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2.5 逆矩阵,使得,即,对于任意非零的数 ，如果存在另一个数 ，,倒数：,则说 是 的倒数.,一、逆矩阵产生的背景,矩阵:,运算中的 1 ，,矩阵 ，,在矩阵的运算中，,单位阵 相当于数的乘法,那么，对于矩阵，是否存在另一个,使得 呢?,二、逆矩阵的概念和性质,例如 设,使得,则说矩阵 是可逆的，,并把矩阵 称为 的一个,逆矩阵，,记作 .,对于 阶矩阵 ，如果存在 阶矩阵 ，,定义2.4.1,注：,2.可逆矩阵与它的逆矩阵是可换的同阶方阵；,3.若 是 的逆矩阵,则 也是 的逆矩阵， 即 、 互逆；,4.若 成立，则 也成立。,1. 不能理解成 ；,事实上，若设 和 都是 的逆矩阵，,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的。,5.若 是可逆矩阵,则 的逆矩阵唯一；,6. 零矩阵不可逆；单位矩阵可逆，且,例1,证明矩阵,证明：,的逆矩阵为,设,例2,证明,解：,例3,可逆，并求它们的逆矩阵.,由,证明,三、可逆矩阵的运算规律：,1.若 可逆，则 也可逆，,2.若 、 是同阶可逆阵，则 也可逆，,且,且,证明：,特别有：,（反序定律）,3.若 可逆，则 也可逆，,4.若 可逆，则 也可逆，,且,且,证明：,证明：,5.若 可逆，则,证明：,注： 、 可逆， 不一定可逆。即使可逆， 一般情况下， 不一定成立。,例,或,定义1,四、逆矩阵的存在性,奇异矩阵与非奇异矩阵,设,是奇异矩阵,是非奇异矩阵,定义2,设 为 阶方阵， 的行列式 的元素 的代数余子式 所构成的矩阵的转置矩阵称为矩阵 的伴随矩阵。,记为,解：,逆矩阵的存在定理：,证明,若 可逆，则,矩阵 可逆的充要条件是 非奇异，,且当A可逆时，,必要性：,充分性：,即 ；,由逆矩阵的定义可得,解：,下证注4,证：,即 A 可逆,矩阵乘法的三大特征,（1）无交换律：,（2）无消去律：,（3）,不一定,不一定,不一定,例3,设 是非奇异矩阵，且 ，求证：,将 两端同时左乘以 得,证明：由于 非奇异，故 可逆.,即,从而,即消去律成立,若 可逆,若 可逆,分块矩阵的逆矩阵,分块对角矩阵,如果 都可逆，则,伴随矩阵的性质,=,（反序定律）,1,1,1,),(,-,-,-,=,A,B,AB,例4,设A的逆矩阵为,求,解：,课堂练习,1.判断矩阵A是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵.,
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