概率统计2-同步练习.doc

第一部分 同步练习 (加*号的工科学生选作, 题前加*较难选作)题中需要的数据：11.51.6451.9622.50.8410.93320.950.9750.9770.9938,: , , , , , , , , ,第一章 随机变量一、计算1是两个随机事件，且 (1) 若互不相容，求,；(2) 若相互独立，求；(3) 若=0.5，求,.210件产品有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求：另一件也是不合格品的概率。3一实习生用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件为不合格品的概率为 (=1,2,3)，求：3个零件中恰有2个合格的概率。4四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，求：密码能被译出的概率。5已知10件产品中有3件次品，从中有放回抽取3次（每次1件），求：(1) 所取到的3件产品中合格品数的概率分布; (2) (=2)。6设随机变量服从参数为的泊松分布，且求: (1) ; (2)()。7. 随机变量的概率分布为-10120.10.20.4求：(1)常数；(2)的概率分布；(3)求().8设随机变量服从-1,2的均匀分布，求：(1) (0); (2) 若表示对进行三次独立重复观察中“0”出现的次数，求 (=)。9设随机变量X，其密度函数，求：(1)；(2) 若已知,求：；(3)(0)。12设随机变量, 且 （）求：（1）；（2）服从什么分布；（3）。13设随机变量X的分布函数求：（1）的值；（2）概率()。14. 随机变量服从上的均匀分布，,求：的密度函数. 二、应用题1. 袋中有大小相同的红球4只，黑球4只，现从中任意取2只，求：此两球颜色不同的概率.2从中任取3个号码。求：（1）最大号码是5的概率；（2）最小号码是5的概率(3)最小号码不小于5的概率。3甲、乙、丙三机床独立工作由一名工人照看，某段时间内它们不需要工人照看的概率依次为、，求在这段时间内有一台机床需要工人照看的概率及恰有1台机床需要工人照看概率。4某人下午5点下班，他所积累的资料如下：到家时间5:355:395:405:445:455:495:505:54迟于5:54乘地铁到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽车到家的概率0.300.350.200.100.05某天他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。5. 某保险公司的条件表明，新保险的汽车司机中可划为两类：第一类人易出事故，在一年内出事故的概率为0.4，第二类的人为谨慎的人，在一年内出事故的概率为0.2。假设第一类人占新保险司机的30%，那么一个新保险户在买保险单后一年内出事故的概率是多少？6一袋中有10个球，其中3个白球，7个红球。现采用不放回方式从中取球两次，每次1个。求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第二次取到白球的概率。7 由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为，各车间产品的不合格率依次为8%、9%和12%. 现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。8. 某人乘车或步行上班，他等车的时间单位分钟服从指数分布如果等车时间超过10分钟他就步行上班。若该人一周上班5次，以表示他一周步行上班的次数。求的概率分布；并求他一周内至少有一次步行上班的概率。9. 某校体检表明学生的身高服从正态分布，学生平均身高为1.70米，1.86米以上的学生占总数的2.3%，求身高在1.62到1.78米之间的学生占总数的百分之几？三、证明题1设是两个随机事件，且。证明：与相互独立。2设随机变量服从密度函数。证明：的密度函数为：。第二章 随机向量一、计算1设随机向量的概率分布为YX123121/61/31/91/18则应满足什么条件；若X与Y相互独立，求。2设随机向量的概率密度函数 (1)求X,Y的边缘分布，并判断X,Y是否相互独立；(2)求概率。3. 设二维随机向量的联合概率密度是求：(1) 关于的边缘密度函数； (2) .4. 设二维随机向量的联合概率密度是求：(1) 求的边缘密度函数； (2) .5. 设随机变量X服从的均匀分布，Y服从的指数分布，且X与Y相互独立，求：(1)随机向量的联合密度函数f(x,y)；(2) *的联合分布函数F(x,y)；(3) P(X4,Y5)。6已知，求：（1）的边缘分布；（2）,（3）当时，计算。7设二维随机向量在矩形区域上服从均匀分布。记 求：（1）求的联合概率分布；(2)*试求边长为和的矩形面积的概率分布。二、应用题甲、乙二人独立地各进行两次射击，已知甲命中率为0.2，乙命中率为0.5，以X，Y分别表示甲、乙命中的次数，求(X,Y)的联合概率分布。.袋中有大小、重量完全相同的四个球，分别标有数字1, 2, 2, 3，现从袋中任取一球，取后不放回，再取第二次。