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第1章数字电路基础 1.1 逻辑代数的基本运算 1.2 逻辑代数的定律和运算规则 1.3 逻辑函数的代数化简法 1.4 逻辑函数的卡诺图化简 本章小结 习题,返回主目录,1.1 逻辑代数的基本运算 1.1.1 基本概念 1.1.2 三种基本运算 1.1.3 常见的几种复合逻辑关系 1.1.4 逻辑函数及其表示方法,第1章 数字电路基础,电子电路所处理的电信号可以分为两大类: 一类是在 时间和数值上都是连续变化的信号, 称为模拟信号, 例如电 流、 电压等; 另一类是在时间和数值上都是离散的信号， 为数字信号。 传送和处理数字信号的电路， 称为数字电路。,1.1 逻辑代数的基本运算, 1.1.1基本概念 在数字电路中，输入信号是“条件”，输出信号是“结果”， 因此输入、输出之间存在一定的因果关系，称其为逻辑关 系。它可以用逻辑表达式、 图形和真值表来描述。 逻辑代数中的逻辑变量用字母A， B， C， X，Y， Z等来表示；变量取值只有0和1，而这里的0和1并不表示具 体的数值大小，而是表示两种相互对立的逻辑状态。例如， 电灯的亮和灭、 电动机的旋转与停止，把这种描述相互对 立的逻辑关系且仅有两个取值的变量称为逻辑变量。 ,1.1.2 三种基本运算 1. 与运算 只有当决定事物结果的所有条件全部具备时，结果 才会发生， 这种逻辑关系称为与逻辑关系。与逻辑模型 电路如图1.1所示, A、是两个串联开关，是灯，用开 关控制灯亮和灭的关系如表.1所示。 如果用二值量中的1来表示灯亮和开关闭合，用0表 示灯灭和开关断开， 则可得到如表1.所示的与逻辑真 值表。,图 1.1 与逻辑电路图,表 1.1 与逻辑关系表,表 1.2 与逻辑真值表,输入部分有N=2n项组合。其中，n是输入变量的个数。 与运算也称“逻辑乘”。 与运算的逻辑表达式为: Y = AB 或 Y = A B （“”号可省略） 与逻辑的运算规律为： 输入有得， 全得。 与逻辑的逻辑符号如图1.所示。 与逻辑的波形图如图1.3所示。 该图直观地描述了任 意时刻输入与输出之间的对应关系及变化的情况。 ,图 1.2与逻辑符号图 1.3与逻辑波形图,2. 或运算 当决定事物结果的几个条件中， 只要有一个或一个 以上条件得到满足， 结果就会发生，这种逻辑关系称为 或逻辑。或逻辑模型电路如图1.4所示。,图 1.4 或逻辑电路图,表 1.3 或逻辑关系表,关系如表1.3所示。,真值表如表1.4所示。,表 1.4 或逻辑真值表,真值表如表1.4所示。 或运算也称“逻辑加”。 或运算的逻辑表达式为: Y = A + B 或逻辑运算的规律为：有得，全得。 或逻辑的逻辑符号如图1.5所示。,图 1.5 或逻辑符号,图 1.6 非逻辑电路图,3. 非运算 在事件中，结果总是和条件呈相反状态，这种逻辑 关系称为非逻辑。非逻辑的模型电路如图1.6所示，,表 1.5 非逻辑的关系表,关系如表1.5所示。,表 1.6 非逻辑的真值表,真值表如表1.6所示。 ,表1.7 常见的几逻辑关系,图 1.7 非逻辑符号,非运算也称“反运算”。非运算的逻辑表达式为 Y= 运算的规律为： 变， 变 ， 即“始终相反”。 逻辑符号如图1.7所示。,1.1.3常见的几种复合逻辑关系 与、或、非运算是逻辑代数中最基本的三种运算， 几种常见的复合逻辑关系的逻辑表达式、 逻辑符号及逻 辑真值表如表1.7 所示。,表1.7 常见的几逻辑关系,1.1.4 逻辑函数及其表示方法 1. 逻辑函数 一般函数，当A, B, C, 的取值确定之后，Y的值也就惟 一确定了。Y称为A, B, C, 的函数。 一般表达式可以写为 Z=F（A, B, C, ） 与、或、非是三种基本的逻辑运算，即三种基本的 逻辑函数。 2 . 逻辑函数的表示方法及转换 逻辑函数可以用逻辑真值表、 逻辑表达式、 逻辑图、 波形图、 卡诺图等方法来表示。 