汽车随机振动理论与应用(讲义带重点).doc

汽车随机振动理论与应用汽车随机振动理论与应用 主编：马天飞主编：马天飞 目目 录录 第一章第一章随机过程的基础知识随机过程的基础知识1 1.11.1 随机变量随机变量 1 1.21.2 随机过程的描述随机过程的描述 10 第二章第二章 线性系统在随机激励下的响应线性系统在随机激励下的响应.25 2 21 1 确定性理论的回顾确定性理论的回顾 25 2 22 2 线性系统对平稳随机激励的响应线性系统对平稳随机激励的响应 32 2 23 3 单自由度线性系统对平稳随机激励的响应单自由度线性系统对平稳随机激励的响应 43 2 24 4 多自由度线性系统平稳随机响应的模态分析法多自由度线性系统平稳随机响应的模态分析法 .52 2 25 5 无限自由度线性系统对随机激励的响应无限自由度线性系统对随机激励的响应 56 第三章第三章 动力可靠性分析动力可靠性分析62 3 31 1 可靠性概念与结构破坏的形式可靠性概念与结构破坏的形式 62 3 32 2 平稳高斯窄带过程的统计特性平稳高斯窄带过程的统计特性 .64 3 33 3 穿越分析穿越分析 67 3 34 4 峰值分布峰值分布 .71 3 35 5 随机振动引起的疲劳破坏随机振动引起的疲劳破坏 .78 3 36 6 随机振动引起的首次超越破坏随机振动引起的首次超越破坏 .80 题型：题型： 一、名词解释（一、名词解释（37） 二、计算（二、计算（54） 三、问答（三、问答（6 题，共题，共 29 分）分） 四、综合分析（四、综合分析（152） 车辆随机振动理论与应用 1 第一章第一章随机过程的基础知识随机过程的基础知识 1.11.1 随机变量随机变量 一、定义： 假设在随机试验中的基本事件（样本点）为 e，样本空间为。若每一样本点 eSe 有一实数与之对应，则称（eS）为实随机变量。显然，为一实数的集( )X e( )X e( )X e 合，故又称为样本空间 S 的每一样本点 e 映射到实轴上数的集合，简记。( )X eX 样本空间 S 中的每一样本点 e 映射到复平面上的数的集合，称为复随机变量，记作 ， （式中 X、Y 为实随机变量） 。今后若不作特殊说明，均假定随机变( )( )( )Z eX ejY e 量为实数的。 若样本空间 S 中的一个样本点 eS 与 n 个实数，相对应，则 1( ) X e 2( ) Xe( ) n Xe 称（，）为定义在 S 上的 n 维随机变量。例如，发动机的工作状态是 1 X 2 X n X 随机变化的，其工况可以看成是由功率 Pe 和转速 n 决定的二维随机变量，即（Pe，n） 。如 图 1-1 所示，a、b 等工况都是由发动机相应的功率和转速表示的二维随机变量。又如，发 动机悬置元件强度 I 和刚度 k 是其重要特性，每一个元件的强度和刚度都是随机变化的， 因此发动机悬置元件的特性可以用二维随机变量（I，k）来描述。 图 1-1 发动机工作状态（工况） 随机变量仅可能取得有限个数值的，称为离散型随机变量。例如，在掷骰子试验中， 得到的点数即为离散型随机变量 X，16 是随机变量 X 的值；随机变量可以取得某一区间 内的任何数值，则称为连续型随机变量。例如，某零件的加工尺寸，它300.05Xmm 可以得到 29.95mm 到 30.05mm 之间的任何尺寸，它就是连续型随机变量。 二、概率描述 对于离散型随机变量，可用分布列来描述其统计特性。分布列就是随机变量 X 取得各 车辆随机振动理论与应用 2 个值的概率列表；而对于连续型随机变量 X，取得区域内某一点的值的概率为零，因此要 用 X 取值小于等于区间内某一实数 x 的概率来描述其统计特征。 定义随机变量 X 的分布函数 （1-1） F xP Xx 根据定义可知：是非减函数，且。 xF 10xF10FF， 设分布函数连续且可微，则连续型随机变量 X 还可以用概率密度函数来描述其 xF 统计特性 （1-2） d ( ) =( ) d f xF x x 有 （1-3） x F xf x dx （1-4） P xXxdxf x dx 可见，概率密度函数是非负函数，且。 