15讲 要点探究 答案 3 第15讲 要点探究 点评 利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函 数的一个原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互 为逆运算，因此要注意掌握一些常见函数的导数，在求稍微复 杂的定积分时要注意被积函数的变形转化把定积分融入方程 或不等式已成为近几年考试的热点 探究点2 利用定积分的几何意义求定积分 第15讲 要点探究 思路 画出被积函数的图像，求出对应图形的面积，由定积分的几 何意义便可求出积分值 第15讲 要点探究 探究点3 定积分在求图形面积和旋转体体积方面的应用 例3 (1)求抛物线y22x与直线yx4围成的平面图形的面积 第15讲 要点探究 思路 先画出已知函数的图像，求出抛物线与直线的交点，再利用积分求解 第15讲 要点探究 (2)求由曲线ysinx在0，段与x轴所围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积V. 思路 直接用旋转体的体积公式计算 第15讲 要点探究 点评 (1)从上述两种解法中可以看出，对y积分比x积分计算简捷，但同 时也要注意对y积分时，积分函数应为xm(y)，然后再根据定积分求解，因 此对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大概图形，然后根据 图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间(2)利用积分 研究旋转体的体积时，要注意旋转体相应的旋转曲线，旋转方向与旋转轴 探究点4 定积分在物理方面的应用 第15讲 要点探究 例4 2010福州模拟 一辆汽车的速度时间曲线如图152所示，求 该汽车在这一分钟内行驶的路程 图152 思路 本题考查定积分在物理中的应用，可 以先根据图像求出速度关于时间的函数解析 式，再利用定积分求出路程 第15讲 要点探究 第15讲 要点探究 点评 用定积分解决变速运动的位置与路程问题 时，将物理问题转化为数学问题是关键变速直线运 动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积 分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即 可得到答案，由于函数是分段函数，所以运