2019版高考数学第4章三角函数、解三角形5第5讲三角函数的图象与性质教案理.docx

第5讲三角函数的图象与性质1正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xk，kZ值域1，11，1R函数的最值最大值1，当且仅当x2k，kZ最小值1，当且仅当x2k，kZ最大值1，当且仅当x2k，kZ最小值1，当且仅当x2k，kZ无最大值和最小值单调性增区间k2，k2(kZ)减区间k2，k2(kZ)增区间k2，k2(kZ)减区间k2，k2(kZ)增区间(k，k)(kZ)奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性周期为2k，k0，kZ，最小正周期为2周期为2k，k0，kZ，最小正周期为2周期为k，k0，kZ，最小正周期为对称性对称中心(k，0)，kZ，kZ，kZ对称轴xk，kZxk，kZ无对称轴零点k，kZk，kZk，kZ2.周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；函数yAsin(x)和yAcos(x)的周期均为T；函数yAtan(x)的周期为T.3对称与周期正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻的两个对称中心之间的距离是半个周期 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)ycos x在第一、二象限内是减函数()(2)若yksin x1，xR，则y的最大值是k1.()(3)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期()(4)函数ysin x图象的对称轴方程为x2k(kZ)()(5)函数ytan x在整个定义域上是增函数()答案：(1)(2)(3)(4)(5) 函数ytan 3x的定义域为()A.B.C.D.解析：选D.由3xk(kZ)，得x，kZ.故选D. (2017高考全国卷)设函数f(x)cos(x)，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在(，)单调递减解析：选D.根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2，所以函数的一个周期为2，A正确；当x时，x3，所以cos1，所以B正确；f(x)coscos，当x时，x，所以f(x)0，所以C正确；函数f(x)cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确所以选D. 函数y32cos的最大值为_，此时x_解析：函数y32cos的最大值为325，此时x2k(kZ)，即x2k(kZ)答案：52k(kZ) 函数f(x)sin，x0，的减区间为_解析：当2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ时，函数f(x)是减函数又x0，所以f(x)的单调递减区间为.答案：三角函数的定义域和值域 典例引领 (1)(2017高考全国卷)函数f(x)sin2xcos x的最大值是_(2)函数ylg(2sin x1)的定义域是_【解析】(1)依题意，f(x)sin2xcos xcos2xcos x1，因为x，所以cos x0，1，因此当cos x时，f(x)max1.(2)要使函数ylg(2sin x1)有意义，则即解得2kx2k，kZ.即函数的定义域为，kZ.【答案】(1)1(2)，kZ(1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)三角函数值域的不同求法利用sin x和cos x的值域直接求把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域(换元法)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域(换元法)利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域 通关练习1函数f(x)3sin在区间上的值域为()A.B.C. D.解析：选B.当x时，2x，sin，故3sin，即此时函数f(x)的值域是.2函数ylg sin x的定义域为_解析：要使函数有意义，则有即解得(kZ)，所以2k0)在区间上单调递增，则的取值范围是_【解析】因为0，由2kx2k，kZ，得f(x)的增区间是，kZ.因为f(x)在上单调递增，所以.所以且，所以.【答案】角度三利用三角函数的单调性比较大小 已知函数f(x)2sin，设af，bf，cf，则a，b，c的大小关系是()AacbBcabCbacDbca【解析】af2sin ，bf2sin 2，cf2sin 2sin ，因为ysin x在上递增，所以cab.【答案】B(1)求三角函数单调区间的两种方法代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解，如例21.图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间提醒要注意求函数yAsin(x)的单调区间时的符号，若0，那么一定先借助诱导公式将化为正数同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域(2)利用单调性确定的范围的方法对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷(3)利用单调性比较大小的方法首先利用诱导公式把已知角转化为同一区间内的角且函数名称相同，再利用其单调性比较大小 通关练习1函数f(x)tan的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析：选B.由k2xk(kZ)得，x0时，由题意知，即；当0，0)是奇函数，直线y与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则()Af(x)在上单调递减Bf(x)在上单调递减Cf(x)在上单调递增Df(x)在上单调递增【解析】f(x)sin(x)cos(x)sin，因为00)，yAcos(x)(0)的周期为，函数yAtan(x)(0)的周期为求解(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心提醒对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断 通关练习1已知f(x)sin xcos x(xR)，函数yf(x)的图象关于直线x0对称，则的值为()A.B.C. D.