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下页 上页下页首页 一、函数极值的定义 上页下页首页 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. 上页下页首页 定理1(必要条件) 定义 注意: 例如, 二、函数极值的求法 上页下页首页 定理2(第一充分条件) (是极值点情形) (1)如果x(x0-,x0 )有f (x)0;而x(x0,x0-) f (x)0;则f(x)在x0处取得极大值 上页下页首页 求极值的步骤: (不是极值点情形) 上页下页首页 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 上页下页首页 图形如下 上页下页首页 定理3(第二充分条件) 证 上页下页首页 例2 解 图形如下 上页下页首页 注意: 上页下页首页 例3 解 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 上页下页首页 三、最值的求法 上页下页首页 例4 解 计算 四、最值应用举例 上页下页首页 比较得 上页下页首页 点击图片任意处播放暂停 例5 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？ 上页下页首页 解 (1)建立敌我相距函数关系 敌我相距函数 得唯一驻点 上页下页首页 步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值) 上页下页首页 实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值; 上页下页首页 例6 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去当租金 每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费试问房租定为多少可获得最大收入？ 解 设房租为每月 元， 租出去的房子有 套， 每月总收入为 上页下页首页 （唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高。 最大收入为 上页下页首页 点击图片任意处播放暂停 例7 上页下页首页 解如图, 上页下页首页 解得 上页下页首页 五、小结 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点取得. 判别法 第一充分条件; 第二充分条件; (注意使用条件) 上页下页首页 注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 上页下页首页 思考题一 下命题正确吗？ 上页下页首页 思考题一解答 不正确 例 上页下页首页 在1和1之间振荡 故命题不成立 上页下页首页 思考题二 上页下页首页 思考题二解答 结论不成立.因为最值点不一定是内点. 例 在 有最小值，但 上页下页首页 练 习 题
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