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1,第三章 运算方法与运算器,计算机中的运算包括两大类： 算术运算 和 逻辑运算 算术运算带符号的定点数和浮点数的加，减， 乘，除法运算 逻辑运算不带符号，不考虑进位的逻辑数（整 数）位到位的运算 本章讨论重点：各种运算方法及其实现，最后讨论 计算机中的重要部件运算器,2,本 章 内 容,一、定点补码加/减法运算 二、定点乘法运算 三、定点除法运算 四、浮点数运算 五、逻辑运算及其实现 六、运算器组织,3,一、定点补码加/减法运算及其实现 (P38),在计算机中，进行定点加/减法运算基本上都是采用补码。 本节讨论计算机中最常用的补码加，减法运算，运算中的溢出问题及补码加，减法运算的实现,4,1.定点补码的加减法运算 基本公式： X + Y补 = X补+ Y补 X-Y补= X补 - Y补= X补+ -Y补 - Y补= Y补求补 “ Y补求补”表示求- Y的方法是：对Y补各位 （包括符合位）取反，然后末位加1 公式的证明见P38P39,5,2-1 0.1B0.5 2-2 0.01B0.25 2-3 0.001B0.125 2-4 0.0001B0.0625,定点补码的加减法运算举例（书P39）,6,加减法运算，其运算规则如下： （1）加减法运算操作的数都用补码表示。 （2）求差时将减数求补，用求和代替求差。 （3）数据的符号与数据一样参加运算，能够自然得到运算结果的正确符号。 （4）运算结果为补码。如果符号位为0，表明运算结果为正；如果符号位为1，则表明运算结果为负。 （5）符号位的进位为模值，自然丢掉，不会影响运算结果。,7,2. 定点加减法运算中的溢出问题（P41）,1) 溢出: 机器采用定点小数，数的表示范围为x1，如果出现运算结果超出数的表示范围的现象，就称为溢出。 在采用定点整数的情况下，由于机器字长一定，所以能表示的数据范围也是有限的，故存在溢出问题。 产生溢出就会丢失有效数字，计算结果将是错误的，因此，必须解决溢出的判断问题。判断若出现溢出，计算机应能作出相应的处理。,8,例1 x=0.1011，y=0.1101，求x+y补=？ x补=0.1011 y补=0.1101 x补 0.1011 y补 0.1101 x+y补= 1.1000 两个正数相加，运算结果是负数，显然结果是错误的-产生了溢出.,9,例2： X=一0.1011，y=一0.1100，求x+y补=？ x补=1.0101，y补=10100 x补 1.0101 y补 1.0100 x+y补 0.1001 两个负数相加结果成了正数，运算结果同样是错误的-产生了溢出,归纳: 产生溢出的情况： 正 + 正 得负 或 负 + 负 得正,10,2) 补码加法的几种情况及其溢出检测,溢出检测方法：,采用变形补码判断溢出,利用符号位的进位信号判断溢出,11,（双符号数溢出检测）,OF Sf1 Sf2,采用变形补码判断溢出,12,符号位进位Cn，最高位进位Cn1,利用符号位的进位信号判断溢出,(单符号数溢出检测),13,单符号数溢出检测,溢出信号OF对应的真值表,OF=CnCn1,实现：只需要增设一个半加器来产生溢出标志,14,加法运算的逻辑实现(P43),X补X0 X1Xn,Y补Y0 Y1.Yn,+,?0 ? 1.?n,多位加法运算依赖于各位逐位相加的运算， 所以我们先讨论一位全加器,15,一 位 全 加 器,全 加 器真值表,16,一位全加器逻辑表达式,注意：逻辑表达式可以变形，故电路形式不是唯一的。,P44:改错,17,18,一位全加器逻辑电路实现,一位全加器,一位全加器时间延迟时间 书 P44,19,串行进位加/减法器电路实现,1、N个全加器整合起来 2、M控制加减（M0：加法；M1：减法） 3、 串行进位加法器的运算速度取决于进位信号的传输速度，而不在于全加器电路方案的选择。