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实验数据处理方法实验数据处理方法 第三部分：统计学方法第三部分：统计学方法 第十二章 最大似然法 (Maximum Likelihood method) 第十二章 最大似然法 (Maximum Likelihood Method) 点估计的方法之一，是参数估计中常用的方法，具有以下的特点 ： 1. 在一定的条件下，ML估计式满足一致性、无偏性、有效 性等要求； 2. 当样本容量n时，ML估计式满足正态分布方差容易 计算； 3. 用ML方法可较容易地得到参数的估计式； 本章内容： 1. 最大似然原理； 2. 用ML方法求解参数估计问题的步骤； 3. ML估计式的特性； 4. 如何计算ML估计值的方差； 5. 利用似然函数进行区间估计 第十二章 最大似然法 (Maximum Likelyhood Method) 12.1 最大似然原理 12.1 12.1 最大似然原理最大似然原理 (一) 似然函数的定义 p.d.f：f(x|) 测量量：x = x1, x2, , xn (二) 最大似然原理 未知参数的最佳估计值 应满足如下的条件： i. 位于的允许取值范围； ii.对于给定的一组测量值， 使L取极大值： 12.1 12.1 最大似然原理最大似然原理 (三)估计值 的求法 似然方程： 极大值条件： 因为lnL是L的单调上升函数，lnL和L具有相同的极大值点， 所以，LlnL， 求和运算比乘积运算容易处理 似然方程： 极大值条件： 如果有k个位置参数， = 1, 2, , k k阶似然方程 估计值： 12.1 12.1 最大似然原理最大似然原理 极大值条件：二次矩阵 是负定的(Negative definite) 第十二章 最大似然法 (Maximum Likelyhood Method) 12.2 用ML方法进行参数估计的步骤 12.2 12.2 用用MLML方法进行参数估计的步骤方法进行参数估计的步骤 1) 构造概率密度函数； 2) 构造似然函数； 3) 求似然函数的极大值。 12.2 12.2 用用MLML方法进行参数估计的步骤方法进行参数估计的步骤 （一）构造概率密度函数 物理系统的特性：某些量的理论概率分布函数 实验的条件：分辨率、探测效率 ML方法中所需的p.d.f 例：不变质量谱分析：e+e-J/K+K- 通过测量K+K-的动量，可得到K+K-的不变质量 分布，对该分布进行统计分析，可得到衰变过程 中产生的共振态的信息； 描述不变质量m的分布的p.d.f应包含对该分布有 贡献的物理过程 12.2 12.2 用用MLML方法进行参数估计的步骤方法进行参数估计的步骤 1. 信号事例： 在不变质量为m0处出现共振态X的弹性散射振幅可用Breit- Wigner公式描述： ：X的宽度，m0：X的静质量，m：K+K-的不变质量 （1）如果较小 实验结果包含质量分辨率和探测效率的影响， ，故 必须对理论公式进行修正 12.2 12.2 用用MLML方法进行参数估计的步骤方法进行参数估计的步骤 (m)：效率函数，因(m)随m的变化较小，故(m)常数 R(m,m)：分辨率函数，真值为m时，获得测量值m的概率 其中： ：质量分辨率 因此，窄共振峰的p.d.f为 12.2 12.2 用用MLML方法进行参数估计的步骤方法进行参数估计的步骤 （1）如果较大，宽共振峰 如果在衰变过程中存在着多个宽共振，则可能存在仙湖干涉 的现象，设有Namp个相干的共振峰，则描述这些共振峰的 p.d.f为 因为 ，所以R(m,m) (m-m) k-1：相位差 k-1：第k个相干的共振峰事例数/第一个相干的共振峰的 事例数 12.2 12.2 用用MLML方法进行参数估计的步骤方法进行参数估计的步骤 2. 本底事例：相空间本底、粒子误判本底、其它衰变道本底等 fps(m,)：相空间函数 Pi(x)：i阶Legendre多项式 bi：未知参数 12.2 12.2 用用MLML方法进行参数估计的步骤方法进行参数估计的步骤 如果衰变过程中：NBW个窄共振峰、Namp个相干共振峰，则m的pdf 其中：CBW、Camp、Cback为归一化常数，保证 ：第k个窄共振峰事例数/总事例数 ：Namp个相干共振峰事例数/总事例数 BES分析软件BWFIT程序中使用的p.d.f （二）构造似然函数 12.2 12.2 用用MLML方法进行参数估计的步骤方法进行参数估计的步骤 设对某物理系统进行了n次测量，x1、x2、xn 根据需要可对 在实验条件一定的条件下，事例的产生率为常数， 在时间t内获得n个事例的概率为泊松分布。 观测到n个事例，且测量量为x1、x2、xn的联合概率为 条件：必须能够精确确定 进行变化： 1. 广义似然函数（Generalized Likelihood Function） 总事例数n也是随机变量，服从平均值为的泊松分布： 广义似然函数， 优点：n对增加了附加的限制 12.2 12.2 用用MLML方法进行参数估计的步骤方法进行参数估计的步骤 2. 数据分类情况下的似然函数 对实验数据进行分间隔处理，（如作成直方图）然后用ML方法对分类 后的数据进行处理。 优点：减小了数据量，使得对 的计算速度加快 缺点：由于将原简化为少量的几个“平均”pdf的乘积，使得 参数估计的精度下降。 