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目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的Taylor公式与极值问题 4.1多元函数的Taylor公式 4.2无约束极值、最大值与最小值 4.3有约束极值，Lagrange乘数法 第四节 第五章 1 目录 上页 下页 返回 结束 4.1 多元函数的Taylor公式 本节中，我们把一元函数的Taylor公式、极值与 最大最小值的问题推广到多元函数的情形。另外，4， 5节中的向量都写成列向量。 首先，复习一元函数的Taylor公式： Taylor公式，是用(x-x0)的n次多项式对f(x)进行（ 近似）逼近。 其中 2 目录 上页 下页 返回 结束 定义4.1 对于n元函数 设是定义在区域 内连续, 则称 f 是类函数, 下面定理为多元函数的Taylor公式的一阶形式： 其中 的多项式来逼近类函数的概念.作为铺垫, 先介绍 内的n元函数, 若 f 在上的 定理4.1 设n元函数 称为Lagrange余项. , 我们也可以用(x-x0)的分量所构成 记为 3 目录 上页 下页 返回 结束 证考虑一元函数 则 由于 4 目录 上页 下页 返回 结束 所以 5 目录 上页 下页 返回 结束 6 目录 上页 下页 返回 结束 7 目录 上页 下页 返回 结束 8 目录 上页 下页 返回 结束 例4.1 设函数 解 由方程 两端求一阶全微分，得 9 目录 上页 下页 返回 结束 10 目录 上页 下页 返回 结束 4.2 无约束极值、最大值与最小值 生产实践中, 我们总是希望用料最省、时间最短 、效益最大、质量最好等等，这类问题往往可以归结 为多元函数的极值问题. 为此，我们先把一元函数的 极值的概念推广到多元函数中来，然后解决多元函数 的极值问题. 1. 无约束极值 设定义4.2 无约束极大值(无约束极小值) 极大值(极小值)极大值点 (极小值点). 11 目录 上页 下页 返回 结束 极值, 极值点. 12 目录 上页 下页 返回 结束 定理4.2 (极值的必要条件) 驻点. 13 目录 上页 下页 返回 结束 图5.18 14 目录 上页 下页 返回 结束 定理4.3 (极值的充分条件) 证 15 目录 上页 下页 返回 结束 16 目录 上页 下页 返回 结束 17 目录 上页 下页 返回 结束 18 目录 上页 下页 返回 结束 例4.2 求二元函数 解 由 19 目录 上页 下页
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