二面角复习课(一).ppt

,二面角,二面角,复习课（一）,德清三中 周笔崇,巴黎卢浮宫,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。,一、二面角的定义,二、二面角大小的范围：,0180,三、二面角大小用什么来度量：,二面角的平面角,（4）二面角的记法,“面1棱面2”,如： 以直线a为棱，以、为半平面的二面角记作：,以直线AB为棱，平面CAB、平面DAB为半平面的二面角记作： 等等。,以直线l为棱，以平面ABCD、平面A1B1C1D1为半平面的二面角记作：,或“AlA1”，等等。,？,“a”,？,“面ABCDl面A1B1C1D1”,？,“CABD”,(3)常见二面角的画法,1、二面角的平面角的定义,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,PA l ，PB l,A,B,二面角的平面角,2、求法1：定义法,解：由正方体的面对角线的长都相等可知，A1BDC1BD，且为正三角形,取BD的中点O，连结A1O、C1O、A1C1，则A1OBD，C1OBD，, A1OC1就是二面角A1BDC1的平面角。, A1C1 ，A1OC1O , 二面角A1BDC1的大小为 。,在A1OC1中，由余弦定理得，,在棱长均为1的正四面体P-ABC中，求二面角P-BC-A的余弦。,在正方体AC1中，求二面角D1ACD的大小？,变式：如图，正四棱锥S-ABCD中，相邻两个侧面所成的二面角为120O，若底面边长AB=2，则侧棱长应为多少？,1、二面角的平面角的定义,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,PA l ，PB l,A,B,二、二面角的平面角,2、求法2：垂面法,探究 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 试找出平面D1AC与平面DAC的平面角，并求它的大小。,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,O,解：,因为在正方体中,易证得AC 面B1D,又面D1AC交面B1D于直线D1O,面DAC 交面B1D于直线DO,则D1OD为二面角D1-AC-D的平面角,设此正方体的棱长为1,在Rt D1OD中,DD=1,DO=,则tan D1OD=, D1OD=,所求二面角的大小是,1、二面角的平面角的定义,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,PA l ，PB l,A,B,二面角的平面角,2、求法3：垂线法,在正方体AC1中，求二面角D1ACD的大小？,在正方体AC1中，E，F分别是AB，AD的中点，求二面角C1EFC的大小？,E,F,已知正三角形ABC，PA面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。,P,A,B,C,解析：,则BDE(或补角)就是此二面角的平面角。,二面角的求法,PA面ABC，,面PAC面ABC，,BE面PAC，,ABC为正， BE=,在RtPAC中，E为AC中点， 则DE=,tg BDE=, BDE=arctg,已知正三角形ABC，PA面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。,P,A,B,C,三垂线定理法：,则ADO就是此二面角的平面角。,F,二面角的求法,E,F,D,E,E,变式,如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，,PA平面ABCD，2PA=AB，求平面PAB与,平面PCD所成的二面角（锐角）的大小。,l,1、定义法 根据定义作二面角 的平面角，在这个角所在的 三角形内，利用余弦定理计算,2、三垂线定理法 借助三垂线定理作二面角的平面角，在这个角所在的直角三角形内计算角的大小,3、射影面积法,二面角的常用方法,变式： 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动, 当AE等于何值时二面角D1-EC-D,的大小为 .,课堂练习：,1、已知正方形ABCD中，E为AB中点，沿DE、EC把正方形折成 四面体，此时A、B重合为点P，求面PCD与面ECD所成的二 面角的大小。,变式：ABC的BC边上的高线为AD，BD=a，CD=b，将ABC沿AD折成大小为 的二面角B-AD-C。若cos =ab 则三棱锥A-BCD的侧面ABC是（ ）,（A）锐角三角形 （B ）钝角三角形,（C）直角三角形 （D）形状与a、b的值有关的三角形,小 结,二面角的平面角的求解： 平面角的求法 定义法 棱的垂面法 三垂线定理法 求解步骤：作、证、算,求平面SCD与平面SBA所成二面角的正切值.,变式,如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，,PA平面ABCD，2PA=AB，求平面PAB与,平面PCD所成的二面角（锐角）的大小。,l,解,P是面PAB与PCD的一个公共点，,由公理2知这两个平面有且仅有过点P的一条,公共直线，记面PAB面PCD=l。,CDBA， CD平面