对加入了政府部门的R-C-K模型的分析和讨论.doc

对加入了政府部门的R-C-K模型的分析和讨论摘要：新经典增长理论中的基本模型R-C-K模型和OLG模型，都只考虑两部门情形：企业和家庭。企业雇佣生产要素（劳动和资本）来生产产品和服务，家庭拥有并提供生产要素以获取收入并分配于消费和储蓄。而现实生活中，政府部门作为第三方，在生产、生活等经济活动中占有非常重要的地位。本文将加入政府部门，考虑三部门情形，从而探讨政府采购和税收对模型造成的影响。本文采用经典的动态方程和相位图来对模型进行拓展，最终得出结论：政府采购和税收作为家庭可支配收入的漏出项，对动态均衡时的c*和k*有一定的负面作用。具体问题需要具体分析，不能一概而论。关键词：增长模型；政府部门；R-C-K模型；税收第1章 绪论1.1 新增长理论模型简介新增长理论中，Solow模型是最简单、最基础的模型，假设劳动力和知识的增长率分别外生给定为n和g；居民储蓄率同样是外生给定的值s，故消费收入比也是外生恒定，进而推导资本积累方程。为了全面考虑经济增长过程，必须考虑消费路径，同时放开储蓄率外生给定的假设，允许家庭能够自我决策。Ramsey-Cass-Koopmans增长模型（简称R-C-K模型）和Diamond世代重叠模型（Overlapping-Generations Model，简称OLG模型）就是如此。与Solow模型的基本假设一致，这两个模型同样假设外生给定的劳动力和知识的增长率，只是放开了储蓄率外生给定的假设，改由微观经济体公司，通过在竞争市场中最大化利润和家庭，通过最大化一生效用来决定消费和储蓄，从而推导出资本积累方程和经济总量的动态变化。在完全竞争市场中，公司向家庭租用资本和劳动来制造和销售产品，家庭通过向公司提供所拥有的资本和劳动力获取租金和工资，再通过最优化问题（最大化家庭的一生效用）做出消费和储蓄决策。储蓄通过投资和资本积累形成资本，为下一轮生产和消费做贡献。R-C-K模型假设经济中有H个同质且永续存活的家庭，每一个家庭都以增长率n来繁衍。这些无限期存活的家庭在跨期预算约束的制约下最大化整个家庭一生的效用。OLG模型考虑世代重叠的情况。和R-C-K模型无限存活的家庭不同，OLG模型假设人口不断更替变换，每个人只能活两期：青年和老年。青年提供劳动、进行消费和储蓄，老年无法劳动而消费年轻时的储蓄。和R-C-K模型考虑连续时间不同，OLG模型考虑离散时间变量。由于有人口变动，所以OLG模型与R-C-K模型的结论有很大差异。1.2 本论文的研究内容新经典增长理论的基本模型R-C-K模型和OLG模型，都只考虑了两部门情形：企业和家庭。但是现代经济体除了分配有限资源给投资和私人消费之外，还会分配给公共部门。如美国2008年的财政支出达到了4.72万亿美元，占GDP的33.1%，比1972年的3555亿美元（占GDP1.24万亿美元的28.71%）增长了1228%！平均年增长率高达34.11%，而且在36年内一直持续快速稳定地增长。1数据来源：/notheal/article/2909.html1可见现实生活中，政府部门作为第三方，在生产、生活等经济活动中占有非常重要的地位。所以本文将加入政府部门，考虑三部门情形，探讨政府支出和税收对R-C-K模型造成的影响。本文采用动态方程和相位图对模型进行拓展分析，得出结论：政府采购和税收作为家庭可支配收入的漏出项，对动态均衡c*和k*有负面作用，但是瞬时的改变和之后的动态变化会因政府支出和税收的可预见性及是否伴随有转移支付等不同而不同，具体问题需要具体分析，不能一概而论。总体而言，c和k呈下降趋势。第2章 R-C-K模型的推导和分析2.1 R-C-K基本模型考虑一个有大量相同企业和H个相同家庭的经济。每个企业拥有相同的生产技术Y=F(K, AL)，满足一次齐次、单调递增、Inada条件等假设。技术A和人口L的增长率外生，分别为折旧=0。家庭的最优化问题为最大化一生效用：MAX U=t=0e-tuCtL(t)Hdt， （2.1）s. t. t=0e-R(t)CtL(t)HdtK(0)H+t=0e-RtW(t)L(t)Hdt为方便分析，假设即时效用函数为CRRA型效用函数：uCt=C(t)1-1-。