《向量组与矩阵的秩》PPT课件.ppt

1,第三章 向量组与矩阵的秩,1 n维向量,2 线性相关与线性无关,3 线性相关性的判别定理,4 向量组的秩与矩阵的秩,5 矩阵的初等变换,6 初等矩阵与求矩阵的逆,7 向量空间,2,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,从二维、三维向量谈起,或,或,单位向量：,模长为1的向量.,3,用小写的粗黑体字母来表示向量 。,1 n维向量,4,数a1,a2,an称为这个向量的分量。ai称为这个向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量。,n维行向量可以看成1n矩阵，n维列向量也常看成n1矩阵。,设k和l为两个任意的常数， 为任意的n维向量，其中,5,定义2 如果 和 对应的分量都相等，即 ai=bi，i=1,2,n 就称这两个向量相等，记为,定义3 向量 （a1+b1,a2+b2,an+bn） 称为 与 的和，记为 。称向量 （ka1,ka2,kan） 为 与k的数量乘积，简称数乘，记为 。,6,定义4 分量全为零的向量 （0，0，0） 称为零向量，记为0。 与-1的数乘 （-1） =（-a1,-a2,-an） 称为 的负向量，记为 。,向量的减法定义为,向量的加法与数乘具有下列性质 ：,7,满足（1）（8）的运算称为线性运算。,8,例1 设3(1-)+2(2+)=5(3+),其中1=(2,5,1,3), 2=(10,1,5,10), 3=(4,1,-1,1).求. 解： 31-3+22+2=53+5 6= 31 +22 -53 = 1/21 +1/32 5/63 =(1+10/3-20/6,5/2+1/3-5/6,1/2+5/3+5/6,3/2+10/3-5/6) =(1,2,3,4),9,矩阵与向量的关系：,2 线性相关与线性无关,10,当 是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的1s矩阵（k1,k2,ks）使,11,当 为列向量时，它们线性相关就是指有非零的s1矩阵 ，使,12,解 对任意的常数k1,k2,kn，令,所以,当且仅当k1=k2=kn=0,因此 线性无关。,13,k1= -4 , k2 =5, k3= 1,所以 a1 ,a2 ,a3 线性相关.,14,例3 设向量组 线性无关， ， ， ，试证向量组 也 线性无关。,证 对任意的常数，令,设有k1,k2,k3,使,由 线性无关，故有,由于满足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0,所以 线性无关。,15,一般地,判断一个向量组1,2,m线性相关的基本方法和步骤是: 1)假定存在一组数k1,k2,km ，使 k11+k22+kmm=0; 2)应用向量的线性运算和向量相等的定义,找出含未知量k1,k2,km的齐次线性方程组; 3)判断方程组有无非零解; 4)如有非零解,则1,2,m线性相关;如仅有零解,则1,2,m线性无关.,16,定义6 向量称为向量组 1, 2, t的一个线性组合，或者说可由向量组 1, 2, t线性表出(示),如果有常数k1,k2,kt,使=k1 1+k2 2+kt t. 此时，也记,例1 试问下列向量能否由其余向量线性表示,若能,写出线性表示式: 1)=(2,3,-1,-4),e1=(1,0,0,0), e2=(0,1,0,0), e3=(0,0,1,0), e4=(0,0,0,1). 2) =(1,1,1), 1=(0,1,-1), 2=(1,1,0), 3=(1,0,2);,17,解：令=k1 1 +k22+k3 3 于是得线性方程组 k2+k3=1 k1+k2=1 -k1+2k3=1 解方程组得k1=k3=1,k2=0 即=1+02+3,18,定理1 向量组 （s2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。,证 设 中有一个向量能由其他向量线性表出，,所以 线性相关。,如果 线性相关，就有不全为零的数k1,k2,ks，使,设k10,那么,即 能由 线性表出。,19,例如，向量组,是线性相关的，因为,1 一个向量线性相关=0;无关 0. 两个向量线性相关对应元素成比例;无关对应元素不成比例. 三个向量线性相关的几何意义是它们共面。,20,定理2 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 能由向量组 线性表出，且表示式是唯一的。,证 由于 线性相关，就有不全为零的数k1,k2, kt,k，使,由 线性无关有k0。,即 可由 线性表出。,21,因此表示式是唯一的。,22,定义7 如果向量组 中每个向量都可以由 线性表出，就称向量组 可由 线性表出，如果两个向量组互相可以 线性表出，就称它们等价。,每一个向量组都可以经它自身线性表出。 同时，如果向量组 可以经向量组 线性表出，向量组 可以经向量组 线性表出，那么向量组 可以经向量组 线性表出。,23,向量组 中每一个向量都可以经向量组 线性表出。因而，向量组 可以经向量组 线性表出。,如果,有,24,向量组的等价具有下述性质：,(1)反身性：向量组 与它自己等价；,(2)对称性:如果向量组 与 等价，那么 也与 等价。,(3)传递性:如果向量组 与 等价，而向量组 又与 等价,那么 与 等价。