f x( )1f x dx 对于多维随机变量，其联合分布函数： 12n (X ,X ,X ), （1-5） 121122 F ( ,)=P nnnn x xxXxXxXx, 联合概率密度函数： （1-6） 1212 12 ( ,) =( ,) n nnnn n f x xxF x xx x xx , 三、随机变量函数的概率密度 1、一维随机变量的函数 设连续型随机变量 X 的函数 Yg（X）也为一连续型随机变量，如图 1-2 所示。Y 与 X 定义在同一样本空间。令 X 与 Y 的概率密度分别为 f(x)和 f(y)，则 （1-7）() iiiiii ii P yYyyPxXxxP xXxx 图 1-2 一维随机变量的函数 当足够小时，可写成：, i yx 车辆随机振动理论与应用 3 （1-8）( )( )| ii i P yYyyf yyf xx 当时，有，则0y 0 i x （1-9）( )( )/( )/ i i ii ix x dydy f yf xf x dxdx 例 1-1求时间历程曲线（如图 1-3 所示）的 X 的概率密度函数。( )X t( )f x 图 1-3 随机变量 X 的时间历程曲线 解：用近似法求解。 根据题意可知：随机变量 X 是随机变量 t 的函数。由于时间 t 在时间轴上取 值是等可能的，即随机变量 t 服从均匀分布，则 1 ( )f t T 式中，T 为采样时间。 由式（1-4）可得 ( ) ( )| ii i i i P xXxxf xx f tt t T 即 ( ) i i t f x T x 对于某次实验记录的样本，曲线是由等间隔采样的离散点组成的。设( )X t 采样间隔时间为 t，采样频率为，时间 T 内采样点数为 N，则： s f ( ) () i i ss i i nN f xx ff nN x n N x 车辆随机振动理论与应用 4 式中：n在 x 带宽内的采样点数。 此式表明：根据样本函数的总采样点数 N、设定带宽 x 和带内数据点数 n 可求得随机过程 X(t)_的。( )f x 2、多维随机变量的函数： 设同一样本空间 S 内的样本点 e 有 n 维随机变量和与 12n (Y ,Y ,Y ), 12n (X ,X ,X ), 之相对应，二者之间存在函数关系：。若其存在 k12n (X ,X ,X ), k=1,2,n k Yg, 反函数，为，且，单调连续，则它们的概率 k12n (Y ,Y ,Y ), k=1,2,n k Xh, k g k h 密度函数之间存在以下变换关系： （1-10） n12nn12n (y ,y ,y )= (x ,x ,x ) Jff, 式中，为雅可比（Jacobi）行列式的绝对值，J （1-11） 111 12 222 12n 12 12n 12 (x ,x ,x ) Jdet (y ,y ,y ) n n nnn n xxx yyy xxx yyy xxx yyy , , 式中，。 12n (Y ,Y ,Y ) i X为,的函数 例 1-2设，已知随机变量 X,Y 的联合概率密度，求。Z=X+Y( , ) XY fx y( )f z 解： 构造一个新的二维随机变量（X，Z）： XX ZXY 其反函数为 XX YZX 则 10 J1 11 xx xz yy xz 车辆随机振动理论与应用 5 于是 ( , )( , ) ( ,) XZXY XY fx zfx y J fx zx 则，边际概率密度函数 ( )( , ) ( ,) ZXZ XY fzfx z dx fx zx dx 如果 X 与 Y 相互独立，即 ( , )( )( ) XYXY fx yfx fy 则 ( , )( ,)( )() XZXYXY fx zfx zxfx fzx 从而 ( )( )()( )( ) ZXYXY fzfx fzx dxfzfz 即两个独立随机变量之和的概率密度函数等于这两个随机变量概率密度函数的卷积。 若构造的二维随机变量为（Y，Z） ，同样可以得到以上结论。 例 1-3若随机变量 X 与 Y 互相独立，求的概率密度函数。Z=XY( )f z 解：设二维随机变量（X，Z） ，有 XX ZXY 其反函数 XX Z Y X 雅可比行列式的绝对值为 2 10 1 J 1z x xx 则 ( , )( , ) 1 ( , ) XZXY XY fx zfx yJ z fx xx 1 ( )( , ) zXY z fzfxdx xx 车辆随机振动理论与应用 6 由于 X 与 Y 互相独立，则 1 ( )( )( ) zXY z fzfx fdx xx 同理 1 ( )( )( ) zYX z fzfy fdy yy 四、数字特征矩 对于随机变量 X，称为 X 的 n 阶原点矩；称( ) nn E XX f x dx 为 X 的 n 阶中心矩。