设将x的变化范围分成了N个间隔 ：第i个间隔内的事例数 ：某事例落入第i个间隔的概率 N个事例分布于N个间隔内，每个间隔内的事例数为n1、n2、nN 的概率满足多项式分布： 12.2 12.2 用用MLML方法进行参数估计的步骤方法进行参数估计的步骤 ：间隔的宽度 取对数并只保留与有关的项 分间隔的似然函数（Binned Likelihood Function） (1) N很大，很小， (2) 如果在某一间隔内的变化不是很大，则用 得到的的精度是可接受的 12.2 12.2 用用MLML方法进行参数估计的步骤方法进行参数估计的步骤 例：估计粒子的平均寿命 （三）求似然函数的极大值 1. 求解似然方程： 一般情况下无解析解，只能用数值解法。 2. 用CERN程序MINUIT求解函数 的极小值，得 的估计式 及其误差 探测K0粒子的产生和衰变。假定探测器无限大，则K0粒子在 t时刻衰变的p.d.f 12.2 12.2 用用MLML方法进行参数估计的步骤方法进行参数估计的步骤 ：粒子的平均寿命，为未知参数。K0的飞行时间ti L：飞行距离，p：动量，E：能量，c：光速 对于n个观测事例： 当时，LF取极大值。 第十二章 最大似然法 (Maximum Likelyhood Method) 12.3 ML估计式的特性 1. 参数变换不变性 12.3 ML12.3 ML估计式的特性估计式的特性 设是参数的ML估计值，是的函数。如果用作为 参量来求LF的极大值，则所得的估计值亦为 如果，则有 2. 一致性（consistency） 在一般条件下，ML估计值满足一致性条件，即 ，当时。 3. 无偏性（unbiassedness） 在某些特殊情况下，ML估计式是无偏的，即 在一般条件下，ML估计式不满足无偏性： 故当样本容量时，ML估计式总是无偏的。 ,但其偏差 12.3 ML12.3 ML估计式的特性估计式的特性 如果的充分估计式t存在，则用ML方法一定能得到该估计式。 4. 充分性（sufficiency） 充分必要条件 即只依赖于t 5. 有效性（Efficiency） 如果的有效估计式t存在，则用ML方法一定能得到该估计式。 充分必要条件 6. 渐近正态性（Asympototic normality） 在样本容量很大时，的ML估计值满足渐近正态分布，其平均值 为的真值0，方差为最小方差限（MVB）。 第十二章 最大似然法 (Maximum Likelyhood Method) 12.4 ML估计式的方差 12.3 ML12.3 ML估计式的方差估计式的方差 对ML估计值的误差的估计依赖于p.d.f的性质和样本的大小，不同 （一）方差估计的一般方法（适合于任何容量的样本） 通过求解似然方程 的方法适用于不同的样本；大样本公式，小样本公式。 统计误差：如果p.d.f是纯理论公式，即没有对实验条件进行修正， 则由ML得到的误差为统计误差。 否则：误差 统计误差实验误差 LF : ，得i的估计式 是随机变量的函数 的真值： 12.3 ML12.3 ML估计式的方差估计式的方差 1. 此式与上式等价。 如果p.d.f和 估计式的方差。 2. 由 是 分母为归一化因子。 和的协方差 的表达式已知，则无需任何数据就可求出 可导出的概率分布 ：雅可比行列式 3. 在给定的样本下，可认为的概率分布函数 ，而 12.3 ML12.3 ML估计式的方差估计式的方差 时，ML估计值服从正态分布N(,MVB) 如果 b(）:偏差 由有效性条件 样本容量 的方差由MVB给出： 如果是的无偏估计， b(）= 0 （二）充分ML估计式的方差 是参数的充分估计式（从而也是有效估计式）。则 （三）大样本的ML估计式的方差 正态分布中变量和平均值是对称的参数服从N(,MVB) 12.3 ML12.3 ML估计式的方差估计式的方差 不同的公式给出的方差不同，因此，在给出实验结果 在一般情况下， 将式中的L 用p.d.f代替可得到方差的平均值 用此式可以估计：欲达到一定的误差，需进行的实验次数n。 指明误差是如何计算的 时， MVB: 应由（一）中的公式求解，但很难得到 的解析解，只能用数值方法。 第十二章 最大似然法 (Maximum Likelyhood Method) 12.5 利用似然函数进行区间估计 12.5 12.5 利用似然函数进行区间估计利用似然函数进行区间估计 不同的公式给出的方差不同，因此，在给出实验结果 在一般情况下， 将式中的L 用p.d.f代替可得到方差的平均值 用此式可以估计：欲达到一定的误差，需进行的实验次数n。 指明误差是如何计算的 时， 应由（一）中的公式求解，但很难得到 的解析解，只能用数值方法。 ML估计式的误差可用区间估计方法来估计 12.5 12.5 利用似然函数进行区间估计利用似然函数进行区间估计 其中为的真值落入a,b间的概率，取相对对称的区间 在一般情况下，当测量次数无限大时，似然函数L 将与样本变量无关 且呈正态分布 的真值落入a,b间的可信度 ，有 12.5 12.5 利用似然函数进行区间估计利用似然函数进行区间估计 是抛物线lnL ()与直线 例： 的两个交点 求解出这两个交点即可得到的误差 实验结果误差 MINUIT程序中误差定义量ML方法