大学物理力学第5章.ppt

大学物理力学 第五章刚体转动 第五章 刚体的转动 大学物理力学 第五章刚体转动 本章主要内容 5.1 刚体转动运动学 5.2 转动定律 5.3 转动惯量 5.4 力矩的功 转动动能定理 5.5 角动量定理 角动量守恒定律 5.6 进动 大学物理力学 第五章刚体转动 本章主要内容 5.1 刚体转动运动学 5.2 转动定律 5.3 转动惯量 5.4 力矩的功 转动动能定理 5.5 角动量定理 角动量守恒定律 5.6 进动 大学物理力学 第五章刚体转动 教学基本要求教学基本要求 一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌 握角量与线量的关系. 二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕 定轴转动的转动定理. 三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运 动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题. 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体 的简单系统的力学问题. 四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能 在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能 守恒定律 大学物理力学 第五章刚体转动 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化 的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组 ） 刚体的运动形式：平动、转动 . 刚体平动 质点运动 平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同 ，或者说刚体内任意两点间 的连线总是平行于它们的初 始位置间的连线 . 大学物理力学 第五章刚体转动 刚体的转动 注意： 2. 转轴 1. 刚体的转动的定义 * 刚体的一般运动都可看作是平动和转动的叠加。 如：车轮在地面上的滚动。 刚体转动时各质点所绕的直线称为转轴。 刚体内各质点都绕同一直线作圆周运动。 转轴不一定是固定的。 说明： 大学物理力学 第五章刚体转动 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 . 刚体的平面运动 . 大学物理力学 第五章刚体转动 刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+ 大学物理力学 第五章刚体转动 说明： 刚体与质点、理想气体、点电荷等一样是理想模 型。 真正的刚体是不存在的。但一些实际物体在受力 不太大时，可近似看作刚体。 如：固体。 大学物理力学 第五章刚体转动 刚体的定轴转动 1. 定义 2. 刚体定轴转动的特点 转轴固定不动的转动称为定轴转动。 刚体上各质点都作圆运动，圆运动的圆平面与轴 线垂直。 （1） 刚体上各点做圆运动的半径在相等的时间间隔内 转过相同的角度，、相等且为标量。 （2） 大学物理力学 第五章刚体转动 刚体转动的角速度和角加速度 参考平面角位移 角坐标 q 约定 沿逆时针方向转动 沿逆时针方向转动 角速度矢量 方向: 右手螺旋方向 参考轴 大学物理力学 第五章刚体转动 角加速度 1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动 均相同，但 不同； 3） 运动描述仅需一个坐标 . 定轴转动的特点 刚体定轴转动（一 维转动）的转动方向可 以用角速度的正负来表 示 . 大学物理力学 第五章刚体转动 角量与线量的关系 大学物理力学 第五章刚体转动 匀变速转动公式 刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 大学物理力学 第五章刚体转动 例5.1 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径 r=0.5m, 如果升降机以加速度a=0.4m/S2匀加速上升。 （1）滑轮的角加速度； 开始上升后，t=5s末 滑轮的角速度 ； 这5s内滑轮转过的圈 数n ； 求： （2） 开始上升后，t=1s 末滑轮边缘上一点的 加速度a ； （4） （3） r a 解： 大学物理力学 第五章刚体转动 5.2 转动定律 P * O 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢 . 对转轴 Z 的力矩 一、对固定轴的力矩 大小： 力矩的单位 牛顿米（N）一般不记做 J。 大学物理力学 第五章刚体转动 （2）当几个外力同时作用在刚体上，对轴的合外力矩 的大小就等于几个力对该轴力矩的代数和； 是由转轴指向力的作用点的矢径； （1） 讨论： 一、对固定轴的力矩 大学物理力学 第五章刚体转动 刚体内作用力和反作用力的力矩 O 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消 大学物理力学 第五章刚体转动 O 二 转动定律 1）单个质点 与转 轴刚性连接 大学物理力学 第五章刚体转动 2 质点系 O 合力矩等于各分力矩的矢量和 大学物理力学 第五章刚体转动 所以 所以 大学物理力学 第五章刚体转动 O 3）刚体 质量元受外力 ，内力 外力矩内力矩 大学物理力学 第五章刚体转动 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 . 