()()( ) nn XX EXXf x dx 当 n1 时，一阶原点矩，就是均值，一阶中心矩 ( )E Xxf x dx X ；当 n2 时，二阶原点矩，就是均方值，二0 X E X 22 ( )E Xx f x dx 2 X 阶中心矩，就是方差。对于任何的随机变量 X，总有以下关系成立： 22 () XX EX 。 222 XXX 概率密度函数可以全面地描述随机变量 X 的统计规律，而各阶矩可以描述( )f x 的图形特征，也是 X 的统计特征。那么矩与概率密度函数之间的关系如何，还要先( )f x 介绍特征函数。 五、特征函数 对于连续型随机变量 X，称复随机变量的数学期望为 X 的特征函数， j X e j X E e 记作：( ) X M （1-12）( )( ) j Xj x X ME eef x dx 与付氏变换 （1-13） -1 F( )=F ( )=( ) 1 ( )F F( )=F( ) 2 j t j t f tf t edt f ted 相对比，显然可看作的付氏变换，其区别仅在于。由于( ) X M( )f x( )( ) X MFf x 在区间内的积分等于 1，符合经典付氏变换绝对可积的条件，故以上变换( )f x(,) 对于每一个随机变量总是存在的。那么按付氏变换理论，通过对进行逆变换，就( ) X M 车辆随机振动理论与应用 7 可以求出概率密度函数：( )f x （1-14） 1 ( )( ) 2 j x X f xMed 当 X 为离散型随机变量时，可表示为，其中为单位( )f x( )() ii i f xpxx ( )x 脉冲函数，定义为 且 （1-15） ,0 ( ) 0,0 x x x ( )1x dx 单位脉冲函数具有筛选性质 （1-16） 00 ( ) ()( )f ttt dtf t 这时，离散型随机变量 X 的特征函数为 （1-17）( )()() i j xj xj x Xiiiii iii Mepxxdxpexx dxpe 其逆变换亦存在。 由此可见，与构成一个付式变换对，二者一一对应，故可完全( )f x( ) X M( ) X M 描述 X 的统计特性。在实际问题中，比的求解更方便，因此可以先求出( ) X M( )f x ，然后经付式逆变换求。( ) X M( )f x 下面求解特征函数与矩的关系。把在处展成泰勒级数( ) X M0 （1-18） 22 2 (0)(0)(0) ( )(0) 2! nn XXX XX n dMd Md M MM ddnd 式中： 0 (0)( ) nn XX nn d Md M dd (1,)n 2, 根据定义可以得到： 0 0 (0)( )( )1 j x X Mef x dxe f x dx 0 (0) ( )( ) j x X dM jx ef x dxjx f x dxjE X d 2 222222 2 0 (0) ( )( ) j x X d M j xef x dxjxf x dxj E X d 0 (0) ( )( ) n nnj xnnnn X n d M j xef x dxjxf x dxj E X d 车辆随机振动理论与应用 8 所以，特征函数 （1-19） 1 () ( )1 ! n n X n j ME X n 式中： （1-20） (0)1 n n X nn d M E X jd 由于与一一对应，故可用各阶矩来完整描述 X 的统计特性。一般来说，( ) X M( )f x 各阶矩都需要知道。实际上，高阶矩难于得到，因此在工程实际中，往往只用少数几个低 阶矩（一般用到二阶，有时在解决非线性问题时用到四阶）来描述它，显然会存在一定的 近似性，除非随机变量 X 为高斯的。 例 1-4已知某随机变量 X 的分布函数 ，常数 a0，即 X 服从( ) 0 ax e F x 0 0 x x 指数分布，求，和。