[信息与通信]数字逻辑基础.ppt

数字电子技术,数字化已成为当今电子技术的发展潮流。数字电路是数字电子技术的核心，是计算机和数字通信的硬件基础。 数字电子建立在模拟电子之上，没有模电就没有数电。 相对来说，数电比模电好学。,21世纪是信息数字化的时代，数字电子技术的是电类各专业的主要技术基础课程之一。,数字电子技术的应用非常广泛。,电视技术,雷达技术,通信技术,计算机、自动控制,航空航天,数字电子技术,数字逻辑基础,逻辑门电路,组合逻辑电路,触发器电路,时序逻辑电路,脉冲信号的产生与转换,数/模（D/A）和模/数（A/D）转换,绪论,1.1 数字信号及数字电路的基本概念 1.2 数制和码制,主要要求：,了解数字电路的特点和分类。,掌握各种进制及它们之间的相互转换。,掌握码制。,模拟电路是传递、处理模拟信号的电子电路,数字电路是传递、处理数字信号的电子电路,数字电路中典型信号波形,一、 数字信号,1.1.1 数字信号,双极型数字集成电路,单极型数字集成电路,以双极型晶体管作为基本器件,以单极型晶体管作为基本器件,例如 CMOS,例如 TTL,二、数字电路,根据集成密度不同分为,便于高度集成化,工作可靠性高、抗干扰能力强,数字信息便于保存,集成电路成本低、通用性强,保密性好,模拟信号：,在一定电压范围内 连续变化的信号。,数字信号：,由离散电平组成的信号。,小结,不同进制间的转换,十进制数,二进制数、八进制数和十六进制数,1.1.2 数制及其转换,数制是计数的方法,一、 十进制,(xxx)10 或 (xxx)D,例如(246.134)10 或(246.134)D,数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9,数码所处位置不同时，所代表的数值不同,(24.13)10,进位规律：逢十进一，借一当十,10i 称十进制的权 10 称为基数 0 9 十个数码称系数,数码与权的乘积，称为加权系数,十进制数可表示为各位加权系数之和，称为按权展开式,(246.134)10 = 2102+ 4101 +6100 +110-1 + 310-2 + 410-3,数制的概念,例如 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 11 + 1 = 100 10 1 = 1,二、 二进制 、八进制和十六进制,(xxx)2 或 (xxx)B,例如 (1001.01)2 或 (1001.01)B,数码：0、1,进位规律：逢二进一，借一当二,权：2i 基数：2 系数：0、1,按权展开式表示,(1001.01)2 = 123 + 022 + 021 + 120 + 02-1 + 12-2,将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。,= 8 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0.25,(1001.01)2 = (9.25)10,= 9.25,(1001.01)2 = 123 + 022 + 021 + 120 + 02-1 + 12-2,1. 二进制,2. 八进制 3. 十六进制,例如 (425.25)8 = 482 + 281 + 580 + 28-1 + 58-2 = 256 + 16 + 5 + 0.25 + 0.078125 = (277.328 125)10,例如(3C1.C4)16 = 3162 + 12161 + 1160 + 1216-1 + 416-2 = 768 + 192 + 1 + 0.75 + 0.015625 = (961.765 625)10,二、不同数制间的关系与转换,十进制、二进制、八进制、十六进制对照表,三、不同数制间的转换,1. R进制转换成十进制,按权展开求和,(11010.011)2 = 124 + 123 + 022 + 121 + 020 + 02-1 + 12-2 + 02-3 =16+8+0+2+0+0.25+0.125=(26.375)10,(137.504)8 = 182 + 381 + 780 + 58-1 + 08-2 + 48-3 = 64 + 24 + 7 + 0.625+0 + 0.078125 = (95.6328 125)10,例3 将十六进制数 (12AF.B4)16 转换成十进制数,(12AF.B4)16 = 1163 +2162 + 10161 +15160 + 1116-1 + 416-2 =16+8+0+2+0+0.25+0.125= (26.375)10,2. 