解析：选D.f(x)2sin，yf(x)2sin的图象关于x0对称，即f(x)为偶函数所以k，kZ，即k，kZ，又因为|，所以，故选D.2已知函数f(x)2sin(0)的最小正周期为4，则该函数的图象()A关于点对称B关于点对称C关于直线x对称D关于直线x对称解析：选B.函数f(x)2sin(0)的最小正周期是4，而T4，所以，即f(x)2sin.函数f(x)的对称轴为k，解得x2k(kZ)；函数f(x)的对称中心的横坐标为k，解得x2k(kZ)所以f(x)的对称中心为.3(2018揭阳模拟)已知函数f(x)是周期为2的奇函数，当x0，1)时，f(x)lg(x1)，则flg 18_解析：因为当x0，1)时，f(x)lg(x1)，flg，又因为函数f(x)是周期为2的奇函数，所以ffflg，所以flg 18lg 18lglg 101.答案：1 奇偶性对于yAsin(x)(A0)，若为奇函数，则k(kZ)；若为偶函数，则k(kZ)对于yAcos(x)(A0)，若为奇函数，则k(kZ)；若为偶函数，则k(kZ)对于yAtan(x)(A0)，若为奇函数，则(kZ) 函数图象的对称中心、对称轴(1)求形如yAsin(x)或yAcos(x)的函数图象的对称轴或对称中心时，都是先把“x”看作一个整体，然后根据ysin x和ycos x图象的对称轴或对称中心进行求解(2)在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设yf(x)Asin(x)，g(x)Acos(x)，xx0是对称轴方程f(x0)A，g(x0)A；(x0，0)是对称中心f(x0)0，g(x0)0. 易错防范(1)闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响(2)要注意求函数yAsin(x)的单调区间时A和的符号，尽量化成0时的情况，避免出现增减区间的混淆 1f(x)tan xsin x1，若f(b)2，则f(b)()A0B3C1D2解析：选A.因为f(b)tan bsin b12，即tan bsin b1.所以f(b)tan(b)sin(b)1(tan bsin b)10.2(2018南昌市第一次模拟)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，00，0，0)的周期为，所以T，得2，从而由f()1，得Asin(2)1，fAsinAsinAsin(2)1.3最小正周期为且图象关于直线x对称的函数是()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin解析：选B.由函数的最小正周期为，可排除C.由函数图象关于直线x对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A，因为sinsin 0，所以选项A不正确对于D，sinsin，所以D不正确，对于B，sinsin1，所以选项B正确，故选B.4(2017高考全国卷)函数f(x)sin(x)cos(x)的最大值为()A.B1C. D.解析：选A.因为cos(x)cos(x)sin(x)，所以f(x)sin(x)，于是f(x)的最大值为，故选A.5(2018石家庄教学质量检测(二)已知函数f(x)sin，f(x)是f(x)的导函数，则函数y2f(x)f(x)的一个单调递减区间是()A.B.C. D.解析：选A.由题意，得f(x)2cos，所以y2f(x)f(x)2sin2cos2sin2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以y2f(x)f(x)的一个单调递减区间为，故选A.6比较大小：sin_sin.解析：因为ysin x在上为增函数且，故sinsin.答案：7若函数f(x)2cos的最小正周期为T，T(1，3)，则正整数的最大值为_解析：因为T，T(1，3)，所以13，即2.所以正整数的最大值为6.答案：68已知f(x)sin 2xcos 2x，若对任意实数x，都有|f(x)|m，则实数m的取值范围是_解析：因为f(x)sin 2xcos 2x2sin，x，所以，所以2sin(，1，所以|f(x)|2sin0)的最小正周期为.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性解：(1)因为f(x)sin xcos xsin，且T，所以2.于是，f(x)sin.令2xk(kZ)，得x(kZ)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x(kZ)(2)令2k2x2k(kZ)，得函数f(x)的单调递增区间为(kZ)注意到x，所以令k0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.1已知函数f(x)，则下列说法正确的是()Af(x)的周期是Bf(x)的值域是y|yR，且y0C直线x是函数f(x)图象的一条对称轴Df(x)的单调递减区间是，kZ解析：选D.函数f(x)的周期为T2，故A错误；函数f(x)的值域为0，)，故B错误；当x时，x，kZ，即x不是f(x)的对称轴，故C错误；令k0)，xR.若函数f(x)在区间(，)内单调递增，且函数yf(x)的图象关于直线x对称，则的值为()A.B2C. D.解析：选D.因为f(x)在区间(，)内单调递增，且函数图象关于直线x对称，所以f()必为一个周期上的最大值，所以有2k，kZ，所以22k，kZ，又()，0，即2，即2，所以.4(2018湖南省湘中名校联考)已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数，若f(x)对xR恒成立，且ff()，则f(x)的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析：选C.因为f(x)对xR恒成立，即1，所以k(kZ)因为ff()，所以sin()sin(2)，即sin 0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g