线段的垂直平分线三角形的垂心1.4角平分线性质定理与逆定理.ppt

3.线段的垂直平分线（2） 三角形的垂心 驶向胜利 的彼岸 线段的垂直平分线 的作法 l已知:线段AB,如图. l求作:线段AB的垂直平分线. l作法: l用尺规作线段的垂直平分线. l1.分别以点A和B为圆心,以大于 AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和 D. AB C Dl2. 作直线CD. l则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 请你说明CD为什么是AB的垂直平分线, 并与同伴进行交流. 老师提示: 因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中 点,所以我们也用这种方法作线段的中点. 回顾 思考 驶向胜利 的彼岸 线段的垂直平分 线的性质 w定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 距离相等. 老师提示:这个结论是经常用来 证明两条线段相等的根据之一. A C B P M N w如图, wAC=BC,MNAB,P是MN上任 意一点(已知), wPA=PB(线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点距离 相等). 回顾 思考 驶向胜利 的彼岸 线段的垂直平分线的 性质定理的逆定理 w逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上. A C B P M N w如图, wPA=PB(已知), w点P在AB的垂直平分线上(到一条 线段两个端点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上). 老师提示:这个结论是经常用来 证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一. 从这个结果出发,你还能联想到什么? 回顾 思考 驶向胜利 的彼岸 亲历知识的发生和 发展 w剪一个三角形纸片通过折叠 找出每条边的垂直平分线. 结论:三角形三条边的垂 直平分线相交于一点. 老师期望: 你能写出规范的证明过程. 你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗? w观察这三条垂直平分线 ,你发现了什么? 做一做 1 1 驶向胜利 的彼岸 亲历知识的发生和 发展 利用尺规作出三角形 三条边的垂直平分线. 结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 老师期望: 你能写出规范的证明过程. 你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗? 做一做 1 1 w再观察这三条垂直平分线,你 又发现了什么?与同伴交流. 驶向胜利 的彼岸 思考 分析 命题:三角形三条边的垂直平分线相 交于一点. 如图,在ABC中,设AB,BC的垂直平 分线相交于点P,连接AP,BP,CP. 点P在线段AB的垂直平分线上, PA=PB (或AB的中点,). 同理,PB=PC. PA=PC. 点P在线段AB的垂直平分线上, AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点. 想一想:若作出P的角平分线,结论是否也 可以得征? 咋证三条直线交于一点 w基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点. 要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在 第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理. A BC P 驶向胜利 的彼岸 定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且 这一点到三个顶点的距离相等. 如图,在ABC中, c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直 平分线(已知), c,a,b相交于一点P,且 PA=PB=PC(三角形三条边的垂直 平分线相交于一点,并且这一点 到三个顶点的距离相等). 老师提示: 这是一个证明三条直线交于一点的证明根据. 几何的三种语言 做一做 1 1 A BC P a b c 挑战自我 驶向胜利 的彼岸 l已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三 角形吗? 老师期望: 你能亲自探索出结果并能用尺规 作出图形. 议一议 l如果能,能作出几个?所作出的三角形都全等吗? l已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作 出等腰三角形吗?能作几个? 梦想成真 做一做P29 2 2 1.已知底边及底边上的高,利用尺规作等腰三角形. 已知:线段a,h(如图). ah 求作: ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h 老师期望: 你能亲自写出作法. 作法: 驶向胜利 的彼岸 回味无穷 w定理 三角形三条边的垂直平分线 相交于一点,并且这一点到三个顶 点的距离相等. 如图,在ABC中, c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线 (已知), c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三 角形三条边的垂直平分线相交于一 点,并且这一点到三个顶点的距离 相等). 小结 拓展 A BC P a b c 尺规作图的解题格式(六步骤): 已知: 求作: 分析: 作法: 证明: 讨论: 驶向胜利 的彼岸 知识的升华 独立 作业 P9习题1.7 1,2题. 祝你成功！ 驶向胜利 的彼岸 习题1.7 独立作业 1 1 驶向胜利 的彼岸 w1.已知线段a,求作以a为底,以a/2为高的等腰 三角形.