,Cn-1,C1,C0,Cn-2,xn-1 yn-1 xn-2 yn-2 xn-3 yn-3 x1 y1 x0 y0,sn-1 sn-2 sn-3 s1 s0,C1,n-1,n-2,n-3,1,0,M,溢出,20,先行进位加法器,提前产生各位的进位输入 使得各位的加法运算能并行进行 提高多位加法器运算速度,end,21,二、定点乘法运算及其实现P(45),1、原码乘法运算方法 2、原码乘法运算方法的实现 3、补码乘法运算方法 4、补码乘法运算方法的实现,22,1. 原码一位乘法运算,设被乘数 x原=xf . x1x2xn 乘 数 y原=yf . y1y2yn 乘 积 P原=（xf yf）（0. x1x2xn）(0. y1y2yn) 符号处理 : 可由异或运算得到。 Pf= xf yf,原码乘法定义：符号位单独运算，将两个操作数的数码位相乘，最后给乘积冠以正确的符号(原码一位乘法：从乘数的最低位开始，每次取一位乘数与被乘数相乘,最后累加结果）,23,原码一位乘法操作过程类似十进制乘法的运算过程,例：x=0.1101 y=0.1011 手算： 0.1101 0.1011 .1101 .1101 位积，每次左移一位。 .0000 + .1101 0.10001111,在计算机中实现存在两个问题： 乘积的尾数为2n位，加法器需2n位长。,因此, 机器做乘法时，需改进。,4个部分积一次相加，实现困难，且n个部分积还需要n个存储单元存放.,24,0.1101 0.1011 1101 0110 1 + 1101 10011 1 1001 11 + 0000 1001 11 0100 111 + 1101 10001 111 1000 1111,手算算法的改进： 每获得一次部分积，立即与上一次的部分积相加，然后将结果右移一位，n次的“相加右移”操作结束，乘法运算操作结束,xy = 0. 1 0 0 0 1 1 11,x=0.1101 y=0.1011,例：手工计算;12511,25,例:x= 0.1101 y=0.1011，求xy？,部分积 乘数判断位 说明 0.0000 yf.1011 P0=0 0.1101 yn=1，X 0.1101 0.0110 1 yf.1011 右移一位得P1 0.1101 yn=1，X 1.0011 1 0.1001 11 yf.1011 右移一位，得P2 0.0000 yn=0，0 0.1001 11 0.0100 111 yf.1011 右移一位，得P3 +0.1101 yn=1，X 1.0001 111 0.1000 1111 右移一位，得P4,由于 Pf= xf yf= 00 = 0 所以 x y 0. 1 0 0 0 1 1 1 1,n为4，所以进行4次 “相加右移”操作,部分积初值为“0”,注意：部分积右移时左边补的一位应与原符号位相同,26,原码乘法 算法流程图,利用相加、移位实现了乘法运算,27,2. 原码乘法运算的实现(逻辑结构),加法器,R0, R1 均为n1位，因为符号位参加了运算,28,3. 补码一位乘法,补码乘法定义：采用操作数的补码进行乘法运算，最后乘积仍然是补码，且能够自然得到乘积的正确符号。,补码一位乘法：从乘数的最低位开始，每次取一位乘数与被乘数相乘，经过（n1）次“相加右移”，完成乘法运算的过程,补码乘法的运算规则：比较法（Booth法） 具体如下,29,比较法（Booth法）的来由：,基于补码乘法公式： x补.y补. x.y补 x补 . y,30,P(50)补码一位乘法运算规则(比较法),1）符号位参与运算，运算数均以补码表示 2）部分积的初值为0 3）乘数末位增设附加位yn+1,其值设为0 4）从乘数附加位yn+1 开始，每次取两位yn yn+1 作为为判断位,按如下规定完成“相加右移” 操作:,31,. yn yn+1 为判断位, 根据判断结果进行如下操作: yn yn+1 yn+1 yn 操作 0 0 0 + 0, 部分积右移1位 0 1 1 + x补 ,部分积右移1位 1 0 1 + x补 ,部分积右移1位 1 1 0 + 0 , 部分积右移1位,补码一位乘法运算规则(续）,5）以上操作需要进行n1次，最后一次不移位，即 可得到乘积的补码,32,3、实例和运算规则,例：x = - 0.1101, y = - 0.1011, 求x.y？