题型分类汇编三(综合应用题).doc

题型四、综合应用题：(一) 函数极限的应用(极限的反问题)：思路点拨：这类问题通常是以应用题形式考查，有时也会并入计算题，通常是已知含有待定参数的函数的极限，反求未知参数，解决的办法就是利用函数极限的求法列出极限等式，从而将问题转化为解n元一次线性方程组的问题. 一般都是含有待定参数a和b. 这类题目往往是所给的函数极限存在且分母在x的变化过程中趋向于零，再来求解函数中的未知参数. 解决策略如下：由于分母在x的变化过程中趋向于零而整个函数的极限存在，从反比例函数（y=k/x,k0且x0）的角度考虑，若分子的极限不为零，则整体函数极限不存在，不合题设，因此分子在x的变化过程中也应该趋向于零，即分子的极限为零；从洛必达法则角度考虑，不定式0/0型的极限可能存在，因此分子的极限也应该是零，进而解决这类问题.例题1. 已知（为常数），试求当分别取何值时，有（1）；（2）；（3）.例题2. 若.(二) 导数的应用：1. 一阶导数的应用求函数的单调区间：思路点拨：利用一阶导数判定所给函数的单调性的步骤：（1）. 判断所给函数的定义域（注意在专题一中所总结的特殊函数的定义域）；（2）. 在定义域的范围内，对函数求一阶导数；（3）. 令一阶导数为零，求出驻点（一阶导函数的零点）或是令函数导数不存在的点；（4）. 若存在驻点，则分别解不等式f（x）0和f（x）0，解出f（x）0的解集与定义域的交集即为原函数的单调递增区间，解出f（x）0的解集与定义域的交集即为原函数的单调递减区间；若不存在驻点，则应分析使驻点不存在的点（即不可导点）的左右两侧导数的正负，从而确定函数的单调性；（5）. 下结论，注意区间的写法.2. 一阶导数的应用求函数的极值：思路点拨：利用一阶导数求所给函数的极值的步骤（重点掌握）：（1）. 判断所给函数的定义域（注意在专题一中所总结的特殊函数的定义域）；（2）. 在定义域的范围内，对函数求一阶导数；（3）. 令一阶导数为零，求出驻点（一阶导函数的零点）或是令函数导数不存在的点；（4）. 若存在驻点，则分别解不等式f（x）0和f（x）0，解出f（x）0的解集与定义域的交集即为原函数的单调递增区间，解出f（x）0的解集与定义域的交集即为原函数的单调递减区间；若不存在驻点，则应分析使驻点不存在的点（即不可导点）的左右两侧导数的正负；（5）. 将所有x在定义域及分界点处变化所引起f（x）和f（x）的变化列表，f（x）先增后减对应极大值，f（x）先减后增对应极小值，即异号取极值，同号无极值，判断完毕后求出极大值和极小值；（6）. 下结论即可.3. 一阶导数的应用求函数的最值：思路点拨：利用一阶导数求所给函数在限定区间上的最值的步骤：（1）. 确定所给函数的限定区间（闭区间）；（2）. 在定义域的范围内，对函数求一阶导数；（3）. 令一阶导数为零，求出驻点（一阶导函数的零点）或是令函数导数不存在的点；（4）. 若存在驻点，则分别解不等式 f（x）0和f（x）0，解出f（x）0的解集与定义域的交集即为原函数的单调递增区间，解出f（x）0的解集与定义域的交集即为原函数的单调递减区间；若不存在驻点，则应分析使驻点不存在的点（即不可导点）的左右两侧导数的正负；（5）. 将所有x在定义域及分界点处变化所引起f（x）和f（x）的变化列表，f（x）先增后减对应极大值，f（x）先减后增对应极小值，即异号取极值，同号无极值，判断完毕后求出极大值和极小值；（6）. 将函数的限定区间的两个端点值带入函数式中求值，然后将所求得的四个值加以比较，最大的那个即为函数在该区间上的最大值，最小的那个即为函数在该区间上的最小值.即函数最值若在端点处达到，直接代入端点求值即可；若在区间内部达到，则先求极值后确定最值；（7）.下结论即可.特殊情况下最值的求法：（1）. 连续函数f（x）在闭区间a，b单调，则函数的最值一定在区间端点处达到；（2）. 可导函数f（x）在区间I内有且仅有一个极值点x0，则当f（x0）为极大值时，f（x0）就是f（x）在区间I上的最大值；当f（x0）为极小值时，f（x0）就是f（x）在区间I上的最小值.4. 二阶导数的应用求函数的凹凸区间及拐点：思路点拨：利用二阶导数判定所给函数的凹凸性的步骤：（1）. 判断所给函数的定义域（注意在专题一中所总结的特殊函数的定义域）；（2）. 在定义域范围内，对函数求二阶导数；（3）. 令二阶导数为零，求出拐点（二阶导函数的零点）或是令二阶导数不存在的点；（4）. 若存在拐点，则分别解不等式f（x）0和f（x）0，解出f（x）0的解集与定义域的交集即为原函数的凹区间，解出f（x）0的解集与定义域的交集即为原函数的凸区间；若不存在拐点，则应分析使拐点不存在的点（即不可导点）的左右两侧二阶导数的正负，从而确定函数的凹凸性；（5）. 下结论，注意区间的写法.5. 二阶导数的应用求函数的极值：思路点拨：利用二阶导数求所给函数的极值：设函数f（x）在点x0处具有二阶导数，且f（x0）=0，f（x0）0，则若f（x0）0，则f（x0）为函数的极大值；若f（x0）0，则f（x0）为函数的极小值.例题3. 试求函数的单调性，凹凸性，极值，拐点及渐近线.例题4. 试求的单调性，凹凸性，极值，拐点，及渐近线.例题5. 已知函数在与处有极值，试求的值，并求的拐点.例题6. 设函数y=x/（x2+1），当x0时，该函数在何处取得最大值，并求最大值.(三) 实际应用题：思路点拨：这类问题一般与实际生活中的问题息息相关，往往需要去求某个问题的最值. 解决这类问题的一般步骤为：（1）仔细阅读题目，依据题意列出相关的函数关系式，建立相应的数学模型，注意自变量的取值范围是与题意离不开的，一定要注明自变量的取值范围；（2）对函数关系式求一阶导数，利用一阶导数求函数的最值即可，逐一分析驻点或者不可导点是否符合题意（即驻点或者不可导点是否在定义区间内），具体详见求函数最值的步骤；（3）下结论即可.例题7. 已知某厂生产件产品的成本为（元），产品产量 与价格之间的关系：（元）求：（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？ （2）当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润？例题8. 一租赁公司有40套设备要出租。当租金每月每套200元时，该设备可以全部租出；当租金每月每套增加10元时，租出的设备就会减少1套；而对于租出的设备，每月需要花20元的修整费。问：租金定为多少时，该公司可获最大利润？例题9. 某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？例题10. 现有边长为96厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱.问剪去的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大？例题11. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只能够砌成20m的墙壁.问应围成怎样的长方形才能使这间小屋面积最大？例题12. 已知半径为=2的半圆内接梯形，如右图所示. 试求：(