从而简化最优化问题为：MAX U=Bt=0e-tc(t)1-1-dt， （2.2）s. t. t=0e-R(t)cte(n+g)tdtk(0)+t=0e-Rtw(t)e(n+g)tdt其中BA01-L(0)/H，-n-(1-)g。解出欧拉方程为：c(t)c(t)=rt-n-g-=fkt-g， （2.3）同Solow模型中一样，k的动态方程为：(=0)k(t)=fkt-ct-n+gkt， （2.4） 鞍点路径 c c(t)=0 c* k(t)=0 k k* 图2.1 R-C-K基本模型的相位图2.2 加入政府支出假设政府每单位时间内每单位有效劳动购买G(t)单位产出，并对家庭征收一次性税收。政府收支平衡。（1）假设政府支出不影响家庭的效用函数和未来产出（即不用于投资），也不改变任何激励。由于G不改变家庭偏好， c的动态方程仍为（2.3）不变：c(t)c(t)=fkt-g。而此时k的动态方程变为：k(t)=fkt-ct-G(t)-n+gkt， （2.5）对应每一个k，由于政府支出G(t)，家庭消费相应减少G(t)，所以k(t)=0的图形向下移动。因为c的动态方程不变， c(t)=0的图形不移动，由fk*=+g可知k*不变。由于k(t)=0的图形向下移动，而k不发生突变，所以c会有一个不连续的跳跃。如果c不跳到新的鞍点路径上，经济将向左上方（c上升，k下降）或右下方（c下降，k上升）移动，都不满足最优化。所以c从原鞍点路径直接跳到新鞍点路径，c减小的幅度等于G增长的幅度。由于k*不变，实际利率r*=f(k*)不变。在这种情况中，G完全挤出了c，k不变，说明政府支出没有挤出投资，这是由家庭的跨期最优化选择导致。 鞍点路径 c c(t)=0 新的鞍点路径 c* cN* k(t)=0 k k* 图2.2 加入政府支出后的R-C-K模型相位图（2）假设政府支出G(t)不完全是公共消费，而是分为公共消费和公共投资两部分，其中公共消费所占比例为m），公共投资占比1-m。由于G不改变家庭偏好，所以c的动态方程仍旧为（2.3）不变，为：c(t)c(t)=fkt-g。由于有1-m的政府支出投入到资本积累中，所以k的动态方程变为： k(t)=fkt-ct-G(t)-n+gk(t)+1-mGt=fkt-ct-mGt-n+gkt， （2.6）资本积累方程中的漏出项由（1）中的G(t)减小为mG(t)，所以k(t)=0的图形同样向下移动，但是幅度没有（1）大，所以c1*c2*c*，k*不变，从而实际利率r*=f(k*)不变。G部分挤出了c。（3）上面假设政府支出不改变效用函数，现在假设政府支出与私人消费完全替代，即效用函数变为U=Bt=0e-tct+G(t)1-1-dt。此时的最优化问题变为：MAX U=Bt=0e-tct+G(t)1-1-dt， （2.7）s.t. t=0e-R(t)ct+G(t)e(n+g)tdtk(0)+t=0e-Rtw(t)e(n+g)tdt由于c(t)与G(t)完全替代，假设c(t) +G(t)=x(t)，x(t)代表总消费。变形后的最优化问题：MAX U=Bt=0e-tx(t)1-1-dt， （2.8）s. t. t=0e-tx(t)e(n+g)tdtk0+t=0e-tw(t)e(n+g)tdt得到一阶条件为：x(t)x(t)=fkt-g=ct+Gtct+G(t)， （2.9）资本积累方程仍为（2.5）：k(t)=fkt-ct-G(t)-n+gk(t)。假设政府有一个短暂的支出变化，t0时宣布从GL提高到GH，在t1时重新降低到GL。则在t0前和t1后使k(t)=0的函数为c(t)=f(k(t)GL(n + g)k(t) ，t0到t1之间为c(t)=f(k(t)GH(n + g)k(t)，即向下平移GHGL。使c(t)=0的方程仍为fkt=+g，从而k*不变。 鞍点路径 c c(t)=0 新的鞍点路径 c* cN* GL时的k(t)=0 GH时的k(t)=0 k k*图2.3 政府支出变化后的相位图在这个假设下，即使政府支出重新降低到GL是可以预期的，c在t1时仍然会有一个跳跃，这与基本假设的结论不同。因为此时假设消费c和政府支出G在效用函数中是完全互补关系，如果在t1时c不发生跳跃，边际效用则会有一个不连续的跳跃，与最优化矛盾。