( ) X M E X 2 E X 解： ( ) ( ) 0 ax aedF x f x dx 0 0 x x 000 ( )() axaxax E Xx f x dxx aedxx eedx 0 11 ax e aa 2222 000 ( )()2 axaxax E Xxf x dxxaedxxex edx 2 0 22 ax ax edx aa 0 ( )( ) j Xj xj xax X a ME eef x dxeaedx aj 也可以利用特征函数计算均值和均方值： 2 00 ( )111 () X dMaj E X jdj aja 22 2 22232 00 ( )1122 () X d Maj E X jdjaja 例 1-5求标准化的高斯随机变量 X 的特征函数与各阶矩。( ) X M 解：对于标准化的高斯随机变量 X，即 XN（0，1） ，有 2 2 1 ( ) 2 x f xe ()x 车辆随机振动理论与应用 9 且，那么 X 的特征函数0,1 XX 2 222 222 22 2 2 2222 ()2 2222 () 22 1 ( ) 2 1 2 1 2 1 2 x j x X j xx jj xx xj Meedx eeeedx eeeedx eedx 因为，所以 2 () 2 1 1 2 xj edx 2 2 ( ) X Me 根据式（1-20） ，可以得到 2 2 0 0 (0)( )111 0 XX dMdM E Xe jdjdj 2 22 22 2 222222 0 0 (0)( )1111 (1)1 XX d Md M E Xe jdjdjj 2 3 32 2 333 0 (0)11 (3)0 X d M E Xe jdj 2 4 4222 2 444 0 (0)11 (1)3(1)3 X d M E Xe jdj 不难验证，所有奇数阶矩都等于 0，偶数阶矩则为（n-1） ，即 n E X 0 n-1 n n 为奇数 为偶数 例 1-6当高斯随机变量 X 的均值为，标准差为时，求各阶原点矩。 X X n E X 解：根据题意，有： 2 2 () 2 1 ( ) 2 X X x X f xe 令 ，则得到标准化的高斯随机变量 Y，其概率密度函数 X X X Y 车辆随机振动理论与应用 10 2 2 1 ( ) 2 y f ye 由上例可知 2 2 ( ) j Y Y ME ee 而，则 XX XY () ( ) XXXX jYjjYj X X ME eE eeE e 2222 ) 22 XX X X j j eee （ 根据式（1-20） ，可以得到各阶原点矩 22 ) 2 2 0 0 ( )11 X X j X XXX dM E Xej jdj （ （） 2 2222 22 0 ( )1 X XXX d M E X jd 3 323222 33 0 22 ( )1 3()2 2 X XXXXXXXX XXX d M E X jd E X 4 42224 44 0 23222 322 ( )1 3 (3)3() 3 X XXXX XXXXXXX XX d M E X jd E XE X +6+ 122 (1) nnn XX E XE XnE X 可见，高斯随机变量的任意高阶矩都可以用一、二阶矩表示，最终都是取决于和 X 。 2 X 1.21.2 随机过程的描述随机过程的描述 一、随机过程 定义 1：定义在样本空间上的时间函数（样本函数），的集合（如 Sk( ) k x ttT 图 1-4 所示） ，称为随机过程，简记为。( )X t 车辆随机振动理论与应用 11 图 1-4 随机过程的样本集合 显然，为二元函数。当 k 一定时，为一确定的样本函数；当( )X t( , )X k t( )X t( ) k x t 时，为一连续型随机变量，又称为在时刻的截口或状态；当 k 一 1 =t t 1 ( )X t 1 ( )X t( )X t 1 t 定且时，为样本函数在时刻的值。 1 =t t( )X t( ) k x t 1 t 定义 2：随机过程是一族随机变量（）的集合。即可以看作是无限( )X t 1 ( )X t 1 tT 多个随机变量组成的随机变量系，或者说是随时间 t 而变的一族随机变量。( )X t 又称随机函数。( )X t 二、概率描述 1、一维概率分布 随机过程在时刻的截口为一个连续型的随机变量。它的分布函数( )X t 1 t 1 ( )X t （1-21） 11111 ( , )( )F x tP X tx 式中，为截口时间，是确定值。 1 t 相应的概率密度函数 车辆随机振动理论与应用 12 （1-22） 111 111 1 ( , ) ( , ) dF x t f x t dx 2、n 维概率分布 随机过程在 n 个时刻的截口为一个 n 维随( )X t 12n t ,t ,t, 12 ( )( ) ( ) n X tX tX t、 机变量。