转动定律 定义转动惯量 O 大学物理力学 第五章刚体转动 说明： （1）式中的 匀是对同一轴； （2）瞬时关系式； （3）刚体力学中的基本定律。 与牛顿定律的形式以及地位都非常类同 大学物理力学 第五章刚体转动 例5.5 解： R m F a 0 一飞轮的质量m=60kg，半径R=0.25m,正在以 0 =103r/min的转速转动。现要通过制动使飞轮在 t=5.0s内均匀减速并最后停下来。求闸瓦对轮子的 压力N。假定轮子的质量全部分布在轮的外周上， 闸瓦与飞轮间的滑动磨擦系数 =0.8。 提示：飞轮的转动惯量 J=MR2 N 大学物理力学 第五章刚体转动 例5.6 R 0 M 一质量为M 半径为R 的定 滑轮上绕有细绳。绳的一端固定 在滑轮边上，另一端挂一质量为 m 的物体而下垂。忽略轴处磨 擦，求物体m 由静止下落高度 h 时的速度 和此时滑轮的角速度 。 提示：滑轮的转动惯量 J=MR2/2 h 大学物理力学 第五章刚体转动 转动惯量 物理意义：转动惯性的量度 . 质量离散分布刚体的转动惯量 转动惯性的计算方法 为质量元的质量。为质量元到转轴的距离。 定义 大学物理力学 第五章刚体转动 质量连续分布刚体的转动惯量 ：质量元 说明： J的大小取决于转轴的位置、刚体的形状、 质量和质量的分布； （1） （2）J具有可加性。 单位 大学物理力学 第五章刚体转动 2 对质量线分布的刚体： ：质量线密度 2 对质量面分布的刚体： ：质量面密度 2 对质量体分布的刚体： ：质量体密度 ：质量元 质量连续分布刚体的转动惯量 质量元的选取 大学物理力学 第五章刚体转动 O O 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO 为 处的质量元 例1 一质量为 、长为 的均匀细长棒，求通 过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 . O O 如转轴过端点垂直于棒 大学物理力学 第五章刚体转动 已知：均匀圆环质量为 m ，半 径为 R 求： 圆环对垂直于环面的中心 轴的转动惯量。 解： 例2 任取 dl 如图，则其质量 d l d m 大学物理力学 第五章刚体转动 O R O 例3 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 . 解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 的圆环 而 圆环质量 所以 圆环对轴的转动惯量 大学物理力学 第五章刚体转动 平行轴定理 P 转动惯量的大小取决于刚体的质量、形 状及转轴的位置 . 质量为 的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 ，则 对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量 C O 注意 圆盘对P 轴 的转动惯量 O 大学物理力学 第五章刚体转动 5.4 转动定律的应用 注意： 转动定律是分析解决刚体力学问题的基础。 1.转动轴的位置和指向； 2.应用时要注意 等各量的正负。 大学物理力学 第五章刚体转动 例 一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此竖 直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰 动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动 . 试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角 速度 . 解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得 大学物理力学 第五章刚体转动 式中 得 由角加速度的定义 代入初始条件积分 得 大学物理力学 第五章刚体转动 A B C 例 质量为 的物体 A 静止在光滑水平面上， 和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 量为 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物 体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩 擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？ 绳的张力. （2）若滑轮与轴承间 的摩擦力不能忽略， 并设它们间的摩擦力 矩为 大学物理力学 第五章刚体转动 用转动定律解题的步骤： (1) 选隔离体作受力分析; (2) 取坐标,对转动物体用转动定律列方程,对平 动物体用牛顿定律列方程; (3) 用角量和线量的关系将两类方程联系起来; (4) 解方程,得出字母表达式的最后结果,再代入数; (5) 依要求进行讨论. 大学物理力学 第五章刚体转动 A B C O 解 隔离物体分别对物 体A、B 及滑轮作受力分 析，取坐标如图，运用牛 顿第二定律 、转动定律 列方程 . 大学物理力学 第五章刚体转动 如令 ，可得 A B C 大学物理力学 第五章刚体转动 （2） 考虑滑轮与轴承间的摩 擦力矩 ，转动定律 结合（1）中其它方程 大学物理力学 第五章刚体转动 A B C 大学物理力学 第五章刚体转动 力矩的功 一 力矩作功 力的空间累积效应 力的功,动能,动能定理. 力矩的空间累积效应 力矩的功,转动动能,动能定理. 二 力矩的功率 大学物理力学 第五章刚体转动 三 转动动能 四 刚体绕定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体 转动动能的增量 . 