,25,1、基本概念,线性表示,小结,线性组合,组合系数,线性相关,线性无关,定理 向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；,定理 向量组线性相关齐次线性方程组有非零解.,2、基本结论,推论 个维向量线性相关 .,推论 个维向量线性无关 .,26,向量组线性相关至少有一个向量可由其余向量线性表示 ,定理,向量组线性无关任何向量都不能由其余向量线性表示 ,定理,定理 向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；,定理 向量组线性相关齐次线性方程组有非零解.,2、基本结论,推论 个维向量线性相关 .,推论 个维向量线性无关 .,27,思考题：判断对错,1. 若向量组 线性相关，那么其中每个向量可经其它向量线性表示。,2. 如果向量组 可经由向量 线性表示，且 线性相关，那么 也线性相关。,3. 如果向量 可经由向量组 线性表示，且表示是唯一的，那么 线性无关。,28,思考题解答,1. 错，2. 错，3. 对,湖南科技大学 吴晓勤,29,定理3 有一个部分组线性相关的向量组线性相关。,设这个部分组为 。则有不全为零的数k1,k2, ,kr，使,证 设向量组 有一个部分组线性相关。,因此 也线性相关。,推论 含有零向量的向量组必线性相关。,3 线性相关性的判别定理,30,证 对任意的常数k1,k2,ks，,31,上两式只是各分量的排列顺序不同，因此,当且仅当,所以 和 有相同的线性相关性。,32,证 对列向量来证明定理。,33,利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。,因此, 也线性相关,即(1)式成立。,如果 线性相关,就有一个非零的s1矩阵X,使,34,引理1 如果n阶方阵A的行列式等于零,那么A的行(列)向量组线性相关。,35,定理7 n+1个n维向量组 必线性相关。,推论 当mn时,m个n维向量组线性相关。,所以 线性无关 。,36,例1 讨论下列向量组的线性相关性: 1)(2,3),(-3,1),(0,-2); 2)(1,2,3),(2,2,1),(3,4,3); 3)(1,3,-2,2),(0,2,-1,3),(-2,0,1,5). 解：1)32,所以线性相关 2)三个行向量排成一列，构成方阵，其行列式为20， 所以线性无关。 3） 2(1,3,-2,2)-3(0,2,-1,3)+(-2,0,1,5)=0 所以线性相关。,37,复习,38,引理1 如果n阶方阵A的行列式等于零,那么A的行(列)向量组线性相关。,定理7 n+1个n维向量组 必线性相关。,推论 当mn时,m个n维向量组线性相关。,39,定理8 如果向量组 可由 线性表出且st，那么 线性相关。,推论1 如果向量组 ，可由向量组 线性表出，且 线性无关，那么 。,推论2 两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量。,40,定义8 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中向这部分组任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都线性相关。,例 7 在向量组中， 为它的一个极大线性无关组。,首先，由 与 的分量不成比例， 线性无关。,再添入 以后，由 可知所得部分组线性相关，不难验证 也为一个极大线性无关组。,4 向量组的秩与矩阵的秩,41,定义8 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且这向量组中任意向量都可由这部分组线性表出。,向量组的极大线性无关组具有的性质：,性质1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。,性质2 一向量组的任意两个极大线性无关组都等价。,性质3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的 向量。,42,定义9 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。,如果向量组 能由向量组 线 性表出，那么 的极大线性无关组可由 的极大线性无关组线性表出。因此 的秩不超过 的秩。,定理9 向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组。,推论 秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组。,43,例 求向量组,的秩，并求出它的一个最大无关组.,解 显然， 线性无关， 中,任意一个向量都可由 线性表示，由,定义8， 为向量组的一个最大无关组，,且所给向量组的秩为3.,44,下面讨论向量组的秩与矩阵的秩之间的关系：,设矩阵,其中 为矩阵 的行向量组，,称为矩阵 的列向量组.,45,定义10 矩阵的行秩是指它的行向量组的秩，矩阵的列秩是指它的列向量组的秩。,定义11 在一个mn矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交点上的k2个元素按原来的次序所组成的k k级矩阵的行列式，称为A的一个k级子式。,最低阶为 阶，,最高阶为 阶.,矩阵共有 个 阶子式.,46,如：矩阵,取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素，,二阶子式是,组成的,而在这个矩阵中,都是矩阵 的子矩阵.,47,48,定理10 矩阵的行秩等于列秩。,由此, A的列秩(A的行秩r1) A的行秩(A的列秩r2),即有 。因此,证 设矩阵A的行秩为r1,A的列秩为r2。,那么, A中有r1个行向量线性无关,由引理2,统称矩阵的行秩和列秩为矩阵的秩,矩阵A的秩一般记为R(A)。规定零矩阵的秩为0。,A中有一个r1级子式D不为零,那么A中子式D所在的r1个列向量也线性无关;因而,49,定理11 矩阵A的秩为r的充要条件是它有一个不为零的r阶子式而所有r+1阶子式全为零,这时,这个非零的r级子式所在的行和列就分别为A的行向量组和列向量组的极大线性无关组。