它的分布函数和概率密度函数为 （1-23） 12n12n (x ,x ,x ;t ,t ,t ) n F, （1-24） 12n12n (x ,x ,x ;t ,t ,t ) n f, 若已知 n 维随机变量的概率密度函数，则可以求出较低 12n12n (x ,x ,x ;t ,t ,t ) n f, 维随机变量的概率密度函数，如同根据联合概率密度函数求边际概率密度函数一样。 （1-25） 12n-k12n-k 12n12n11 k (x ,x ,x;t ,t ,t) (x ,x ,x ;t ,t ,t ) n k nnnn k f fdx dxdx 重 , , 可见，对于随机过程，知道概率密度函数的维数越高，对它的统计特性了解得越彻底。( )X t 三、数字特征： 1、单个随机过程的主要数字特征 n 维概率密度函数可近似的描述随机过程的统计特 12n12n (x ,x ,x ;t ,t ,t ) n f,( )X t 性。n 越高，概率密度函数描述得越完善。但求解一般十分 12n12n (x ,x ,x ;t ,t ,t ) n f, 困难，有时甚至不可能。因此，在实际问题中，往往只要知道某些主要数字特征，即可对 有足够的认识。常用的有( )X t 均值： （1-26）( )( , )( ) X E X txf x t dxt 方差： 222 ( )( )( ) ( )( , )( ) XXX D X tE X ttxtf x t dxt （1-27） 均方值： 22222 ( )( , )( )( )( ) XXX E Xtx f x t dxttt （1-28） 自相关函数： 121212121212 ( )( )( , )( ,; , ) X E X t X tRt tx x f x x t t dx dx （1-29） 2、n 维随机过程的数字特征 车辆随机振动理论与应用 13 设 n 维随机过程，其数字特征包括 12 ( ),( ),( ) n X tXtXt 均值： ( ) i E X t12i ，n 均方值： 2 ( ) i E Xt12i ，n 相关函数矩阵： （1-30） 11121 21222 12 121212 121212 12 121212 ( , )( , )( , ) ( , )( , )( , ) ( , ) ( , )( , )( , ) n n ij nnnn X XX XX X X XX XX X X X X XX XX X Rt tRt tRt t Rt tRt tRt t Rt t Rt tRt tRt t 矩阵中的对角元素为自相关函数，非对角元素为互相关函数。由于互相关函数 ，因此 n 维随机过程的相关函数矩阵为非对称阵。 1221 1212 ( , )( , ) X XX X Rt tRt t 图 1-5 互相关函数示意图 3、随机过程函数的数字特征 这里只讨论具有简单初等函数关系的随机过程之间数字特征的运算关系。 （其中为确定性函数）( )( )t X tY(t )=( ) t 对于任一时刻，有 1 t 111 ( )( )tt X tY( )= 式中，是确定值，、是随机变量。所以，有 1 ( )t 1 ( )X t 1 tY( ) 11 ( ) ( )E Yt E X t 1 (t ) 由于时刻是任意的，所以 1 t 车辆随机振动理论与应用 14 （1-31）( ) ( )E Yt E X t(t ) 同理可得 （1-32） 22 ( ) ( )E Yt E Xt 2(t ) （1-33） 121122 1212 1212 ( , )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( , ) Y X R t tEt X ttX t ttE X t X t ttRt t ( )( )( )Z tX tY t （1-34） ( )( ) ( )E Z tE X tE Y t （1-35） 1212 1122 12121212 ( , ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( , )( , )( , )( , ) Z XYXYYX Rt tE Z t Z t E X