十进制转换为R进制,整数和小数分别转换,整数部分：除 R 取余法 将给定的十进制整数除以R，余数作为R进制数小数点前的最低位。 把前一步的商再除以R，余数作为次低位。 重复步骤，记下余数，直至商为0，最后的余数即为R进制的最高位。,小数部分：乘 R 取整法 将给定的十进制小数乘以R，整数作为R进制数小数点后的最高位。 把前一步的积再乘以R，余数作为次高位。 重复步骤，记下整数，直至最后积为0或达到一定的精度。,十进制,二进制,例4,（47）10,（？）2,47,2,1,23,2,11,1,2,5,1,2,2,1,2,1,0,2,0,1,最高位MSB,最低位LSB,（47）10,（101111）2,(26)10 = (11010) 2,一直除到商为 0 为止,读数顺序,(26)10 = (32) 8,(0.875)10 = (0.111)2,一直乘到积为 0 或达到一定的精度,1.500 1,整数 1.750 1,2,2,1.000 1,2,读数顺序,0.875,3. 基数R为2K的各进制之间的转换,每位八进制数用三位二进制数代替，再按原顺序排列。,从小数点开始，整数部分向左 (小数部分向右) 三位一组，最后不足三位的加 0 ，补足三位，再按顺序写出各组对应的八进制数 。,一位八进制数对应三位二进制数，因此二进制数三位为一组。,一位十六进制数对应四位二进制数，因此二进制数四位为一组。,每位十六进制数用四位二进制数代替，再按原顺序排列。,从小数点开始，整数部分向左(小数部分向右) 四位一组，最后不足四位的加 0 ，补足四位，再按顺序写出各组对应的十六进制数 。,(10100110.1110101)2 = (246.724)8,补0,（1） (10100110.1110101)2 = ( ? )8,10100110.1110101,0,00,补0,10,100,110,111,010,(10010100111.11001)2= (4A7.C8)16,（2） (10010100111.11001)2 = ( ? )16,10010100111.111001,0,0,0,补 0,100,1010,0111,1110,01,补 0,1,例9 将下列数 转换成二进制数,(537.361)8 = (101 011 111.011 110 001)2 =(101011111.011110001)2,(4B5D.97D)16 = (0100 1011 0101 1101.1001 0111 1101）2= (100101101011101.100101111101)2,小结：数制及其转换,十进制,（289）10,基数,十进制数码：,二进制,二进制 十进制：,（1011.01）2,二进制数码：,2,102,8,101,9,100,09,123,022,121,120,02-1,12-2,（11.25）10,0，1,各位位权值,各位数码,八进制,例10：,（1110010.0101）2,（？）8,1110010.0101,00,1,6,2,2,4,（1110010.0101）2,（162.24）8,八进制数码：,07,00,十六进制,例11：,(4A.CF)16,=,(?)2,4A.CF,0100,1010,1100,1111,十六进制数码：,015 （其中1015用AF表示）,(4A.CF)16,=,(1001010.11001111)2,码制 人们在传输信息时，不仅要规定信号的大小，有时还要规定信号的性质。不同的数码可以表示数量的大小，还能用来表示不同的事物。利用数码来作为某一特定信息的代号叫做代码。而且由于事先约定不同，同一个代码在不同场合可以表示不同的信号。例如“208”公交车，“25”中学，“060319”学号等等。显然，这些数码不再表示数量大小。 为了便于处理和传输，在编制代码时必须遵循一定的规则，这些规则就叫做码制。 在数字电路中，常用二进制数作为代码，这种二进制代码叫做二进制码。需要注意的是，二进制码不表示二进制数，它代表的含义完全由人们预先指定。,二十进制码（BCD码） 所谓二-十进制码，指的是用四位二进制数来表示十进制数中的十个数码，简称BCD码。 由于四位二进制数码有十六种不同的组合状态，用以表示十进制数中的十个数码时，只需选用其中十种组合，其余六种组合则不用(称为无效组合)。因此，BCD码的编码方式有很多种。,三、二十进制码（BCD码）,8421BCD码是最常用也是最简单的一种BCD代码， 其显著特点是它与十进制数符的4位等值二进制数完全相同，各位的权从左至右依次为23、22、21、20，即8、4、2、1，故称为8421BCD码。 5421BCD码各位的权从左至右依次为5、4、2、1， 其显著特点是最高位连续5个0后连续5个1。 