高数二章课件04隐函数参数导数.ppt

一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 2.4 由方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 一、隐函数的导数 v显函数与隐函数 形如yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln xex 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 例如 方程xy310确定的隐函数为 提示: 例1 求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数 (ey)(xy)(e)(0) 即 eyyyxy0 v隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程 中把隐函数的导数解出 一、隐函数的导数 方程中每一项对x求导得 解 (xy)yxy (ey)e yy 例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x) 在x0处的导数y|x0 因为当x0时 从原方程得y0 所以 5y4y2y121x60 把方程两边分别对x求导数得 解法一 5y4y2y121x60 根据原方程 当x0时 y0 将其代入上述方程得 2y10 从而 y|x005 把方程两边分别对x求导数得 解法二 例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x) 在x0处的导数y|x0 解 例3 把椭圆方程的两边分别对x求导 得 所求的切线方程为 解 上式两边再对x求导 得 的二阶导数 例4 方程两边对x求导 得 y f(x)ln f(x) 对数求导法适用于求幂指函数yu(x)v(x)的导数及多 因子之积和商的导数 此方法是先在yf(x)的两边取对数 然后用隐函数求 导法求出y的导数 设yf(x) 两边取对数 得 ln yln f(x) 两边对x 求导 得 v对数求导法 例5 求yx sin x (x0)的导数 解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求 解法一 上式两边对x 求导 得 两边取对数 得 ln ysin xln x yx sin xe sin xln x 上式两边对x求导 得 说明 严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的 例6 先在两边取对数 得 解 二、由参数方程所确定的函数的导数 设xj(t)具有反函数tj1(x) 且tj1(x)与yy(t)构成 复合函数yyj1(x) 若xj(t)和yy(t)都可导 则 例7 解 提示 讨论 已知xj(t), yy(t) 如何求y对x的二阶导数y? 的函数yf(x)的二阶导数 例9 解 (t2np n为整数) 三、相关变化率 为两可导函数 之间有联系之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 内容小结 1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导 2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法 4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 思考与练习 1. 设 求 2. 设 由方程确定 , 求 , 求 3. 设 求其反函数的导数 . 4. 设 1. 设求 提示: 分别用对数微分法求 答案: 2. 设由方程确定 , 解: 方程两边对 x 求导, 得 再求导, 得 当时,故由 得 再代