例已知函数的逻辑表达式 。 要求: 列 出相应的真值表；已知输入波形，画出输出波形；画出逻 辑图。 ,图 1.8 例 1 的逻辑图,(1) 根据逻辑表达式， 画出逻辑图如图1.8所示。 (2) 将A, B, C的所有组合代入逻辑表达式中进行计算， 得到真值表如表1.8所示。 (3) 根据真值表， 画出例1的输出波形，如图1.9所示。 ,图 1.9 例 1 的波形图,表 1.8 例1的真值表,例 2已知函数Y的逻辑图如图1.10所示，写出函数Y 的逻辑表达式。 解：据逻辑图逐级写出输出端函数表达式如下： Y1= Y2= Y3= 最后得到函数Y的表达式为 ,图 1.10 例2逻辑图,通过真值表也可以直接写出逻辑表达式。方法是将 真值表中Y为1的输入变量相与，取值为1用原变量表示， 0用反变量表示， 将这些与项相加，就得到逻辑表达式。,1.2 逻辑代数的定律和运算规则 1.2.1 基本定律 1.2.2 基本规则,1.2逻辑代数的定律和运算规则,1.2.1 基本定律 表1.9列出了逻辑代数的基本定律, 这些定律可直接利 用真值表证明, 如果等式两边的真值表相同, 则等式成立。,表 1.9 逻辑代数的基本定律,续表（2）,表1.10 例3的真值表,例 3 证明反演律 证 列出 及 的真值表如表 1.10所示。 ,122基本规则1. 代入规则 在任何一个逻辑等式中， 如果将等式两边的某一 变量都用一个函数代替，则等式依然成立。这个规则称 为代入规则。 例 4已知等式 若用代替等式中的，即： ,2. 反演规则 若求一个逻辑函数的反函数时， 只要将函数中所 有“”换成“”， “”换成“”； “”换成“”， “”换成 “”；原变量换成反变量， 反变量换成原变量； 则所得 到的逻辑函数式就是逻辑函数的反函数。 运用规则必须注意运算符号的先后顺序, 必须按照先 括号，然后按再与、后或的顺序变换，而且应保持两个 及两个以上变量的非号不变。 ,例 5求 的反函数。 解 . 对偶规则 是一个逻辑表达式，如果将中的“”换成“”， “”换成“”， “”换成“”， “”换成“”，所得到新 的逻辑函数式Y，就是的对偶函数。 对于两个函数, 如果原函数相等, 那么其对偶函数、 反函数也相等。,例 6求的对偶式Y。 解 （） 【思考题】 1. 写出四变量的摩根定律表达式。 2. 反演规则和对偶规则有什么不同？,1.3逻辑函数的代数化简法,根据逻辑定律和规则， 一个逻辑函数可以有多种表 达式。例如：,与 -或表达式 与非-与非表达式(摩根定律 或非表达式（利用反演规则） 或与表达式(将与或非式用摩根定律） 或非或非表达式（将或与用摩根定律）,因为与或表达式比较常见且容易同其他形式的表达 式相互转换，所以化简时一般要求化为最简与或表达式。 逻辑函数化简的方法有代数法和卡诺图法。代数法 它可是直接运用基本定律及规则化简逻辑函数。方法有 并项法、吸收法、 消去法和配项法。 1. 并项法 利用 的公式，将两项合并为一项，并消 去一个变量。 ,例 7,2. 吸收法 利用A+AB=A的公式消去多余的乘积项。,例 8,3. 消去法 利用 ，消去多余的因子。 例 9,4. 配项法 利用 , 增加必要的乘积项， 然后再用 公式进行化简。 例 10,实际解题时，往往需要综合运用上述几种方法进行 化简，才能得到最简结果。 例 11 化简函数。 ,（摩根定律） （合并法） （吸收法）,【思考题】 1. 代数化简的难点是什么? 2. 最简与或表达式的标准是什么？,1.4 逻辑函数的卡诺图化简 1.4.1 逻辑函数的最小项 1.4.2 卡诺图化简逻辑函数 1.4.3 具有约束项的逻辑函数的化简,1.4 逻辑函数的卡诺图化简,卡诺图是指按相邻性原则排列的最小项的方格图。 1.4.1逻辑函数的最小项 1. 最小项的定义 在n个输入变量的逻辑函数中，如果一个乘积项包含 n 个变量，而且每个变量以原变量或反变量的形式出现且 仅出现一次，那么该乘积项称为该函数的一个最小项。 