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第1讲 平面向量的概念与线性运算1下列等式：0aa；(a)a；a(a)0；a0a；aba(b)正确的个数是_个解析：a(a)0，故错答案：42(2019盐城模拟)给出以下命题：对于实数p和向量a，b，恒有p(ab)papb；对于实数p，q和向量a，恒有(pq)apaqa；若papb(pR)，则ab；若paqa(p，qR，a0)，则pq.其中正确命题的序号为_解析：根据实数与向量乘积的定义及其运算律可知，正确；不一定成立，因为当p0时，papb0，而不一定有ab.答案：3如图，已知a，b，3，用a，b表示，则_解析：因为ab，又3，所以(ab)，所以b(ab)ab.答案：ab4已知D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且a，b，给出下列命题：ab；ab；ab；0.其中正确命题的个数为_解析：a，b，ab，故错；ab，故正确；()(ab)ab，故正确；所以baabba0.所以正确命题为.答案：35若|2，则|_解析：因为|2，所以ABC是边长为2的正三角形，所以|为ABC的边BC上的高的2倍，所以|2.答案：26在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a，b表示)解析：由3得433(ab)，ab，所以(ab)ab.答案：ab7若O是ABC所在平面内一点，且满足|2|，则ABC的形状为_解析：根据题意有|，即|，从而得到，所以三角形为直角三角形答案：直角三角形8已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，若a，tb，(ab)三向量的终点在同一直线上，则t_ 解析：因为a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同所以atb与a(ab)共线即atb与ab共线所以存在实数，使atb，所以解得，t，即t时，a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上答案：9已知点P在ABC所在的平面内，若2343，则PAB与PBC的面积的比值为_解析：由2343，得2433，所以243，即45.所以，P点在边AC上，且，设ABC中，AC边上的高为h，则.答案：10在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，点E在线段CD上，若，则的取值范围是_解析：由题意可求得AD1，CD，所以2.因为点E在线段CD上，所以(01)因为，又2，所以1，即.因为01，所以0.答案：11设i，j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且2imj，n ij，5ij，若点A，B，C在同一条直线上，且m2n，求实数m，n的值解：(n2)i(1m)j，(5n)i2j.因为点A，B，C在同一条直线上，所以，从而存在实数使得.即(n2)i(1m)j(5n)i2j所以解得或12已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR)(1)若mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1.证明：(1)若mn1，则m(1m)m()，所以m()，即m，所以与共线又因为与有公共点B，所以A，P，B三点共线(2)若A，P，B三点共线，
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