所以在t0政府支出提高到GH时，c下降GHGL，跳跃到新的鞍点路径上，而在t1降低到GL时，c上升GHGL，跳回到原来的鞍点路径上。c + G保持不变。预期的支出变化（anticipated change）和没有预期到的支出变化（unanticipated change）对经济的影响相同，当G变化时c同时发生方向相反、幅度相同的变化，跳跃到新的鞍点路径。如果政府永久地提高支出，即t1趋于正无穷，那么c将会永久下降GHGL，跳跃到新的鞍点路径上。所以预期和没有预期、暂时性和永久性的财政变化，对c和k的影响是一样的。2.3 资本税收考虑处在平衡增长路径上的R-C-K模型。2.3.1 税率为的资本税假设政府宣布要对资本收入收取税率为的资本税，从而实际利率变为r(t)=(1-)f(k(t)。欧拉方程变为c(t)c(t)=1-fkt-g， （2.10）从而使的方程变为f(kN*)=+g1-+g=f(k*)， （2.11）由f是减函数可知kN*k*，的图像向左移动。（1）政府把所收税款以一次性转移支付的形式返还给家庭在这个假设下，k的积累方程为k(t)=fkt-ct-n+gkt，与没有税收时的情况（2.4）相同，图像不发生移动。相位图如图。新的c(t)=0 c(t)=0 c A 鞍点路径 c* E cN* EN新的鞍点路径 k(t)=0 k kN* k*图2.4将税收以转移支付返还给家庭的相位图k*由以往投资所决定，不能不连续地跳跃改变。如果在收税时c不发生跳跃，则经济处于新的鞍点路径下方，经济会向右下方（c下降，k上升）移动，资本将过度积累。如果c向下跳跃，则更加远离新的鞍点路径，从而发散。所以c只能向上跳跃。在宣布收税的同时，使得的图像向左移动，生成新的鞍点路径，c从E向上跳跃直接到达新鞍点路径上的A点，然后c和k沿新鞍点路径移动到新平衡增长路径EN。kN*k*，cN*c*，这是由于对资本收入收税，投资对家庭的吸引力（实际利率）下降，导致储蓄下降、消费上升。但随着投资的减少，资本积累减少，从而产出减少，导致消费和储蓄都减少，整个经济会下降到一个比之前较低迷的状态，即从E变到EN。接下来假设有很多处于平衡增长路径的同质的经济体，家庭偏好相同（参数、相同），但是每个国家的资本税率有所不同。可以知道平衡增长路径上的储蓄率s*=(y*-c*)y*关于税率递减（见附录证明）。越高，资本收益对家庭的吸引力即实际利率越低，从而家庭的储蓄动机也会越低，储蓄越少。那么生活在低税率、高储蓄、高k*国家中的人们有没有向低储蓄的国家投资的动机呢？ 的方程，即税后的资本回报1-fk=+g， （2.12）因为工人们的偏好等相同，其中的参数、g都是一样的，所以税后的资本回报率在不同国家之间是相同的，从而没有动机向国外投资。（2）如果政府不把所收资本税款以转移支付的方式返还给家庭如果政府不进行转移支付，欧拉方程仍如（1）中（2.10）一样，c(t)c(t)=1-fkt-g而资本积累方程因为漏出项增加了资本税收而变成k(t)=fkt-ct-n+gkt-fktk(t)， （2.13）其中最后一项就是资本税收，在（1）中因为政府以转移支付返还给家庭，这一项被补上而使得方程不变。所以资本税收漏出使得k(t)=0的图像向下移动了fktk(t)的幅度。同样k*由历史投资积累决定，不能不连续地跳跃改变。由于最优化，c*可能会不连续地跳跃到新鞍点路径上或者不跳跃，这就必须讨论c*与新鞍点路径的相对位置关系。如果c*处于新的鞍点路径上，则无须跳跃，经济将沿新的鞍点路径移动到新的平衡增长路径上去；如果c*不在新的鞍点路径上，那么c*会立刻跳跃到新鞍点路径上，再沿着新的鞍点路径移动到新的平衡增长路径上去。同（1）一样，新的平衡增长路径的k*和c*都比不收税时的k*和c*小，见相位图。 c 新的c(t)=0 c(t)=0 c* E 新的鞍点路径 新的k(t)=0 k(t)=0cN* EN k kN* k*图2.5 不返还资本税的相位图（3）预期的税收变化和转移支付 永久的税收假设在t0时政府宣布从t1开始对资本收入收取税率为的资本税。