当计数器采用这种编码时，最高位可产生对称方波输出。 余3BCD码的特点是它和8421BCD相比，如果对应同样的十进制数码，它比8421BCD码多0011（+0011），故称为余3BCD码。 上述BCD码中，8421BCD码、5421BCD码各位的权一定，称为有权码；余3码各位的权不定，称为无权码。,2 数字逻辑基础,主要要求：,掌握三种基本逻辑关系及其逻辑函数,0.3 逻辑代数基础,掌握逻辑代数中的基本公式和常用定律,逻辑函数,一般，人们称决定事物的因素为逻辑自变量，而称事物的结果为逻辑因变量，被概括的以某种形式表达的逻辑自变量和逻辑因变量的函数关系称为逻辑函数。,几个概念,逻辑代数是逻辑学家乔治布尔创立的，又称为布尔代数。 逻辑代数与普通代数相似之处在于它们都是用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。 不同的是，逻辑代数描述的是逻辑关系，逻辑函数表达式中的逻辑变量的取值和逻辑函数值都只有两个值，即0和1。这两个值仅表示两种相反的状态，如开关的闭合与断开；电位的高低；真与假等。因此，逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则。,0.3.1 三种基本逻辑运算 与逻辑 或逻辑 非逻辑,如图所示是一个与逻辑实际电路，图中有两个开关，只有当开关全部闭合时，灯才亮。,只有当决定某一事件（如灯亮）的条件（如开关闭合）全部具备时，这一事件才会发生。我们把这种因果关系称之为与逻辑关系。,一、 与逻辑,与逻辑,设A(B)=,1 闭合,0 断开,L=,1 灯亮,0 灯灭,真值表,输入,输出,A,B,L,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,1,L=A B,与运算表达式,与门逻辑符号,如图所示是一个或逻辑实际电路，图中有两个开关，只要开关有一个闭合，或者两个都闭合，灯就会亮。,只要在决定某一事件（如灯亮）的条件（如开关闭合）中，有一个或几个条件具备时，这一事件就会发生。我们把这种因果关系称之为或逻辑关系。,二、 或逻辑,或逻辑,或逻辑真值表,0,0,0,1,0,1,1,0,1,1,1,1,A,B,L,L=A+B,或逻辑运算表达式,或门逻辑符号,如图所示是一个非逻辑实际电路，当开关闭合时，灯灭，反之，当开关断开时，灯亮。,事件（如灯亮）发生的条件（如开关闭合）具备时，事件（如灯亮）不会发生，反之，事件发生的条件不具备时，事件发生。这种因果关系称之为非逻辑关系。,三、 非逻辑,非逻辑,真值表,输入,输出,A,L,1,0,0,1,非逻辑表达式,非门逻辑符号,有 0 出0；全 1 出 1,有 1 出1；全 0 出 0,进 1 出0；进 0 出 1,与逻辑真值表及逻辑规律,或逻辑真值表及逻辑规律,非逻辑真值表及逻辑规律,与、或、非逻辑小结,人们在研究实际问题时发现，事物的各个因素之间的逻辑关系往往要比单一的与、或、非复杂得多。不过它们都可以用与、或、非的组合来实现。含有两种或两种以上逻辑运算的逻辑函数称为复合逻辑函数。 逻辑运算的优先级从低到高依次为：小括号、非、或、与。,逻辑图：逻辑图是逻辑函数的表示形式之一。若已知逻辑函数的逻辑表达式，把逻辑表达式中的各逻辑运算用相应门电路的逻辑符号代替，就可画出和逻辑表达式相对应的逻辑图。,1.2.3 复合逻辑,常用复合逻辑运算,若相异出1 若相同出0,若相同出 1 若相异出 0,注意：异或和同或互为反函数，即,常用复合逻辑运算的逻辑符号,复合逻辑函数小结,名称,与非门,或非门,与或非门,异或门,同或门,逻辑符号,逻辑 表达式,Y,0.3.2 逻辑代数基本公式和定律,推广公式：,摩根定律,(又称反演律),0.3.3 逻辑代数基本规则, 代入规则：,在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边出现的所有同一变量都以一个相同的逻辑函数代入，则等式仍然成立。,例：,BC,BC, 对偶规则,“对偶式” 对于一个逻辑表达式Z,将Z中：“” “”,“” “”,“1” “0”,“0” “1”,得到一个新的逻辑表达式Z，,则Z与Z互为“对偶式”。,“对偶规则”：,当某等式成立时，其等式两边的对偶式也成立。,例：,则：, 反演规则：,对于一个逻辑表达式Z，,将Z中：,“” “”,“” “”,“1” “0”,“0” “1”,“原变量” “反变量”,“反变量” “原变量”,得到一个新的逻辑表达式,例：,则：,0.3.4 其他常用公式,1、 两个乘积项相加时，若一项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的。 