分别以X、Y记第一次和第二次取得球上标有的数字。求：(1) (X,Y)的联合概率分布；(2)X,Y的边缘分布；(3) 判断X与Y是否独立。3进行打靶，设弹着点的坐标和相互独立，且都服从分布，规定落在区域得2分，点落在区域得1分，点落在区域得0分.以记打靶的得分.（1）写出的联合分布密度；（2）求的分布列。三、证明题* 1随机变量X,Y互独立，他们都服从标准正态分布。证明：(1)服从的指数分布（自由度为的分布）；(2)服从正态分布（用卷积公式）。第三章 数字特征一、计算1. 设随机变量的概率密度函数为，求： (1) ； (2) .2随机变量，随机变量，求：Y的方差。3已知随机变量X的数学期望EX与方差DX都存在，且，随机变量，求：（1），；（2）若，服从什么分布。4若，且EX=6,DX=3.6，求： (1) ；（2）。5设随机变量X服从参数为的泊松分布，且已知E(X-1)(X-2)=1，求：。6.设随机变量的密度函数为，求.7设随机变量服从的指数分布，的概率密度函数 求：（1）；（2）由（1）求c及。8. 利用正态分布的结论，计算：。9已知随机变量X的概率密度函数为，求随机变量Y=的数学期望。10.设随机向量的联合密度函数，求：。11设服从区间 上的均匀分布，求：。12已知具有相同的概率分布，（1）求；（2）用切比谢夫不等式估算概率的最大值。13是二维随机向量，且，求：和。14设二维随机向量，求：（1）；（2）若X与Y独立，且，求。15. 设随机向量的联合概率分布如下： 0100.10.310.30.3求： (1) 与的边缘分布； (2) 与的相关系数.16写出下列条件之间的关系：(1) 随即变量X与Y独立，(2) E(XY)=E(X)E(Y), (3) D(X+Y)=D(X-Y)=D(X)+D(Y),(4) COV(X,Y)=0,(5)=0。二、应用题1假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日内无故障，可获利润10万元，发生一次故障仍可获得利润5万元，发生二次故障获利0元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内的期望利润。2一汽车沿一街道行驶，需要经过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等，以X表示该汽车首次停车前已通过的路口数。求：（1）X的概率分布；（2） 。3设某种商品的每周需求量X是服从10，30上均匀分布的随机变量，而经销商店的进货数量为区间10，30上的某一整数，商店每销售一单位可获利500元；若供大于求则处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元。为使商店所获利润的数学期望不小于9280元，试确定最小进货量。为使期望利润最大，最佳进货量是多少？4设某经销商正在与某出版社联系订购下一年的挂历问题，根据该经销商以往多年的经销经验，他得出需求数量分别为150本、160本、170本、180本的概率分别为0.1、0.4、0.3、0.2，各种订购方案的获利(百元)是随机变量，经计算各种订购方案在不同需求情况下的获利如下表： 需求数量订购方案需求150本（概率0.1）需求160本（概率0.4）需求170本（概率0.3）需求180本（概率0.2）订购150本获利45454545订购160本获利42484848订购170本获利39455151订购180本获利36424854（1）该经销商应订购多少本挂历，可使期望利润最大？（2）在期望利润相等的情况下，应该选择方差（表示风险）最小的方案，为使期望利润最大且风险最小，经销商应订购多少本挂历？5一商店经销某种商品，每周进货数量与顾客对该种商品的需求量是相互独立的随机变量，且都服从上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润元，若需求超过了进货量，商店可以从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润元。求此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。6.某箱装有件产品，其中一，二，三等品分别为件。现从中随机地抽取一件，记 。（1）求的联合分布；（2）求与的相关系数。7一家经营农产品的公司在某城市开了5个连锁店，它们每周售出农产品的数量（以千克计）分别为，已知，,相互独立。（1） 求5个连锁店每周的总销售量的均值和方差；（2） 公司每周进货一次，为了使新的供货到达前不会脱销的概率大于97.7%，问公司的仓库应至少储存多少千克该产品？8. 袋装食盐每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，一箱内装100袋，用中心极限定理求一箱食盐净重超过50250克的概率。9. 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中因被盗索赔的占20%，以表示在随机抽查的100个索赔中因被盗向保险公司索赔的户数。