,被乘数： X补 = 1.0 0 1 1 - X补 = 0.1 1 0 1 乘数： y补 = 1. 0 1 0 1,33,设寄存器初值： 初始部分积： P0= 0.0000 被乘数：X补 = 1.0011 乘数：C = y补=1.0101 -X补 = 0.1101,步数 条件 P C Cn Cn+1,注意：部分积右移时左边补的一位应与原符号位相同,34,运算结果： x.y补 0. 1 0 0 0 1 1 1 1 x .y 0. 1 0 0 0 1 1 1 1 143,35,4、补码一位乘法逻辑结构,end,36,三、定点除法运算及其实现,1、原码除法运算方法 2、补码除法运算方法(自学),37,1. 原 码 除 法 运 算,1. 恢 复 余 数 法 2. 加 减 交 替 法,符号位单独运算，两个操作数的绝对值相除，最后给商和余数冠以正确的符号,38,设:被除数x的原码 x原=xf.x1x2xn 除 数 y的原码 y原=yf.y1y2yn 商q = x/y的原码 q原 = (xfyf) (x1x2xn / y1y2yn) 商的符号 qf= xfyf 单独处理,39,商的数值部分：若x1x2xny1y2yn 要求：1）不能产生溢出 如果商1-产生溢出.（定点除法商的小数点前面一位不能为”1“） 故在执行除法前，先要判溢出。不溢出才能进行除法运算操作。 2） 另外除数不能为0！ 例 x=0.1001 y=0.1011 求xy=?,40,1.手算 0.1101 0.1011 0.10010 R0 商0, 被除数小于除数， - 0.01011 2-1y 商1, 除数右移1位,减除数 0.001110 R1 得余数R1 - 0.001011 2 -2y 商1 除数右移1位,减除数 0.0000110 R2 得余数R2 0.0001011 2 -3y 商0 除数右移1位,不减除数 0.00001100 R3 得余数R3(= R2 ) - 0.00001011 2 -4y 商1 除数右移1位,减除数 0.00000001 R4 得余数R4 除数右移四次,共求得四位商,至此除法完毕。 得的 商 为 q=0.1101 余数为R=0.00000001 够减商上1，不够减商上0,x=0.1001 y=0.1011 求xy=?,除 法 运 算上商的过程也就是余数和除数相减 进行大小比较的过程),41,机器 做 除 法 运 算 时，:,手算: 62.526 25 = ?,变减法为加法,考虑如何减少加法器位数 变右移为左移,改进:,42,1. 恢 复 余 数 法,每次操作先做一次减法,由被除数减除数, 由余数的符号判产生溢出否来决定后面的操作。(符号为正,溢出,为负:未溢出,加回除数以恢复被除数,往下进行除法操作) 余数为负，不够减，商“0”，加除数，即将被减余数恢复还原 余数为正， 够减, 商”1“，余数左移一位补0，得到新余数,运算规则：,43,余数恢复还原以后再左移一位补0 ，得到新的余数（故称 恢 复 余 数 法）。 机器中减法采用补码运算，减法变为加法 例 : x=0.1001 y = 0.1011 求x y = ? x补=0.1001 y补= 0.1011 -y补= 1.0101,44,0. 1 0 0 1 商 +-y补 1. 0 1 0 1 x-y 1. 1 1 1 0 R00 0 1 0. 1 1 1 0 R1 +-y补 1 . 