,1.若A为mn矩阵,则A的秩不会大于矩阵的行数,也不会大于矩阵的列数,即r(A)minm,n; 2.r(AT)=r(A),r(kA)=r(A),k为非零常数; 3.若r(A)=r,则A中所有大于r阶的子式全为0,即r为A中不等于0的子式的最大阶数; 4.若A的所有r+1阶子式都为0,则r(A)r+1; 5.若A中存在一个r阶子式不为0,则r(A)r.,50,例10 已知以下矩阵A的秩为3，求a的值。,51,作 业,P72：11，15（1），19（2）,习题一 P 71： 2，4（3），5,6,52,矩阵的初等行变换都是可逆的,且其逆变换也是同类的初等行变换。,定义12 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换:,(1)对换矩阵两行的位置 对换第i行和第j行的位置记为r(i,j).,(2)矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数 第i行乘以k记为r(i(k),(3)把矩阵一行所有元素的k倍加到另一行对应的 元素上去第i行的k倍加到第j行上去记为r(j+i(k),5 矩阵的初等变换,53,定理12 如果矩阵A经过有限次初等行变换变为B,则A的行向量组与B的行向量组等价,而A的任意k个列向量与B中对应的k个列向量有相同的线性关系。,解 作,行摆列变换法或列摆行变换法。,54,所以 为一个极 大无关组，且秩等于3。,55,行阶梯形矩阵:若有零行,则零行全部在矩阵的下方;从第一行起,每行第一个非零元素前面零的个数逐行增加.对于这样的矩阵，可画出一条阶梯线,线的下方全为0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行数.它的秩就是非零行的个数.,56,因为行阶梯形矩阵B1有3个非零行，所以R(A)=3,57,如果继续施行行初等变换，还可以化为更简单的形式,行阶梯形矩阵B2的特点是，非零行的第一个非零元素为1，且1所在列的其他元素都为0，这样的矩阵为行最简形矩阵。,58,若再经列初等变换，还可以化为更简单的形式,称为A的等价标准型。,特点：,59,定义13 如果矩阵A经有限次初等变换化成B，就称矩阵A与B等价。,60,矩阵的等价关系具有下列性质：,(1)反身性：A与A等价。,(2)对称性：如果A与B等价，那么B与A等价。,(3)传递性：如果A与B等价， B与C等价， 那么A与C等价。,定理13 如果矩阵A与B等价，那么R(A)R(B) 。,定理14 每个矩阵都有等价标准形，矩阵A与B等价，当且仅当它们有相同的等价标准形。,推论 两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等。,61,定义 设A为n阶方阵,若AE,则称A为满秩矩阵;否则称为降秩矩阵.,所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简单的矩阵.,62,小结,、矩阵的初等变换（Elementary transformation）,初等行(列)变换,2、,就称矩阵,，记作,3、矩阵等价具有的性质,63,利用初等行变换可把矩阵 化为行阶梯形矩阵.,利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵.,4、,利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩阵,化为标准形矩阵.,5、矩阵的秩,最高阶非零子式的阶数,行阶梯形矩阵非零行的行数,行最简形矩阵非零行的行数,标准形矩阵中单位矩阵的阶数,64,定义14 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。,初等矩阵都是方阵，互换E的第i行与第j行（或者互换E的第i列与第j列）的位置，得,6 初等变换与求矩阵的逆,65,用常数k乘E的第i行（或i列），得,把E的第j行的k倍加到第i行（或第i列的k倍加到第j列）得,66,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,67,这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有,E(i,j)-1E(i,j) E(i(k)-1=E(i(1/k), E(i+j(k)-1=E(i+j(-k),定理15 对一个sn矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的ss初等矩阵；对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的nn初等矩阵。,推论1 矩阵A与B等价的充分必要条件是有初等方阵P1，P2，Ps，Q1，Qt使 AP1P2PsBQ1Qt,68,推论2 nn矩阵A可逆的充分必要条件它能表成一些初等矩阵的乘积。,推论3 两个sn矩阵A、B等价的充分必要条件为存在可逆的ss矩阵P与可逆的nn矩阵Q使 A=PBQ,推论4 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。,69,初等变换法求逆矩阵,方法是：,70,解 对(AE)作初等行变换,71,72,小结,1.初等行(列)变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型同,3.矩阵等价具有的性质,5. 利用初等变换求逆阵的步骤是:,73,用初等变换解矩阵方程：,思考题,求 ，使,即,初等行变换,74,定义15 设V为n维向量的集合，如果V非空且对于向量加法及数乘运算封闭，