证明：左式=A+ B=（A+ ）（A+B）=1（A+B）=A+B=右式 所以等式成立。 2、 两个乘积项相加时，若两项中除去一个变量相反外，其余变量都相同，则可用相同的变量代替这两项. 证明：左式= A A1=A=右式 所以等式成立。 3、 若两个乘积项中分别包含了A、两个因子，而这两项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项是多余的，可以去掉。该等式又叫冗余项定理。 证明：:左=AB+ C+BC=AB+ C+BC（A+ ）=AB+ C+ABC+ BC =AB（1+C）+ C（1+B）=AB+ C=右式 所以等式成立。 推论：AB+ C+BCDE = AB+ C,主要要求：,0.4 逻辑函数的化简,理解最简与 - 或式的标准。,了解逻辑函数的公式化简法。,逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间可以相互变换。,逻辑函数式的几种常见形式,【例如】,与或表达式,或与表达式,与非 - 与非表达式,或非 - 或非表达式,与或非表达式,逻辑函数相等,设有两个逻辑函数，Y1= f（A、B、C、），Y2=g（A、B、C、），它们的变量都是A、B、C、，如果对应于A、B、C、的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和Y2是相等的，记为Y1=Y2。,显然，若两个逻辑函数相等，那么它们的真值表一定相同；若两个函数的真值表完全相同，那么这两个函数一定相等。这个概念为逻辑函数的化简提供了基础。,最简与或表达式的标准:,逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。,乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少,最简与或表达式,用与门个数最少 与门的输入端数最少,运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。,并项法,运用 ， 将两项合并为一项，并消去一个变量。,1.3.1 公式化简法,利用A+AB =A ，消去多余项。,利用 ，消去多余项。,利用 ，为某一项配上所缺的变量，以便用其他方法进行化简 。,利用 A+A=A，为某项配上其所能合并的项 。,消去冗余项法,利用 ，将冗余项BC消去。,利用公式,，将两项合并成一项，例如：,(2) 吸收法,利用公式,A+AB=A,和,将多余项吸收，例如，,（1）并项法,BC=A,公式化简法小结,利用公式,，消去多余因子，例如，,（4）配项法,利用公式,使一项变两项，然后在与其他项合并化简，例如，,实际化简时，一般应综合上述几种方法，灵活应用进行化简。,（3）消去法,综合化简,实际化简时，往往需要综合运用上述几种方法进行化简，才能得到最简的结果。 例：用公式化简法将下列逻辑函数化简成最简与或表达式。 解： （反演律） （并项法） （反演律） （吸收法）,上一页,下一页,返回,0.5逻辑函数的图形化简法,一、最小项和最小项表达式,三变量函数的所有最小项真值表,变量,全部最小项,A B C,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,逻辑函数的最小项,如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，又叫最小项。,根据最小项的定义，一个变量A 可以组成2个最小项 : ；两个变量A、B 可组成4个最小项： ；三个变量A、B、C 可组成8个最小项: 一般地，n个变量可组成2n个最小项。,为了叙述和书写方便，通常用符号来表示最小项。其中下标i是这样确定的：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定的后，可以按顺序排列成一个二进制数，与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。如：,按照这个原则，三变量的8个最小项可分别表示为：,如果一个逻辑函数的某两个最小项只有一个变量不同，其余变量均相同，则称这样的两个最小项为相邻最小项。如：,两个相邻最小项可以合并成一项并消去一个变量如：,逻辑函数的最小项表达式,每个逻辑函数都可以化成最小项之和的形式，这种表达形式称为函数的最小项表达式。逻辑函数的真值表和最小项表达式都是唯一的，由真值表可以很容易地写出函数的最小项表达式。,Y 的真值表如表所示。