tY tX tY t Rt tR t tRt tRt t 当与不相关，且均值为 0 时，因为( )X t( )Y t 121212 ( , )( , )( )( )0 XYXYXY Rt tCt ttt 同理： 12 ( , ) YX Rt t 0 （1-36） 121212 ( , )( , )( , ) ZXY Rt tRt tR t t 其中，协方差 121122 ( , )( )( )( ( )( ) XYXY Ct tE X ttY tt 12211212 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) YXXY E X t Y ttE X tt E Y ttt 1212 ( ) ( )( )( ) XY E X t Y ttt （1-37） 1212 ( , )( )( ) XYXY Rt ttt 而相关系数（标准化协方差） （1-38） 12 12 ( , ) ( )( ) XY XY XY Ct t tt 当时，自相关函数变成均方值，有 12 ttt （1-39） 222 ( )( )( ) ZXY ttt 又因为它们的均值等于 0，所以方差存在以下关系 （1-40） 222 ( )( )( ) ZXY ttt 车辆随机振动理论与应用 15 一般地，对于，如果有与（）不相关且均值为 0， 1 ( )( ) n i i Z tX t ( ) i X t( ) j Xtij 则有： （1-41） 22 1 ( )( ) i n ZX i tt ( )( ) ( )Z tX t Y t 当相互独立时，则( )( )X tY t与 （1-42） ( )( ) ( ) ( , ; , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( ) ( ) E Z tE X t Y t xy f x t y t dxdy xy f x t f y t dxdy x f x t dxy f y t dy E X t E Y t （1-43） 121122 1212 1212 1212 ( , )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( , )( , ) Z XY Rt tE X t Y t X t Y t E X t X t Y t Y t E X t X tE Y t Y t Rt tR t t 例 1-7一质量弹簧系统如图 1-6 所示，对初始激励的响应为 (0) ( )(0)cossin nn n x x txtt 图 1-6 弹簧质量系统示意图 当初始条件与为随机变量时，响应为一随机过程(0)x(0) x ( )x t (0) ( )(0)cossin nn n X X tXtt 设与相互独立，且均值为 0，求。(0)X(0)X 12 ( ),( , ) X E X tRt t 解： 1 ( )cos(0)sin(0)0 nn n E X tt E Xt E X 车辆随机振动理论与应用 16 0 1212 1122 2 1212 2 1212 2 2 ( , )( )( ) (0)(0) (0)cossin)(0)cossin) (0)(0) (0) coscoscossin (0)(0)( ) sincossinsin co X nnnn nn nnnn n nnnn nn X Rt tE X t X t XX E XttXtt E XX E Xtttt E XXE Xt tttt 0 2 1212 2 scossinsin X nnnn n tttt 4、导数过程的数字特征（问答） 随机过程的导数过程定义为的每个样本函数在 t 时刻的导数的集( )X t( )X t ( )X t( )x t 合，即，这要求每个样本函数对时间 t 的导数都存在。 0 ( )()( ) ( )lim dX tX tX t X t dt 的均值( )X t （1-44） ( ) ( )( )( ) X dX tdd E X tEE X tt dtdtdt 上式表示，导数过程的均值等于原过程均值的导数。 