从而实际利率变为r(t)=(1-)f(k(t)，在t1之前，c和k的动态方程为c(t)c(t)=fkt-gk(t)=fkt-ct-n+gk(t)， （2.14）在t1之后，收税使得c和k的动态方程变为c(t)c(t)=1-fkt-gk(t)=fkt-ct-n+gk(t)， （2.15）在t1开始收税之后，c(t)=0的图像向左平移，k(t)=0的图像不动。如相位图所示。因为t1时的税收变化已经确定，c不会有不连续的跳跃，否则与最优化矛盾。在t0宣布政策时，c*会有一个跳跃，使得在t1时c是连续变化的。若c向下跳跃，则在t1之前，经济会向右下方（c减小，k增大）移动，资本过度积累；若c向上跳跃到D点或D点以上，在t1之前会继续向左上方（c增大，k减小）移动，t1时一定会处于新鞍点路径之上，t1时一定会有跳跃，与最优化矛盾。所以c向上跳跃到D点与E点之间的某一点A；在t0到t1之间，动态方程仍是原来方程，所以c在t1之前会继续向左上方（c增大，k减小）移动，到t1时正好到达新鞍点路径上的B点，此时新的c(t)=0的图像开始作用，经济沿新鞍点路径移动到EN。 c(t)=0 c B D 新的c(t)=0 A c* E cN* EN新的鞍点路径 k(t)=0 k kN* k*图2.6 预期到的永久税收的相位图c和k随时间变化的图像如下图所示。c k k*c*cN* kN* t0 t1 t t0 t1 t图2.7 预期到的永久税收对c和k的影响 暂时的税收假设在t0时政府宣布从t1到t2对资本收入收取税率为的资本税，在t1前和t2后不收税。所以原始的动态方程为c(t)c(t)=fkt-gk(t)=fkt-ct-n+gk(t)， （2.16）在收税t1到t2期间，变为c(t)c(t)=1-fkt-gk(t)=fkt-ct-n+gk(t)， （2.17）从而在t1前和t2后，c(t)=0的方程为fk*=+g；在t1到t2期间，c(t)=0的方程为f(k*)=+g1-，向左平移。 c B c(t)=0 t1到t2的c(t)=0 A c* E C k(t)=0 K kN* k*图2.8 预期到的临时税收对应的相位图由于该政策的税收变化可以预期，在t1和t2 两个时点处c和k不会有不连续的跳跃，从而得知t2时经济处于原鞍点路径上。通过分类讨论可知在t0时c会向上跳跃到A，此时c(t)=0，k(t)0，k下降，经济向左上方（c增加，k减小）移动，在t1时到达B点。若B在新的鞍点路径或上方，则在t2时必须有不连续的跳跃才能回到原鞍点路径上，所以B一定在新的鞍点路径下方。t1到t2期间由新的c(t)=0的方程即f(k*)=+g1- 决定动态变化，c和k都下降，向左下方移动。若向左下方移动时穿过了新的c(t)=0，那么经济会向左下方移动直至最后崩溃。所以经济不会穿过新的c(t)=0。穿过k(t)=0之后，在新的动态方程作用下c下降，k上升，向右下方移动，从而在t2时恰好到达原鞍点路径上的点C。t2之后沿着原来的鞍点路径移动到原来的平衡增长路径E处。c和k随时间变化的图像如下图所示。c k c* k* t0 t1 t2 t t0 t1 t2 t图2.9 预期到的临时税收对c和k的影响（4）未预期到的税收变化和转移支付 永久的税收假设在t0时政府突然宣布开始对资本收入收取税率为的资本税。在t0前，c和k的动态方程与（2.16）相同，为：c(t)c(t)=fkt-gk(t)=fkt-ct-n+gk(t)在t0之后，由于开始收税使得c和k的动态方程变为：c(t)c(t)=1-fkt-gk(t)=fkt-ct-n+gk(t)在t0开始收税之后，c(t)=0的图像向左平移，k(t)=0的图像不动。如相位图所示。由于这个变化是没有预期到的，c在t0发生不连续的跳跃并不与最优化矛盾。这种情况与（1）相同，由（1）可知，k在t0不变，c会向上跳跃到新鞍点路径上，然后沿着鞍点路径移动到新平衡增长路径EN上。新的c(t)=0 c(t)=0 c c* E cN* EN新的鞍点路径 k(t)=0 k kN* k*图2.10 未预期到的永久税收对应的相位图 暂时的税收假设在t0时政府突然宣布从t0到t1对资本收入收取税率为的资本税，在t1之后不收税。所以原始的动态方程为c(t)c(t)=fkt-g k(t)=fkt-ct-n+gk(t)在收税t0到t1期间，变为c(t)c(t)=1-fkt-g k(t)=fkt-ct-n+gk(t)从而在t0之前和t1之后，c(t)=0的方程为fk*=+g；在t0到t1期间，c(t)=0的方程为f(k*)=+g1-，向左平移。