[教育学]13函数与数列极限.ppt

1.3 函数与数列的极限,1. 函数的极限,实例,返 回,考察 当x无限趋近于1时，f(x)=x+1与g(x),无限趋近于2。,定义1 设函数yf(x)在点,的去心邻域,内有定义，如果当自变量x在,内无限,时，相应的函数值f(x)无限趋近于某,时的极限,一个固定的常数A,记为：,返 回,趋近于,则称常数A为函数f(x),定义2 设函数yf(x)在点,的右半去心邻域,内无限趋近于,函数值f(x)无限趋近,时的右极限,内有定义，如果当自变量x在,则称常数A为函数f(x),时，相应的,于某一个固定的常数A，,记为：,返 回,定义3 设函数yf(x)在点,的左半去心邻域,内有定义，如果当自变量x在,内无限趋近于,函数值f(x)无限趋近,时的左极限,则称常数A为函数f(x),时，相应的,于某一个固定的常数A，,记为：,返 回,函数的左极限和右极限统称单边极限,例,返 回,证明,返 回,四,时函数f（x）的极限,定义4 设函数yf(x)在|x|b(b0的某个实数)时有定义，如果当自变量x的绝对值无限增大时，相应的函数值f(x)无限趋近于同一个固定的常数A，则称A为,时函数f(x)的极限，记为,返 回,五,时函数f（x）的极限,定义5 设函数yf(x)在（a,+ ) (a为某个实数)时有定义，如果当自变量|x|无限增大且x0时，相应的函数值f(x)无限趋近于同一个固定的常数A，则称A为,时函数f(x)的极限，记为,返 回,六,时函数f（x）的极限,定义6 设函数yf(x)在（ , a) (a为某个实数)时有定义，如果当自变量|x|无限增大且x0时，相应的函数值f(x)无限趋近于同一个固定的常数A，则称A为,时函数f(x)的极限，记为,返 回,定理2,的充分必要条件为,2.函数极限的性质,（1）局部保号性,返 回,（2）局部有界性,（3）唯一性,（4）不等式性质,定理中把x 改为x，相应结论仍成立,返 回,3. 数列的极限,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,一、概念的引入,返 回,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,二、数列的定义,例如:,为单调递减数列，且是有界；,返 回,是有界数列，但不单调；,是单调递增数列，且无界数列；,返 回,不是单调递增数列，有界数列；,三、数列的极限,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,返 回,播放,通过上面演示实验的观察:,定义8 设数列,，若当n无限增大时，,无限趋近于某一固定的常数A，则称数列,这时也称当,时，数列,收敛于A。,时，数列,不趋近于某一,固定常数A，则称当,发散。,当n无限增大时以常数A为极限.记为,如果当,返 回,小 结,1.要以动态的理念深刻理解函数与数列的极限；,2.掌握以下关系；,3.了解函数与数列极限的某些性质；,注意：,关于函数与数列极限的定义；仅是描述性的，而非严格定义。,返 回,这是描述性定义，严格定义（ ）如下：,返 回,几何解释:,返 回,四、数列极限的性质,定理8,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,收敛的数列必定有界.,定理9,单调有界数列一定收敛,定理10,若数列收敛，则其极限是唯一的.,返 回,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,返回,三、数列的极限,三、