与的互相关函数( )X t ( )X t （1-45） 1212 11 2 0 1212 0 1212 0 12 1 ( , )( )( ) ()( ) (lim)( ) ()( )( )( ) lim (, )( , ) lim ( , ) XX XX X Rt tE X t X t X tX t EX t E X tX tE X t X t RttRt t Rt t t 同理： （1-46） 1212 2 ( , )( , ) X XX Rt tRt t t 的自相关函数( )X t 车辆随机振动理论与应用 17 （1-47） 1212 22 1 0 1212 0 12 2 2 12 12 ( , )( )( ) ()( ) ( )lim ( ,)( , ) lim ( , ) ( , ) X XXXX XX X Rt tE X t X t X tX t E X t Rt tRt t Rt t t Rt t t t 例 1-8设 A、B 为两个相互独立的随机变量。AN(1.2)，B 在（0，1）上服从均匀分布， 随机过程。求，( ),(,)X tABtt ( ) X t 12 ( , ) X Rt t 12 ( , ) XX Rt t ， 12 ( , ) XX Rt t 12 ( , ) X Rt t 解：根据已知条件，可得：，1 A 2 2 A 222 3 AAA 另外， 1 ( )1 1 0 f B 1 2 1 0 0 1 ( ) 22 B B E BBf B dB 1 3 1 222 0 0 1 ( ) 33 B B E BB f B dB 1 ( )( ) 1 2 X tE X tE AE B tt 1212 12 22 211 2 121 2 121 2 ( , )( )( ) ()() 1 3() 3 11 3() 23 X Rt tE X t X t E ABtABt E AE AB tE BA tE B t t ttE A E Bt t ttt t 12121 2 11 ( , )( , ) 23 X XX Rt tRt tt t 12122 1 11 ( , )( , ) 23 X XX Rt tRt tt t 车辆随机振动理论与应用 18 2 1212 12 1 ( , )( , ) 3 X X Rt tRt t t t 四、平稳过程及其导数过程 1、平稳过程的概念：( )X t 数学上，如果随机过程的概率密度函数存在以下关系( )X t 1111 11221122 11221122 ( , )( ,) ( , ;, )( ,;,) ( , ;, ;,)( ,;,;,) nnnn f x tf x ta f x t x tf x ta x ta f x t x tx tf x ta x tax ta （1-48） 其中 a 为任意实常数，称为平稳过程，或称为强平稳过程。n 若只在 n=2 时满足上式，即 （1-49） 1111 11221122 ( , )( ,) ( , ;, )( ,;,) f x tf x ta f x t x tf x ta x ta 则称为弱平稳过程。( )X t 在工程上，如果 （1-50） 1221 ( ) ( , )( ) XX XX tC Rt tRtt （常数） （） 即它们与时间原点的选择无关，则称为平稳过程。可见，工程上的平稳过程即指弱平( )X t 稳过程。 2、集合平均和时间平均 随机过程的数字特征可以分为集合平均和时间平均。 集合平均：数学期望 （1-51） 111 1 1 ( )( )lim( ) n Xk n k tE X tx t n 自相关函数 121212 1 1 ( , )( )( )lim( )( ) n Xkk n k Rt tE X t X tx t x t n = （1-52） 时间平均：数学期望 （1-53） 0 1 ( )lim( ) k T Xkk T Xtx t dt T 自相关函数 121212 0 1 ( , )( )( )lim( )( ) k T Xkk T Rt tX t X tx t x t dt T 车辆随机振动理论与应用 19 或 0 1 ( ,)( )()lim( )() k T Xkk T Rt tX t X tx t x tdt T （1-54） 一般来说，随机过程数字特征的集合平均都与时间原点有关，而时间平均都与样本函数 1 t 序号 k 有关。 而平稳随机过程的数学期望和自相关函数的集合平均是与时间原点无关的，这就是 1 t 平稳随机过程的判断依据。 