逻辑函数的真值表和最小项表达式都是唯一的，且是一一对应的，所以由真值表也可以很容易地写出函数的最小项表达式。,写出逻辑函数 的最小项表达式。,用最小项编号来代表最小项，Y 的最小项表达式可以写为：,解:,二、卡诺图,将逻辑函数真值表中的最小项排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。,以格雷码排列以保证相邻性,二变量卡诺图,A,B,0,1,0,1,三变量卡诺图,A,BC,0,1,00,01,10,11,四变量卡诺图,AB,CD,00,01,11,10,00,01,11,10,特点：,变量取值次序：循环码,位置上反映：逻辑相邻性,卡诺图的特点是：任意两个相邻的最小项在图中几何位置和对称位置上都是相邻的，即卡诺图中最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的，最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的。,如何写出卡诺图方格对应的最小项？,已知最小项如何找相应小方格？,例如,原变量取 1，反变量取 0。,1,0,0,1,？,逻辑函数在卡诺图上的表示,1. 如果已知某逻辑函数的真值表或者最小项表达式，那么只要在卡诺图上将该逻辑函数对应的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0，即得到该函数的卡诺图。,用卡诺图表示下表所示的逻辑函数。,在卡诺图中对应于ABC 取值分别为000、011、100和111的方格内填入1，其余填入0，即得到如图所示的卡诺图。,m0,m3,m4,m6,用卡诺图表示逻辑函数： Y（A，B，C，D）=m（1，3，4，6，7，11，14，15）,在与最小项m1、m3、m4、m6、m7、m11、m14、m15相对应的方格内填入1，其余填入0，即得该函数的卡诺图,2. 如果已知逻辑函数的一般逻辑表达式，可先将该函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后找出函数的每一个乘积项所包含的最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子），再在与这些最小项对应的方格内填入1，其余填入0，即得到该函数的卡诺图。,用卡诺图表示逻辑函数：,其中,同理,三、卡诺图化简,例：画出函数,的卡诺图。,解:,Z为三变量函数，所以先画出三变量卡诺图的一般形式，然后在该图中对应于最小项编号为1，3，6，7的位置填入1，在其余位置填0或空着，即可得到函数Z的卡诺图，如下图所示。,A,BC,0,1,00,01,11,10,1,1,1,1,合并最小项规则,规则1：卡诺图中两个相邻的1方格可以合并成一个 与项，并消去一个变量。,B,C,B,C,(a),(b),(c),(d),两个相邻1方格的合并举例,规则2：卡诺图中4个相邻的1方格可以合并成一个与项，并消去两个变量。,（a）,(b),(c),(d),(e),(f),规则3：卡诺图中8个相邻的1方格可以合并成一个与项，并消去3个变量。,(a),(b),(c),A,1. 卡诺图上任何2个相邻最小项，可以合并为一项并消去1个变量。,2. 卡诺图上任何4个相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。,3. 卡诺图上任何2n个相邻最小项，可以合并为一项，并消去n个变量。,卡诺图化简规则小结,化简原则,（1） 所有的1方格必须被圈过。 （2）卡诺圈中包含的1方格应尽量多，但要保证圈中的1方格具有相邻性，且1方格的个数为2n 。 （3） 每个卡诺圈中必须包含至少一个未被其他卡诺圈圈过的1方格，否则这个圈是多余的。,化简步骤,（1）圈出孤立的1方格（即没有相邻的1方格）； （2）圈出只能按唯一路径合并的两相邻1方格，对于多 于一条路径可合并成一组的两相邻1方格，暂不管它； （3）圈出只能按唯一路径合并的4个相邻1方格，对于多于一条路径可合并成一组的4个相邻1方格，暂不管它； （4）对于8个相邻的1方格组，重复以上步骤； （5）将剩下的未被圈入的1方格按照卡诺圈的个数尽量少、 卡诺圈中的1方格尽量多且尽可能包含多的未被圈过的1方格的原则将它们圈起来。,例：用卡诺图化简下列逻辑函数。,A,B,C,D,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,用卡诺图化简逻辑函数 Y（A,B,C,D）=m（3,5,7,8,11,12,13,15 ）,（1）画出Y 的卡诺图，如右图所示。,（2）画卡诺圈合并最小项，得出最简与或