0 1 0 1 0. 0 0 11 R20 0 1 1 0. 0 1 1 0 R2 +-y补 1. 0 1 0 1 1. 1 0 1 1 R30 0 1 1 0 1,注：如果R40时，要恢复余数，即需要再加一次y补,q=0.1101 R=0.0001 2-4,例： x=0.1001 y=0.1011 求x / y = ?,“ 2-4”是因为运算过程中左移了4次,所以需要还原,x补=0.1001 y补= 0.1011 -y补= 1.0101,45,恢 复 余 数 法 缺点： 商“0”时需要恢复余数，影响了除法运算速度 不同的操作数，恢复的次数不同，操作步数不定。 符号位需要单独运算,46,2. 加减交替法（不恢 复 余 数 法 ）,运算规则: 1）余数为正,商1,余数左移一位,减 除数； 2）余数为负 ,商0,余数左移一位,加 除数； 3）重复1）2),包括符号位共做n+1步。 4）如果最后一次操作所得余数为负 值,要加一次+y补 ,以纠正余数,47,得到被恢复的余数Ri1 ，然后进入下一轮的操作是： Ri1左移一位，再减去y，可得到第i+1次的操作结果：,Ri1 2（2 Ri y） y =4 Ri y,2（2 Ri） y 4 Ri y,Ri1 (2 Riy)y2 Ri,Ri1 (2 Riy )；,改进：当 Ri1 0时，商0以后，不恢复余数，直接进入下一轮的操作：将Ri1左移一位后，是加上y而不是减去y 。即第i+1次的操作结果为：,“加减交替法”的产生讨论：恢复余数算法第i+1次的操作过程为：,即将余数Ri左移一位后减去除数y 得到新的余数Ri1 ，当 Ri1 0时，商“0”以后，要恢复余数，就要进行“+y”的操作,于是有：,48,分析结果说明，恢复余数的操作并不是必须的，而是可以将恢复余数改进为：,运算规则:1）余数为正,商1,余数左移一位,减除数； 即当 Ri1 0时，商1，下次作2 Ri1 - Y 2）余数为负 , 商0,(直接进入下次操作)：余数左移一位,加除数； 即当 Ri1 0时，商0，下次作2 Ri1 Y,“加减交替法”由此得名,NO!,49,0. 1 0 0 1 商 +-y补 1. 0 1 0 1 x-y 1. 1 1 1 0 R00 01 0. 1 1 1 0 R1 +-y补 1. 0 1 0 1 0. 0 0 11 R20 01 1 0. 0 1 1 0 R2 +-y补 1. 0 1 0 1 1. 1 0 1 1 R30 01 1 0 1 qf= xfyf =0 0=0,q=0.1101 R =0.0001 2-4,“加减交替法” 例: x=0.1001 y=0.1011 求x / y = ?,50,注：如果最后一次操作所得余数为负值,要加一次+y补 ,以纠正余数 例: 见书P58例2,51,补 码 除 法 运 算 P书6061(自学),end,52,四、浮点数的加减法运算,浮点数的加减法运算操作数采用补码，减 法转换为加法运算,设有两个浮点数和,它们分别为 2m M 2n M 其中m和n分别为数和的阶码,M和M为数和的尾数。,53,当两数阶码 mn时，只需要对M和M按定点数加减法运算即可， 2m 不变。 即 x+y = 2m (Mx+My),(浮点数的加减法运算),54,五个基本步骤 对阶 尾数求和 规格化（左规，右规） 舍入（截去、0舍1入） 检查溢出,当两数阶码 m n 时，浮点数的加减法运算则需按以下步骤进行,55,(1)对阶：使两数阶码相等(小数点位置 对齐，尾数对应权值相同)。,(3)对阶操作：小阶阶码增大，尾数右移。 尾数右移1位,阶码加1.,(2)对阶规则： 小阶向大阶对齐。,(4)阶码比较：比较线路或减法。 （浮点运算部件中设置了专门的阶码加法器来 实现阶码加减法运算）,1. 对 阶,56,2.尾数运算- 与定点加、减法相同,3.