两类易混淆的函数问题对称性与周期性.doc

快乐学习，尽在中小学教育两类易混淆的函数问题：对称性与周期性刘云汉例1. 已知函数y= f（x）（xR）满足f（5+x）= f（5x），问：y= f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例2. 已知函数y= f（x）（xR）满足f（5+x）= f（5x），问：y= f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？这两个问题的已知条件形似而质异。有的同学往往把它们混为一谈，从而得出错误的结论。为了准确地回答上述问题，必须掌握以下基本定理。定理1：如果函数y= f（x）（xR）满足f（5+x）= f（5x），那么y= f（x）的图像关于直线对称。证明：设点是y= f（x）的图像上任一点，点P关于直线x=a的对称点为Q，易知，点Q的坐标为。因为点在y= f（x）的图像上，所以于是所以点也在y= f（x）的图像上。由P点的任意性知，y= f（x）的图像关于直线x=a对称。定理2：如果函数y= f（x）（xR）满足f（a+x）= f（bx），那么y= f（x）的图像关于直线的对称。证明：（略）（证明同定理1）定理3：如果函数y= f（x）（xR）满足f（x+a）= f（xa），那么y= f（x）是以2a为周期的周期函数。证明：令，则代入已知条件得：根据周期函数的定义知，y= f（x）是以2a为周期的周期函数。定理4：如果函数y= f（x）（xR）满足，那么y= f（x）是以为周期的周期函数。证明：（略）（证法同定理3）由以上的定理可知，在已知条件或中，等式两端的两自变量部分相加得常数，如，说明的图像具有对称性，其对称轴为。等式两端的两自变量部分相减得常数，如，说明 f（x）是周期函数，其周期T=a+b。容易证明：定理1、2、3、4的逆命题也是成立的。牢牢掌握以上规律，则例1、例2迎刃而解。例1中，因此f（x）的图像关于直线x=5对称。由这个已知条件我们不能判定f（x）是周期函数。例2中，因此f（x）是周期函数，其周期T=10。由这个已知条件我们不能判定它是轴对称图形。例3. 若函数f（x）=x2+bx+c对于任意实数t均有f（3+t）= f（1t），那么（ ）A. f（2） f（1） f（4）B. f（1） f（2） f（4）C.f（2） f（4） f（1）D. f（4） f（2） f（1）解析：在f（3+t）= f（1t）中（3+t）+f（1t）=4所以抛物线f（x）=x2+bx+c的对称轴为x=2作示意图如图1，可见，应选A。图1例4. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x2）= f（x），给出下列四个结论：f（2）=0；f（x）是以4为周期的函数；f（x）的图像关于直线x=2对称；f（x+2）=f（ x）其中所有正确命题的序号是_。解析1：（1）因为y= f（x）（xR）是奇函数，所以f（x）= f（x）令x=0，得f（0）=f（0）所以f（0）=0又已知f（x2）= f（x）令x=2，得f（0）= f（2）所以f（2）= f（0）=0故成立。（2）因为f（x2）= f（x），所以由x（x4）=4（两自变量相减得常数）所以f（x）是以4为周期的周期函数。故成立。（3）由f（x+2）= f（x）得：（x+2）+（x）=2（两自变量相加得常数）所以f（x）的图像关于直线x=1对称。而不是关于直线x=2对称。故是错误的。（4）由（2）知，f（x）应满足f（x+2）= f（x2）而f（x2）=f（x）所以f（x+2）= f（x）= f（x）故成立。综上所述，应填。解析2：根据题设条件，构造出函数的图像如图2。图2由图可见，正确，而不正确。例5. 函数的图像关于直线x=2对称，则a=_。解析：因为函数的图像关于直线x=2对称所以有（定理1的逆定理）（与题设矛盾，舍去）或所以。例6. 设f（x）是R上的奇函数，又f（x）的图像关于直线x=a对称。问函数y= f（x）是不是周期函数？如果是，求出它的一个周期。解：因为f（x）的图像关于直线x=a对称由定理1的逆定理知：f（a+x）= f（ax）用ax代换上式中的x，得：f（2ax）= f（x）再用x代换x