数学实验“线性方程组的J-迭代,GS-迭代,SOR-迭代解法”实验报告(内含matlab程序代码).doc

西京学院数学软件实验任务书课程名称数学软件实验班级数0901学号0912020107姓名李亚强实验课题线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代方法。实验目的熟悉线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代方法。实验要求运用Matlab/C/C+/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成。实验内容线性方程组的J-迭代；线性方程组的GS-迭代；线性方程组的SOR-迭代。成绩教师实验四实验报告1、 实验名称：线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代。2、 实验目的：熟悉线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代，SSOR-迭代方法，编程实现雅可比方法和高斯-赛德尔方法求解非线性方程组的根，提高matlab编程能力。3、 实验要求：已知线性方程矩阵，利用迭代思想编程求解线性方程组的解。4、 实验原理：1、雅可比迭代法（J-迭代法）：线性方程组，可以转变为：迭代公式其中，称为求解的雅可比迭代法的迭代矩阵。以下给出雅可比迭代的分量计算公式，令，由雅可比迭代公式有，既有，于是，解的雅可比迭代法的计算公式为2、 高斯-赛德尔迭代法（GS-迭代法）：GS-迭代法可以看作是雅可比迭代法的一种改进，给出了迭代公式：其余部分与雅克比迭代类似。3、 逐次超松弛迭代法（SOR-迭代法）：选取矩阵A的下三角矩阵分量并赋予参数w，将之作为分裂矩阵M，其中，w0，为可选择的松弛因子，又（1）公式构造一个迭代法，其迭代矩阵为从而得到解的逐次超松弛迭代法。其中：由此，解的SOR-迭代法的计算公式为 （2）观察（2）式，可得结论：（1） 、当w=1时，SOR-迭代法为J-迭代法。（2） 、当w1时，称为超松弛迭代法，当weps x2=M*x1+g; a=norm(x2-x1,inf); x1=x2; k=k+1;end%输出方程组的近似解、精确值及误差disp(近似解：);disp(x1);x2=x1-y;a=norm(x2,inf);fprintf(误差：%.6f;迭代次数：%dn,a,k);%2.GS-迭代function x1=G_S(A,b,y) n=100;m=input(请输入迭代次数m:);eps=input(请输入精度eps:);D=diag(diag(A);L=triu(A)-A;U=tril(A)-A;%生成矩阵M,向量gM=(D-L)U;g=(D-L)b;%迭代首项x1=eye(n-1,1);x2=eye(n-1,1);for i=1:n-1 x1(i)=1; x2(i)=0;enda=1;k=0;while aeps x2=M*x1+g; a=norm(x2-x1,inf); x1=x2; k=k+1;end%输出方程组的近似解、精确值及误差disp(近似解：)；x2=x1-y;a=norm(x2,inf);fprintf(误差：%.4f;迭代次数：%dn,a,k);%3.SOR-迭代function a=p(A)n,n=size(A);x=eig(A);a=0;for i=1:n b=abs(x(i); if ba a=x(i); endenda=abs(a);function x1=SOR(A,b,y) %y为精确解%超松弛迭代D=diag(diag(A);L=triu(A)-A;U=tril(A)-A;%求最佳松弛因子wM=D(L+U);w=p(M);w=2/(1+sqrt(1-w2);if w2 disp(迭代不收敛); return;end%生成矩阵M,向量gM=(D-w*L)(1-w)*D+w*U);g=(D-w*L)b*w;%进行迭代w=1;k=0;%x1=eye(n,1);while w1e-6 x2=M*x1+g; w=norm(x2-x1,inf); x1=x2; k=k+1;end%输出方程组的近似解、精确值及误差disp(近似解：);disp(x1);x2=x1-y;w=norm(x2,inf);disp(误差:);disp(w);disp(迭代次数：);disp(k);6、