结果规格化 正数 00.1 负数 11.0,当尾数的两位符号位相异时,则需要进行规格化处理: 1）尾数符号位为01或10时，需要右规,尾数右移1位 阶码加1一次: 经规格化的尾数为 00.1XXX 或 11.0XXX 2）尾数符号位为11.1或00.0时，需要左规,尾数左 移1位,阶码减1一次: 经规格化的尾数为11.0XXX 或 00.1XXX,尾数符号位扩展为两位,57,4.舍入 只有在右移时(对阶,右规),才会遇到舍入问题。常用的方法为 “0舍1入” 或“末位恒置1”法 例如 00. 0101 （尾数保留4位） 右移1位 00. 0010 1 对1的处理方法： 1） 0舍1入 00.0011 2）末位恒置1 00.0011,58,5.溢出判断 结果的阶码是否超出了它所能表示的范围.,1）尾数符号位为01或10，不表示溢出，需要规格化， 2）在浮点数中，阶码的位数决定数的表示范围。当阶码的符号位出现溢出时表示运算结果溢出。 阶码符号位为01或10，表示溢出 尾数符号为正：正溢出 尾数符号为负：负溢出,59,例1: x=20100.110101,y=2100(- 0.101010), 求x+y补 (0舍1入) 解: x补=00010,00.110101 y补= 00100,11.010110 Ey补 =11100 1.对阶 求阶差 ExEy 00010 + 11100 11110 - 010 - 2 Ex向Ey看齐,即将x尾数右移2次,使得Ex=Ey. (0舍1入) : x补= 20110.0110101= 20110.011011 = 21000.0011011= 21000.001110,60,2.尾数相加 00.001110 + 11.010110 11.100100 3.规格化 因出现 11.1,所以应左 规.(尾数左移1位,阶码减1) x+y补 = 210011.100100 = 201111.001000,x补= 00100, 00.001110 y补= 00100, 11.010110,61,例2: x=2100.1101, y=2010.1011, 求x+y补 (0舍1入) 解:x补=0010,00.1101 y补= 0001,00.1011 1.对阶 求阶差 ExEy 0001 + 1111 0001 - 1 Ey向Ex看齐,即将y右移1次,使得Ex=Ey. y补= 2100.01011= 2100.0110 2.尾数相加 00.1101 + 00.0110 01.0011 3.规格化 因出现 01.1,所以应右规.(尾数右移1位,阶码加1) x+y补 = 21001.0011= 21100.10011 4.舍入 = 21100.1010 5.无溢出,62,例3 设x=2-1010.110100, y=2-100(-0.101111) 求x-y补=? 采用0舍1入法。 解 1)求阶差(是用补码进行运算） + 阶差为，x的阶码比y的阶码小 2)对阶-x的阶码向y的阶码看齐,阶码加1,尾数右移1位。 x=2111000.011010 3)尾数运算 4)规格化 尾数右移1位,阶码加1 x-y补=21110001.001001 =21110100.1001001 采用0舍1入后 =21110100.100101, x-y补 =2111010.100101,63,五. 逻辑运算及其实现,64,六、 运算器的分析和组成 运算器是数据的加工处理部件 是CPU的重要组成部分 其核心是加法器,65,1、运算器的功能,1. 对数据进行算术运算和逻辑运算 2. 暂时存放参加运算的数据及运算的中间结果 3. 选取相应部件中的数据参与运算 4. 反映运算处理的状态,66,一位全加器逻辑电路实现,一位全加器,67,串行进位加/减法器电路实现,加法器的运算速度取决于进位信号的传输速度，而不在于全 加器电路方案的选择。,(一位全加器时间延迟时间 书 P44),68,如何提高