这个等腰三角形有什么特征? w老师提示: w先分析,作出示意图形,再按要求 去作图. 习题1.7 独立作业 2 2 w2.为筹办一个大型运动会,某市政府打算修建一个大型体育 中心.在选址过程中,有人建议该体育中心所在位置应当与该 城市的三个城镇中心(如图中P,Q,R表示)的距离相等. 老师期望: 养成用数学解释生活的习惯. P Q R P Q R (1)(2) w(1).根据上述建议,试在图(1)中画出体育中心G的位置; w(2).如果这三个城镇的位置如图(2)所示,RPQ是一个钝角, 那么根据上述建议,体育中心G应在什么位置? w(3). 你对上述建议有何评论?你对选址有什么建议? 结束寄语 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. 证明的规范性在于：条理清晰 ，因果相应,言必有据.这是初 学证明者谨记和遵循的原则. 下课了! 4.角平分线（1） 性质定理与逆定理 驶向胜利 的彼岸 角平分线 w你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗? 回顾 思考 已知:如图,OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点 ,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE. 而OPDOPE的条件由已 知易知它满足公理(AAS). 故结论可证. 老师期望:你能写出规范的证明过程. 分析:要证明PD=PE,只要证明 它们所在的OPDOPE， w你还记得角平分线上的点有什么性质吗? w角平分线上的点到这个角的两边距离相等. w你能证明这一结论吗? O C B 1 A 2 P D E 驶向胜利 的彼岸 几何的三种语言 w定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 老师提示:这个结论是经常用来 证明两条线段相等的根据之一. 开启 智慧 w如图, wOC是AOB的平分线,P是 OC上任意一点 ,PDOA,PEoB,垂足分别是 D,E(已知) PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等). O C B 1 A 2 P D E 进步的标志 驶向胜利 的彼岸 思考分析 w你能写出“定理 角平分线上的点到 这个角的两边距离相等”的逆命题吗 ? w逆命题 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的 点,在这个角的平分线上. w它是真命题吗? 如果是.请你证明它. 已知:如图,PD=PE, PDOA,PEOB,垂足分别是D,E. 求证:点P在AOB的平分线上. 分析:要证明点P在AOB的平分线上,可 以先作出过点P的射线OC,然后证明 1=2. 老师期望: 你能写出规范的证明过程. O C B 1 A 2 P D E 驶向胜利 的彼岸 逆定理 我能行 1 1 w逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的 点,在这个角的平分线上. w如图, wPA=PB, PDOA,PEOB,垂足 分别是D,E(已知), w点P在AOB的平分线上.(在一 个角的内部,且到角的两边距离相 等的点,在这个角的平分线上). 老师提示:这个结论又是经常用 来证明点在直线上(或直线经过某一 点)的根据之一. 从这个结果出发,你还能联想到什么? O B A C 1 2 P D E 尺规作图 做一做 1 1 l已知:AOB,如图. l求作:射线OC,使AOC=BOC. l作法: l用尺规作角的平分线. l1.在OAT和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. l2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长 为半径作弧,两弧在 AOB内交于点C l3.作射线OC. 请你说明OC为什么是AOB的平分线,并与同伴进行交流. 老师提示: 作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法 要确实掌握. A B O C l则射线OC就是AOB的平分线. D E 挑战自我 随堂练习 1 1 驶向胜利 的彼岸 l如图,AD,AE分别是ABC中A的内角平分线外角平 分线,它们有什么关系? 老师期望: 你能说出结论并能证明它. E D AB C F 梦想成真 随堂练习 2 2 2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离相等,离公路 与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺 1:20 000). A区 回味无穷 w定理 角平分线上的点到这个角的两边 距离相等. wOC是AOB的平分线,P是OC上任意 一点,PDOA,PEOB,垂足分别是 D,E(已知) PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边 距离相等). w逆定理 在一个角的内部,且到角的两 边距离相等的点,在这个角的平分线上 . wPA=PB, PDOA,PEOB,垂足分别 是D,E(已知), w点P在AOB的平分线上.(在一个角 的内部,且到角的两边距离相等的点, 在这个角的平分线上). w用尺规作角的平分线. w邻补角的角平分线之间的关系. w如 小结 拓展 O C B 1 A 2 P D E 知识的升华 独立 作业 P9习题1.8 1,2,3题. 祝你成功！ 习题1.8 独立作业 1 1 驶向胜利 的彼岸 w1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线. w老师期望: w先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图. w你发现了什么？ 习题1.8 独立作业 2 2 驶向胜利 的彼岸 w2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB 的两边的距离相等. 老师期望: 养成用数学解释生活的习惯. C