3、各态历经随机过程 各态历经随机过程首先必须是平稳过程，并且它的数字特征的时间平均都与 k 无关， 且等于任一截口处的集合平均，即 （1-55） ( )( ) ( )()( )()( ) X X X tE X t X t X tE X t X tR 这也是各态历经随机过程的判断依据。 4、平稳过程自相关函数的性质( ) X R 典型平稳过程的自相关函数曲线如图 1-7 所示。 图 1-7 平稳过程自相关函数性质的示意图 由图中可以看出，其具有以下性质： 是偶函数；( ) X R 时，；0 2 max (0)( ) XXX RR 时，； 2 ( ) XX R 的值在内变化。( ) X R 2222 , XXXX 例 1-9 已知平稳随机过程的，求， 4 ( )25cos216 X Ref 2 X 2 X 2 X 解： 2 ( )16 XX R 车辆随机振动理论与应用 20 2 (0)41 XX R 222 25 XXX 5、的性质( )X t 对于平稳过程，有以下性质：( )X t 的导数过程的均值为 0。( )X t( )X t （1-56）( )( )0 XX dd E X tt dxdx 的。( )X t 2 12 2 ( , )( ) X X d Rt tR d 原过程为平稳过程 （） 12 ( , )( ) XX Rt tR 12 tt 证明：根据公式（） ， 22 1212 1212 ( , )( , )( ) XX X Rt tRt tR t tt t 对求偏导数时，视不变，则。同理，对求偏导数时，。则 1 t 2 t 12 tt 2 t 21 tt 22 12 2 12 ( ) ( , )( ) () () X X X R Rt tR tt 即 （1-57） 2 2 ( )( ) X X d RR d 为平稳过程。( )X t 与之间的互相关函数存在以下关系( )X t ( )X t （1-58） 12 ( , )( ) X XX d Rt tR d （1-59） 12 ( , )( ) X XX d Rt tR d （1-60） 1212 ( , )( , ) XXXX Rt tRt t 证明： 1212 12 ( , )( , )( )( ) () XXX XX d Rt tRt tRR ttd 与是联合平稳的。( )X t ( )X t 即与各自的均值、自相关函数都与 t 无关，二者之间的互相关函数与 t 无关。( )X t ( )X t 车辆随机振动理论与应用 21 随机过程与联合平稳是指( ) i X t( ) j Xt （1-61） 1212 ( );( , )( );( , )( ) () iii ii i iXXX YX Y E X tCRt tRRt tRij 与在同一时刻是正交的、不相关的。( )X t ( )X t 两随机变量正交定义为0E XY 证明： 0 ( )( )(0)(0)( )0 XX XX dd E X t X tRRR dd （是偶函数，处切线斜率为 0。 ）( ) X R0 与在同一时刻是正交的。( )X t ( )X t 又因为相关矩 （） ，所以，故不相关。(0)(0)0 X XXXXX CR 0 X (0)0 XX C 导数过程的功率谱密度 随机过程的功率谱密度函数定义为自相关函数的付氏变换，即 （1-62）( )( )( ) j XXX SF RRed 为了与后面不同随机过程之间的谱密度函数相区别，它也称为自功率谱密度函数，或简称 为自谱密度（函数） 。图 1-8 为某随机过程的自功率谱密度函数曲线。 图 1-8 随机过程自功率谱密度函数的示意图 其导数过程的付氏变换与原过程的付氏变换有如下关系： （1-63） 2 ( )( ) X X SS 证明：对于付氏变换，有如下性质（微分定理）： ( ) () ( ) n n n d x t FjF x t dt 则 车辆随机振动理论与应用 22 2 22 2 ( ) ( )()( )( ) X XX X d R F RFjF RS d 即 2 ( )( ) X X SS 4 ( )( ) X X SS 例 1-10 随机过程，A 与 B 为相互独立，均值为 0，方差为( )cossinX tAtBtC 的高斯随机变量，求：，判断其平稳性， 2 ( ) X t 12 ( , ) X Rt t 12 ( , ) XX Rt t ， 12 ( , ) XX Rt t 12 ( , ) X Rt t 解： ( )( ) cos sin