同步讲台第二讲·逻辑运算充要条件.doc

同步讲台第二讲 逻辑运算 充要条件 知点 考点 答点（1）“非”逻辑从这里开始“非”运算比“且”运算、“或”运算更基础，因为后者涉及两个运算对象（命题p和q），而前者只涉及一个运算对象（命题p）。任何一个数学问题，它都是“p”与“非p”的“并”，且“p”与“非p”的“交”为“空”。因此，“p”与“非p”构成一真一假的对立统一。 于是，论证“p”为真，可以转证“非p”为假。【例1】 A、B是两个集合，试判断命题P：A（AB）的真假。【分析】 一般的定义或定理都是“正面”的，这里的命题P是个“反面”形式。 如果将其否定，则成“正面“形式。【解答】 因为P：A（AB）则有非P：A（AB）易知非P为真，从而知P为假。 （答案）【说明】 逻辑联词中的“非”与日常语言中的非有点不同，后者不管“非的对立面”，而前者等价于将“对立面”肯定。（2）“且”与“并”基本逻辑运算“p且q”的真值表“三真合一”：p真、q真，则“p且q”真，其他情况为假。“p或q”的真值表“三假合一”：p假、q假，则“p或q”假，其他情况为真。【例2】 a、b为实数，已知两个真命题P：axZ|；q：b xR|。当命题“非p或非q”为假时，试用不等式组表示不等式：【分析】 问题在于求出a、b的值。 可利用“或”“且”“非”的逻辑运算而得。【解答】 真命题p化简为P：a0，1真命题q化简为q：b2，1由此得假命题非p：a0，1，非q：b2，1。又“非p或非q”为假命题，所以必须且只须非p且非q为假命题，于是有a=0或1且b=2或1。所以不等式有以下四种情况（1）a=0，b= 2时，（2）a=0，b=1时， （下略）【说明】 本题为或、且、非的混合运算：“非p或非q”为假，即非p假且非q假。逻辑联词中的“且”与日常语言的“和”不同，后者有“并”的含义，而前者是“交”（公共部分）；逻辑联词中的“或”与日常语言中的或有点不同，后者有“选”的含义，而前者是“并”（合成整体）。（3）充要条件等价转换的依据方程3x6=0的解还是一个方程x=2；不等式3x60的解还是一个不等式x2。所有数学解题，就是把复杂的问题用简单的、等价的问题进行替代。 这种替代的依据是：它们互为充要条件。【例3】 求证：关于x的一元二次不等式的解集只含一元元素的充要条件是。【分析】 视为条件A，视不等式的解集只一个元素为结论B。 按充要条件的定义进行证明。【解答】 证充分性：AB当时，不等式化为此不等式有唯一解x= 。证必要性：若，则。当，则有，原不等式无解；当，则原不等式解为则原不等式的解集不只一个元素。综上所述：是解集只一个元素的充要条件。 通法 特法 妙法（1）真值表判定复合命题的真假复合命题有三种基本形式：“p且q”， “p或q”，“非p”。 它们的真和假，由p、q的真假经过真值表而确定。【例4】 已知复合命题“p或q”为真，“非p”为假，则必有 （ ）Ap真q真 Bp真q假 Cp假q真 Dp真，q可真可假【分析】 已知复合命题的真假，判定对应的简单命题的真假。 “逆用”真值表。【解答】 “p或q”为真的意义是：p真q假，或p假q真，或p真q真。由“非p”为假而得“p真”。 于是否定了“p假q真”，而肯定了“p真q假”或“p真q真”。 故答案为D。（2）“非p”法利用补集求“非”函数的值域对应命题p：“”为真，即命题“，1”为真。命题p：“x= 1，1”为假。这就得到了函数的定义域（x，1）（1，1）（1，0），这种利用补集求“非”的办法就是“非p法”。【例5】 已知命题p：存在xR，使，则 （ ）Ap：存在xR，使，且p为真Bp：存在xR，使，且p为假Cp：对任意的xR，都有，且p为真Dp：对任意的xR，都有，且p为假【解答】 这是一个存在性命题，它的否定（非p）是：R中不存在这样的x，使，或者是：对所有的xR，都有为真。 故答案为C。【点评】 这里有命题p：为假，则p：为真，P对应的解集为空集。 p对应的解集为空集的补R。（3）箭头“”将充要条件简化用推断符号“”与 连结开语句或命题，可使“陈述语言”简化。由p真则q真用“”连结，得“pq”；否则（否定）“p q”。由“p真则q真”且“q真则p真”，得“pq”；否则（否定）“p q”。数学问题作等价转换时，常用符号“”。【例6】 关于x的一元二次方程有两个正根，求k的取值范围。【分析】 求k的取值范围，即求k值的集合。要求k值不假不漏。 即求方程有正根的充要条件。【解答】 方程的两根x1、x2都为正数且x1+x2=k0且x1x2=k240 （答案）【点评】 本解行文中，没有一处提到“充要条件”，因其隐化到了符号“”中。 若用充要条件的普通语言行文，其答案的篇幅将会翻番，而且还很难表述清楚。（4）等价法充要条件的逆用充要条件能判定等价命题。 反过来，等价命题也能判定充要条件。例如，原命题与逆否命题等价，逆否命题与原命题之间，可互相用作充要条件。【例7】 已知p：x2或y3；q：x+y5。 判断p是q的什么条件。【分析】 p、q都为“否”的形式，难寻直接证据。 转化为等价的逆否形式：非q：x+y=5是非p：x=2且y=3的什么条件？【解答】 因为x=2，y=3时，有x+y=5。 即p。但由 x+y=5推不出x=2且y=3，即。故p是的充分不必要条件即q是p的充分不必要条件。 从而知p是q的必要不充分条件（5）反证法原命题等价转换成逆否命题否定之否定等于肯定，第一个否定的是原结论；第二个否定的是假设。 既然假设被否，即是原结论被肯定，从而得证这就是反证法原理。反证法导出矛盾一环，分为三种情况：一、p为真与已知矛盾二、q为真与假设矛盾三、恒假设命题与公理、定理、公式、法则等一切已知结论矛盾。【例8】 已知a1a2=2（b1+b2）求证：关于x的一元二次方程（）与（）中，至少有一个方程有实根。【分析】 原命题即：（）有实根而（）没有，或（）没有实根而（）有，或（）和（）都有实根。 这三种情况不仅复杂，而且难证。考虑证它的迸否