试求(1) 的概率分布； (2) 用中心极限定理计算。第四章 统计估值一、简答题1(1) 已知 且P(Xa)=0.05，求：a.； (2) 已知且P(Y11.07)=0.05，求：；(3) 令,则T服从什么分布？且P(T2.57)=0.025，求：； (4) 令,则F服从什么分布？且若P(F6.6)=0.95，求。2，是来自总体的简单随机样本，分别为样本均值与样本方差，则根据抽样基本定理 ， ，中分别取何值及服从什么分布？3给定一组样本观察值，经计算得，求样本均值和样本方差。4设是来自总体的样本， 则当 为何值时，统计量 X服从 分布，自由度是几。5设随机变量和相互独立且都服从正态分布， ，和 分别来自总体X和Y的随机样本，则统计量 服从什么分布。6何时称统计量为参数的无偏估计量，若总体，是来自总体X的一个样本，的无偏估计量唯一吗？这些无偏估计中那个最有效?7X的样本，在的三个估计量 中，哪个估计最有效；相对前面三个估计量更有效？为什么？8若，则称比有效，你认为这种说法正确吗？*9若是来自正态总体的样本，是来自正态总体的样本，且与相互独立， 分别为对应的样本均值与样本方差。则 、分别服从什么分布？二、计算1 已知某种产品的重量, 现随机地抽取5个样本, 测得重量如下: 20，21，20.5，21.5，22。计算： 平均重量的点估计值； 的点估计值； 当=2时平均重量的95%的置信区间。2. 设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计算如下，. 求该校女生平均身高的95%置信区间。3 设来自正态总体的容量为9的简单随机样本得样本均值，求：2的置信度为0.95的置信区间。 4假设0.5，1.25，0.8，2是来自总体X的简单随机样本，已知服从正态分布。 求X的数学期望(记)； 求的置信度95%的置信区间；利用上述结果求的置信度0.95的置信区间。5设总体X服从参数为的泊松分布，是来自总体X的样本，求：的最大似然估计； 验证此估计是不是的无偏估计。6总体X服从参数的指数分布，是来自总体X的样本，求： 的最大似然估计量； 证明的最大似然估计量也是的无偏估计量。7设总体X的概率密度函数 其中是常数，是未知参数。求的最大似然估计量。8在均值为，方差为的正态总体中分别抽取容量为和的两个独立的样本，分别为两个样本均值。求：常数a，b满足什么条件，是的无偏估计量；并确定，的值，使Y的方差达到最小。9设是来自总体的样本， 则：服从什么分布，把它修正成一个标准正态分布；服从什么分布？令，那么Z又服从什么分布？三、证明1设是一组样本观察值，对任意常数0 ，记。分别为对应的样本均值与样本方差。（1）证明 。（2）给定一组样本值：2550(2个)，2850（3个），3150（8个），3450(5个),3750（2个）利用（1）的结论，求样本均值与样本方差（取）。2是来自总体X的一个样本(,),。证明：(1) 是的无偏估计量；(2) 也是的无偏估计量。3设总体X服从区间上的均匀分布，其中是未知参数。又是来自总体X的样本，为样本均值。证明：是参数的无偏估计量。4设是参数的无偏估计量，。证明：不是的无偏估计量。第五章 统计检验1. 已知某铁水的含碳量在正常情况下服从正态分布，现测定了9炉铁水，含碳量平均数为，样本方差. 若总体方差没有变化，即,(1) 问总体均值有无显著变化？（要求：写出原假设；统计量及其分布；拒绝域）；(2) 你是根据什么统计原理得到的结果，你有可能犯哪类错误，你能给出犯此错误的最大可能性吗？2. 某厂生产某种零件，在正常生产情况下，这种零件的轴长服从正态分布，均值为0.13厘米。如果从某日生产的这种零件中任取10件，测量后得厘米,厘米。问:（1）该日生产的零件的平均轴长是否与往日一样？; (2) 你是根据什么统计原理得到的结果，你有可能犯那类错误?3. 用包装机包装某种食品, 在正常情况下, 每袋重量为200克, 假设每袋食品的重量服从正态分布. 某天检验机器工作的情况, 从已装好的袋中随机抽取10袋, 测得其重量(单位: 克)为:201, 206, 198, 199, 204, 199, 197, 193, 195, 208问这天机器是否工作正常()?4. 开发区的管理人员认为，某大型企业雇用外地临时工的平均工资可能低于开发区规定的500元。而如果确实低于500元要对该企业进行处罚。已知临时工工资X现随机从这些外地临时工中抽选了50名职工进行调查研究，得到元，元。（1） 表述基本假设和对立假设；（2） 若=0.05，试进行检验。5. 某厂生产铜丝，生产一向稳定。现从该厂产品中随机抽取10段检查其折断力，测后经计算：，假定铜丝的折断力服从正态分布，问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16？*6. 假设人体的身高服从正态分布，今抽取甲、乙两地区岁女青年身高得数据如下：甲地区抽取10名，样本均值米，样本标准差米；乙地区抽取10名，样本均值米，样本标准差米.问：(1) 甲、乙两地区岁女青年身高的方差有无显著差异？(2) 甲、乙两地区岁女青年平均身高有无显著差异？* 第七章 回归分析 *1某市居民货币收入与购买消费品支出数据如下表(单位：亿元)货币收入