高数第六章定积分及应用续.ppt

第 六 章 定积分及其应用 4 定积分的应用 4.1求总量模型的方法-微元法 1.回顾 求曲边梯形的面积问题 面积 AA 将面积A表示为定积分的步骤如下: 相应的曲边梯形被分为 n个小窄曲边梯形，第i 个小窄曲边梯形的面积为 i AD，则 （3） 求和 得A的近似值 (2) (1)把,ba分成n个长度为 i xD 的小区间，作分割 近似代替 (4)取极限 小矩形 分析 为了阐明近似代替的本质,我们在区间 A 称为面积微元. 记 (略去其下标 ), 内任取一个子区间 于是 面积微元 二、用微元法解决实际问题的步骤 用定积分计算分布在某个区间间上的整体量 (表现为现为 不规则规则 或不均匀分布)的步骤为: 第一步 根据问题的具体情况，选取一个变量 例如 为积分变量，并确定它的变化区间 ; 的小区间 第二步 求微元 .任取及一个代表性 ,求相应于这个小区间 的局部量 的近似值,即微元 ,如果 能 近似地表示为,从而得; 定积分，这样就得到所求整体量 . 第三步 以 为被积表达式在上求 用以上三步解决实际问题的方法称为微元法 或元素法. 4.2 平面图形的面积 1.设平面图形由连续曲线 所围成, 求它的面积.与直线 由图可见见: 作法: 选择 为积分变量. 特别,当 时, A (1) (2) 例1：求由曲线 y = x 2 与 y = x + 2 所围成平面图形的面积。 解 (1)画草图； 得两曲线的交点为 （1，1）与（2，4）两点， (1, 1) (2, 4) （4）求面积 y = x + 2 y = x 2 （2）两曲线的交点：由 （3）求面积微元 解两曲线的交点 选 为积分变量 例 2计算由曲线xy2 2 = 和直线4 - = x y所围 成的图形的面积. 2 4 另解 选择横坐标x为积分变量 : 这时在x 的变化区间内构造的微元就会有两个, 一个位于区间 内,一个位于区间 内(如图) xo 4 28 . 椭圆的参数方程 例3 求椭圆 的面积. 解 由公式(2)得 小结 求平面图形面积的步骤为: (4) 计算定积分. (1) 作草图,求曲线的交点; (2)选择积分变量,由交点坐标确定它的变化区间; (3)求面积微元dA,及相应的定积分; 练习 求由曲线 y = x2 与 y = 2 x2 所围成图形的面积。 解求两曲线的交点: 求面积微元dA. 4.3 旋转体的体积 旋转体:由一个平面图形饶这平面内一条直线 旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴 圆柱圆锥圆台球 设旋转体是由连续曲线、直线 a x = 、b x = 及x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，求其体积且V. 取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄 片的体积微元为 旋转体的体积为 x y o 例4求上半椭圆与x轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周而成的立体体积. 解 特别当a=b时，得半径为a 的球体体积为 而成的立体体积. 例5求由圆绕x轴旋转一周 解如图,所求立体体积为上、下半圆 围成的图形绕x轴旋转所生成的体积之差. 分别与直线及x轴 类似地，如果旋转体是由连续曲线 )(yxj=、直线c y = 、d y = 及 y轴所围 成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体， 体积为 例 求右半椭圆与y轴所围成的平面图形绕 y轴旋转一周而成的立体体积. 解 a 练习 1.求由曲线 y = x2 与 y = 2 x,y=0所围成图形分别绕x 轴, y 轴旋转而成的旋转体的体积 解求两曲线的交点: 2 (1,1) 1 1 2.求由曲线 y = e x， y = e x 和直线 x = 1 所围图形分别绕 X 轴 Y轴旋转而成旋转体的体积 5 广义积分(反常积分) 5.1无穷区间上的广义积分 定义1设函数 )(xf 在区间上连续， 如果存在，则称此极限为函数 若上述极限不存在时，称广义积分 发散.不再表示数值了。这时记号 上的广义积分，在 记作 此时也称广义积分 收敛。 类似地，设函数 在区间 上连续， . . 上连续，记号设函数在区间 在区间上的广义积分. 称为 如果广义积分都收敛，和 那么称且定义其值为 收敛； 若与有一个发散,就称 广义积分 发散。 上述广义积分统称为无穷区间上的广义积分。 例1 计算广义积分 解 例2计算 解 证 为方便计,上式把 记为 . 5.2 无界函数的广义积分 定义2 设函数 在 上连续，而在点 的右邻域无界,记号 表示函数 在 上的广义积分.取 ， 如果极限 存在， 那么称广义积分 收敛,并把此极限值 称为广义积分 的值.即有 如果上述极限不存在，就称广义积分发散。 类似地，设函数 在 上连续，而在点 的 存在， 那么称广义积分 收敛,并把此极限值 称为广义积分 的值.即有 如果上述极限不存在，就称广义积分 左邻域内无界，,如果极限 发散。 而在点 的邻域内无界。如果两个广义积分 都收敛， 与那么称广义积分 收敛,且有 否则就称广义积分 发散。 无界函数的广义积分也称为瑕积分, 无界函数的 间断点也称为瑕点. 设函数在上除点外连续， 例3讨论 的收敛性。 解2 令 故 解 通过变量代换,有时可把广义积分化为常义积分计算. 外连续，且 发散。 例4 讨论广义积分的收敛性。 解 被积函数 上除在积分区间 即广义积分 发散