大学物理力学 第五章刚体转动 圆 锥 摆 子 弹 击 入 杆 以子弹和杆为系统 机械能不守恒 . 角动量守恒； 动量不守恒； 以子弹和沙袋为系统 动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 . 圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 . 讨 论 子 弹 击 入 沙 袋 细 绳 质 量 不 计 大学物理力学 第五章刚体转动 1. 刚体的重力势能 对刚体地球系统，刚体的重力势能为刚体中每一 质元与地球系统的重力势能之和。 由质心的定义，刚体质心的高度应为： 故刚体的重力势能： 机械能守恒定律 大学物理力学 第五章刚体转动 2.定轴转动的机械能 3.机械能守恒定律 当外力和非保守内力作功的和为零时，系统的机 械能守恒。 EP为刚体的重力势能。 机械能守恒定律 J为绕轴的转动惯量。 式中 大学物理力学 第五章刚体转动 例5.8 某一冲床利用飞轮的转动动能通过曲柄连杆机 构的传动，带动冲头在铁板上穿孔。已知飞轮的半 径r=0.4m,质量m=600kg，可以看成均匀圆盘。飞轮 的正常转速是n1=240r/min,冲一次孔转速减低20% 求冲一次孔，冲头所作的功A。 解： 大学物理力学 第五章刚体转动 解：方法一用机械能守恒定律 取初始位置为势能零点，则 例5. 10 一均匀细棒（ ，m），可绕过其一端的光滑轴转 动，开始时棒静止于水平位置，求其下摆角为 时的角速度 。 (用机械能守恒定律或转动动能定理解例5.7) 大学物理力学 第五章刚体转动 解：（方法二）用转动动能定理 力矩的功 由转动动能定理知又 即 因对应于 角时的力矩 大学物理力学 第五章刚体转动 解：（方法三）用 转动定律 大学物理力学 第五章刚体转动 R h m m m 和 、 分别 为圆盘终了和起始时的角 坐标和角速度 . 例 一质量为 、半径为 R 的圆盘，可绕一垂直 通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳， 一端挂质量为m 的物体 . 问物体在静止下落高度 h 时 ，其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计 . 解 拉力 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动 能定理可得，拉力 的力矩所作的功为 m 大学物理力学 第五章刚体转动 物体由静止开始下落 解得 并考虑到圆盘的转动惯量 由质点动能定理 m 大学物理力学 第五章刚体转动 力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、 角动量定理. 一 质点的角动量定理和角动量守恒定律 质点运动状态的描述 力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理. 刚体定轴转动运动状态的描述 刚体的角动量 角动量守恒定律 大学物理力学 第五章刚体转动 1 质点的角动量 质量为 的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 ，质点相对于原 点的角动量 大小 的方向符合右手法则. 大学物理力学 第五章刚体转动 作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角 动量随时间的变化率. 2 质点的角动量定理 大学物理力学 第五章刚体转动 质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该 参考点 O 的角动量为一恒矢量. 恒矢量 冲量矩 质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受 的冲量矩等于质点角动量的增量. 3 质点的角动量守恒定律 大学物理力学 第五章刚体转动 二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1 刚体定轴转动的角动量 2 刚体定轴转动的角动量定理 非刚体定轴转动的角动量定理 O 大学物理力学 第五章刚体转动 定轴转动的角动量定理 1. 角动量定理的微分形式 刚体所受到的对某定轴的合外力矩等于刚体对该轴 的角动量的时间变化率。 角动量定理也适用于： （1）非刚体 转动定律又可改写为 角动量定理比转动定律适用范围更广泛。 说明： （ 2）由几个物体组成的系统 大学物理力学 第五章刚体转动 2 角动量定理的积分形式 作用在定轴转动的物体上的冲量矩等于物体对该 轴角动量的增量。 定轴转动的角动量定理 与动量定理相类比 大学物理力学 第五章刚体转动 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量. 守 恒条件 若 不变， 不变；若 变， 也变，但 不变. 刚体定轴转动的角动量定理 3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 ，则若 讨论 在冲击等问题中常量 大学物理力学 第五章刚体转动 有许多现象都可以 用角动量守恒来说明. 自然界中存在多种守恒定律 2 动量守恒定律 2能量守恒定律 2角动量守恒定律 2电荷守恒定律 2质量守恒定律 2宇称守恒定律等 花样滑冰 大学物理力学 第五章刚体转动 长为 L 、质量为 M的均匀杆，其一 端挂在一个水平光滑轴上而静止在 竖直位置。一质量为 m的子弹以水 平速度 ，射入杆的下端并嵌于其 中。求杆和子弹开始一起运动时的 角速度。 例 5.11 (P273) L 大学物理力学 第五章刚体转动 例 一长为 l