由于在t0时能够预期到t1的情况，不会有突变。通过分类讨论知道在t0时c向上跳跃：如果跳到新鞍点路径与c(t)=0交叉的M点处，那么会沿着新鞍点路径移动，在t1只有不连续的跳跃才能回到原鞍点路径上，与最优化和预期矛盾；如果跳到M点以上，那经济会一直在新的鞍点路径以上，在t1时同样必须有一个不连续的跳回到原鞍点路径上的跳跃。所以c向上跳跃到E与M之间的某点A处。然后在新的动态方程的作用下，向左下方（c和k都下降）移动，移动路径一直处于新的鞍点路径之下。从上向下穿过k(t)=0后，k增加从而向右下方移动。t1时恰好到达原鞍点路径B，然后沿原鞍点路径移动到原平衡增长路径E上。新的c(t)=0 新的鞍点路径 c M c(t)=0 A c* E cN* EN B k(t)=0 k kN* k* 图2.11未预期到的临时税收对应的相位图2.3.2 一次性税收T假设政府宣布收取一次性税收T（1）若政府以转移支付返还给家庭，则动态方程均不发生变化，经济在平衡增长路径不移动。 鞍点路径 c c(t)=0 c* k(t)=0 k k* 图2.12以转移支付使用一次性税收对应的相位图（2）若政府以公共消费的方式使用了税收，动态方程变为c(t)c(t)=fkt-g k(t)=fkt-ct-n+gkt-T （2.18）此时k(t)=0向下平移T，而c(t)=0不动，故c向下跳跃到新平衡增长路径上。 鞍点路径 c c(t)=0 新的鞍点路径 c* cN* k(t)=0 新的k(t)=0 k k* 图2.13以公共消费使用了一次性税收对应的相位图2.4 消费税c 如果政府对家庭征收税率为c的消费税，那么家庭的最优化问题变为：MAX U=Bt=0e-tc(t)1-1-dt， （2.19）s. t.t=0e-Rt(1+c)cte(n+g)tdtk(0)+t=0e-Rtw(t)e(n+g)tdt其中BA01-L(0)/H，-n-(1-)g。解出欧拉方程为：c(t)c(t)=rt-n-g-=fkt-g，与不征税的情况一致。由于消费从ct增大到(1+c)ct，经济中的漏出项增大，从而k的动态方程为： k(t)=fkt-(1+c)ct-n+gkt， （2.20）使得k(t)=0的函数为ct=fkt-n+gkt(1+c)， （2.21）比原图像向下平移。与有政府支出的R-C-K模型的相位图拥有相似的动态变化。 鞍点路径 c c(t)=0 新的鞍点路径 c* cN* k(t)=0 新的k(t)=0 k k* 图2.14 征收消费税的R-C-K模型相位图第3章 结论与未来扩展政府支出和税收作为经济中的漏出项，对c和k有一定的负面作用。但是瞬间的改变和之后的动态变化会因为政府支出和税收的可预见性及是否转移支付等而有所不同，具体情况需要具体分析。总而言之，随着政府支出和税收的增加，c和k呈下降趋势。本文只考虑了一次性税收、资本税和消费税，其他如个人所得税、公司税、财产和遗产税等等很多税收对经济中各个变量的动态变化和平衡增长路径都会有相应的影响和扭曲。其次，本文讨论政府支出改变效用函数的情况，而没有讨论生产函数变化的情况。同效用函数一样，政府支出、各种税收也会对生产函数产生影响，从而对经济变量产生影响和扭曲。再次，投资的调整成本，或者把资本分为实物资本和人力资本分别加以讨论，也会推导出不同结果。技术增长外生的不合理假设还能进行修正和改善，20世纪80年代中期以来,以Romer（1986）、Lucus(1988)等为代表的新增长理论就是进一步将技术进步内生化，将技术外生增长的设定改为带有内生增长率的人力资本变量进行分析。还可以考虑家庭偏好、各种增长率等参数变化，效用函数和生产函数形式的变化，以及市场不完全、信息不完全、垄断等情况。三部门情况可以推广到四部门情形，即考虑开放市场，讨论要素流动性，或者各国技术水平及其增长率、人口及其增长率、家庭偏好、收入的劳动配额等重要参数的差异，和贸易摩擦、贸易壁垒、关税等问题。 可以探讨和研究的内容有无限可能性，一一分析和讨论是不现实的，而且模型会变得庞大和繁杂。最好、最全面刻画