对n个输入变量的逻辑函数来说，共有2n个最小项。 例如：在两变量逻辑函数Y=F(A, B)中，根据最小项 的定义，它们组成的四个乘积项： 、 、 、AB 是最小项。而根据定义 、 、 、不是最 小项。 ,2. 最小项的性质 (1) 对于任意一个最小项，只有变量的一组取值使得 它的值为1，而取其他值时，这个最小项的值都是0。 (2) 若两个最小项之间只有一个变量不同，其余各变 量均相同，则称这两个最小项满足逻辑相邻。 (3) 对于任意一种取值全体最小项之和为1。 (4) 对于一个n输入变量的函数, 每个最小项有n个最 小项与之相邻。 ,表1.11 三变量的最小项编号,卡诺图的结构特点是按几何相邻反映逻辑相邻进行 排列。n个变量的逻辑函数，由2n个最小项组成。卡诺图 的变量标注均采用循环码形式（见附录B）。 二变量卡诺图：它有22=4个最小项，因此有四个方格 卡诺图上面和左面的0表示反变量，1表示原变量，左上方 标注变量, 斜线下面为A, 上面为B, 也可以交换, 每个小方 格对应着一种变量的取值组合, 如图1.11（a）所示。 ,图 1.11 变量卡诺图,(a) 二变量卡诺图； (b) 三变量卡诺图； (c) 四变量卡诺图,三变量卡诺图：有23=8个最小项，图1.11（b）所示。 四变量卡诺图：有24=16个最小项，如图1.11（c） 所示。 5. 最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最小项之和 的形式，这样的逻辑表达式称为最小项表达式。 例 12 将逻辑函数Y(A, B, C)=AB+ C展开成最小 项之和的形式。 ,解,解,例 14写出三变量函数 的最小项表达式。 解 利用摩根定律将函数变换为与或表达式，然后展开成最小项之和形式。,142卡诺图化简逻辑函数 1. 逻辑函数的卡诺图 (1) 根据逻辑函数的最小项表达式求函数卡诺图。 只要将表达式Y中包含的最小项对应的方格内填1，没有 包含的项填0（或不填），就得到函数卡诺图。 例 15将例13用卡诺图表示。 解 将表达式Y中包含的最小项对应的方格内填1， 如图1.12所示。 (2） 根据真值表画卡诺图。 例 16已知三变量Y的真值表如表1.12所示， 画出卡 诺图。 ,表1.12 例16的真值表,图 1.12 例 15 的卡诺图 ,图 1.13例 16 的卡诺图,解 根据真值表直接画出卡诺图如图1.13所示。,(3) 根据表达式直接得出函数的卡诺图。 例 17将Y= 用卡诺图表示。 解BC：在B=1，C=1对应的方格（无论A，D取何值） 得m6, m7, m14, m15在对应位置填1；C : 在C=1, D=0 对应 的方格中填1，即m2, m6, m10, m14; CD: 在B=0， C =D=1 的方格中填1，即m3, m11； D: 在A=C=0, D=1 的方格 中填1，即m1, m5。所得卡诺图如图1.14所示。 ,图 1.14 例17的卡诺图,解 （1）利用摩根定律去掉非号， 直到最后得到一个与 或表达式，即 ,（2） 根据与或表达式画出卡诺图，如图1.15所示。,图 1.15 例 18 的卡诺图,2. 逻辑函数卡诺图化简法 (1) 化简依据。 利用公式AB+A =A将两个最小项合并消去表现形 式不同的变量。 (2) 合并最小项的规律。 利用卡诺图合并最小项有两种方法：圈0得到反函 数，圈1得到原函数， 通常采用圈1的方法。 (3) 化简方法。 消去不同变量， 保留相同变量。 , 两个相邻项可合并为一项，消去一个表现形式不 同的变量，保留相同变量。 四个相邻项可合并为一项， 消去两个表现形式不 同的变量，保留相同变量。 八个相邻项可合并为一项，消去三个表现形式不 同的变量，保留相同变量。依次类推，2m个相邻项合并 可消去m个不同变量， 保留相同变量。如图1.16所示为最 小项合并的过程。 ,图 1.16 最小项合并卡诺图,(4) 读出化简结果的方法。 一个卡诺圈得到一个与项， 将各个卡诺圈所得的乘 积项相或，得到化简后的逻辑表达式。 (5) 用卡诺图法化简逻辑函数的步骤。化简步骤如下： 画出函数的卡诺图。 画卡诺圈： 按合并最小项的规律，将2m个相邻项 为1的小方格圈起来。 读出化简结果。,图 1.17 例 19 卡诺图化简过程,例 19化简 解化简步骤如下： 函数的卡诺图如图1.17所示， “0”可以不填。 画卡诺圈： 如图1.17所示, 按消去不同、 保留相同的方法写出逻辑表达式。 例 20 化简 Y(A, B, C, D)= m(0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11) 解 （1） 画出函数的卡诺图, 如图1.18所示。 (2) 按合并最小项的规律可画出三个卡诺圈， 如图 1.18所示。 (3) 写出化简后的逻辑表达式 ,图 1.18 例 20 的卡诺图,例 21化简 Y（A, B, C, D）= m（3, 4, 5, 7, 9, 13, 14, 15） 解 画函数的卡诺图， 化简过程如图1.19所示。 合并最小项得到的逻辑表达式为 画卡诺圈时应注意： 卡诺圈应按2n方格来圈，卡诺圈越大越好，卡诺 圈越少越好。 卡诺圈中的“1”可以重复使用。,图 1.19 例 21 的卡诺图, 每个圈至少有一个从来没被圈过的“1”，否则为 多余圈。例如，在图1.19中，m5, m7, m13, m15虽然可画成 一个圈，但它的每一个最小项均被别的卡诺圈圈过，因 此是多余圈。,143具有约束项的逻辑函数的化简 1. 约束项 在实际的逻辑问题中， 有些变量的取值是不允许、不可 能、不应该出现的，这些取值对应的最小项称为约束项，有时 又称为禁止项、无关项、任意项，在卡诺图或真值表中用或 来表示。 约束项的输出是任意的，可以认为是“1”，也可以认为是 “0”。 对于含有约束项的逻辑函数的化简， 如果它对函数化简 有利，则认为它是“1”；反之，则认为它是“0”。 逻辑函数中的约束项表示方法如下：如一个逻辑函数的 约束项是 、 、 、 ABC, 则可以写成下列等式：,或 d(0, 2, 6, 7)=0 2. 具有约束项的函数化简 具有约束项的化简步骤如下： 填入具有约束项的函数卡诺图。 画卡诺圈合并（约束项“”使结果简化看作“1”， 否则为“0”）。 写出简化结果（消去不同， 保留相同）。,例 22 已知 ，约束 条件为 BD+CD=0，求最简的函数表达式。 解 （1） 根据约束条件求约束项 配项展开为 （2） 根据与或表达式和约束条件画卡诺图，如1.20所示。 （3） 画卡诺圈，约束项可以为“0”或者为“1”。 从卡诺图 看，约束项全“1”时得到最简逻辑函数表达式及其约束项如下：,（约束条件）,图 1.20 例22的卡诺图 图 1.21 例23的卡诺图,例23已知 Y（A, B, C, D）=m（0, 2, 7, 8, 13, 15）+ d(1, 5, 6, 9, 10, 11, 12)求最简的函数表达式。 解 (1) 根据最小项表达式画卡诺图如图1.21所示。 (2) 画卡诺圈， 得到逻辑函数表达式： d(1, 5, 6, 9, 10, 11, 12)=0(约束条件) ,例 24十字路口的交通信号灯, 红、 绿、 黄灯分别用A、 B、C来表示。灯亮用1来表示，灯灭用0来表示。车辆通行状 态用Y来表示，停车时Y为0，通车时Y为1。用卡诺图化简此 逻辑函数。 解 (1) 在实际交通信号灯工作时， 不可能有两个或两个以上 的灯同时亮(灯全灭时, 允许车辆感到安全时可以通行)。根据 题目要求列出真值表，如表1.13所示。 (2) 根据真值表画卡诺图， 如图1.22所示。,表1.13 例24的真值表,图 1.22 例 24 的卡诺图,(3) 画卡诺圈合并最小项, 其中约束项可以当作0或1, 目的是要得到最简的结果。 ,【思考题】 1. 什么是最小项