2014届高考数学 77立体几何的向量方法（理）课件 北师大版

1(2012陕西高考)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( ),【答案】 A,2(2013青岛模拟)过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为( ) A30 B45 C60 D90 【解析】 建立如图所示空间直角坐标系，设ABPA1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)由题意，AD平面ABP，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，,【答案】 B,【答案】 B,5(2013茂名模拟)正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为_ 【解析】 如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.,【答案】 30,1直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用 (1)直线l1的方向向量为u1(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2(a2，b2，c2) 如果l1l2，那么u1u2u1ku2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)； 如果l1l2，那么u1u2u1u20a1a2b1b2c1c20,(2)直线l的方向向量为u(a1，b1，c1)，平面的法向量为n(a2，b2，c2) 若l，则unun0a1a2b1b2c1c20； 若l，则unukn(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2) (3)平面的法向量为u1(a1，b1，c1)，平面的法向量为u2(a2，b2，c2) 若，则u1u2u1ku2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)； 若，则u1u2u1u20a1a2b1b2c1c20,如何求一平面的法向量？,2利用空间向量求空间角 (1)求两条异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则,(2)求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，,如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点,求证：(1)DE平面ABC； (2)B1F平面AEF. 【思路点拨】 可利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理；也可用向量法建立空间直角坐标系，用向量的坐标运算来解决 【尝试解答】 如图建立空间直角坐标系Axyz，,【归纳提升】 1.证线线平行与垂直 若直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则： (1)l1l2v1v2.(2)l1l2v1v2v1v20. 2证线面平行与垂直 若直线l的方向向量为v，平面的法向量为n，则： (1)lvn.(2)lvn. 3证面面平行与垂直 若平面和的法向量分别为n1，n2，则 (1)n1n2.(2)n1n2.,(2011全国大纲高考)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_ 【思路点拨】 可以D为原点建立空间直角坐标系，转化为向量与向量的夹角问题,(2011全国大纲高考)如图，四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形ABBC2，CDSD1. (1)证明：SD平面SAB； (2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值,【思路点拨】 利用BCCD，可以C为原点，CD，CB所在线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系 【尝试解答】 以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.,【归纳提升】 1.异面直线所成角范围是(0，90，若异面直线a，b的方向向量为m，n，异面直线a，b所成角为，则cos |cosm，n|. 2利用向量法求线面角的方法 一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； 二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.,(2012重庆高考)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB的中点 (1)求点C到平面A1ABB1的距离； (2)若AB1A1C，求二面角A1CDC1的平面角的余弦值,【思路点拨】 (1)易知CD面A1ABB1，即CD为所求；(2)可以D为原点建立空间直角坐标系也可用传统方法找二面角的平面角,又由(1)知CD平面A1ABB1， 故CDA1D，CDDD1， 所以A1DD1为所求的二面角A1CDC1的平面角 因为A1D为A1C在平面A1ABB1上的射影， 又已知AB1A1C， 由三垂线定理的逆定理得AB1A1D，从而A1AB1、A1DA都与B1AB互余， 因此A1AB1A1DA， 所以RtA1ADRtB1A1A，,【归纳提升】 1.利用空间向量方法求二面角，有如下两种方法： (1)分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小； (2)通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于n1，n2(或n1，n2) (3)利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角,考情全揭密 从近两年高考试题来看，利用空间向量证明平行或垂直、求空间角是高考的热点内容，题型主要以解答题为主，难度中档偏上. 此类问题主要考查空间坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力运算能力要求较高预测2014年仍会考查此热点问题，注意强化复习训练,命题新动向 利用空间向量解决探索性问题 利用空间向量证明空间中线面关系，计算空间的各种角是高考对立体几何的常规考法它以代数运算代替复杂的空间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活的方法另外，空间向量还可以用来解决许多探索性问题，这类问题具有一定的思维深度，更能考查学生的能力，因此正逐渐成为高考命题的热点题型,利用空间向量解决探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，可以使问题的解决更简单、有效、应善于运用这一方法,(2012福建高考)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点 (1)求证：B1EAD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存