《层次分析A》PPT课件.ppt

层次分析,The Analytic Hierarchy Process (AHP),在管理中，人们常常需要对一些情况作出决策：例如企业的决策者要决定购置哪种设备，上什么产品；经理要从若干求职者中决定录用哪些人员；地区、部门官员要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。 在日常生活中也常会遇到，在多种类不同特征的商品中选购。报考学校选择志愿。毕业时选择工作岗位等。,这一系列的问题，单纯靠构造一个数学模型来求解的方法往往行不通，而用完全主观的定夺也常常表现为举棋不定，而最终选择不理想，甚至不满意的决策方案。,面对这样的问题，运筹学者开始了对人们思维决策过 程进行分析、研究。美国运筹学家，T.L.Saaty等人在九十 年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法，称之为 层次分析法（AHP法）,层次分析法的特征： 定性与定量相结合，把人们的思维过程层次化，数量化。,例 某顾客选购电冰箱时，对市场上正在出售的6种不同类型电冰箱决定选购哪一种？,参考标准： 容量，制冷级别，价格，型式，耗电量，信誉，售后服务等。,重要度？,决定选购,综合，排序,选购电冰箱A,容量B1,制冷级别B2,价格B3,型式B4,耗电量B5,信誉B6,售后服务B7,C2,C3,C4,C5,C1,C1,目标层,准则层,方案层,（1） 分析系统中各个因素的关系，建立系统的递阶层次结构； （2） 对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断矩阵； （3）由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重； （4）计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。,层次分析法的基本步骤,一、层次分析的结构模型： 用AHP分析问题，首先要把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。这些层次大体上可分为3类： 1、最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层； 2、中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则，子准则，因此又称为准则层； 3、最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。 层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素。,决策目标,准则1,方案1,准则m1,准则2,子准则1,方案2,子准则2,方案mr,子准则m2,方案层,准则层,目标层,注： 层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。,为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9个，若多于9个时，可将该层次再划分为若干子层。,例 选择科研课题： 某研究单位现有3个科研课题，限于人力物力，只能承担其中一个课题，如何选择？ 考虑下列因素：成果的贡献大小，对人材培养的作用，课题可行性。 在成果贡献方面考察：应用价值及科学意义（理论价值，对某科技领域的推动作用）； 在课题可行性方面考虑：难易程度（难易程度与自身的科技力量的一致性），研究周期（预计需要花费的时间），财政支持（所需经费，设备及经费来源，有关单位支持情况等）。,目标层,方案层,准则层,例 设某港务局要改善一条河道的过河运输条件，为此需要确定是否要建立桥梁或隧道以代替现有轮渡。 此问题中过河方式的确定取决于过河方式的效益与代价（即成本）。通常我们用费效比（效益/代价）作为选择方案的标准。为此构造以下两个层次分析的结构模型。,准则层,过河的效益A,经济效益B1,社会效益B2,环境效益B3,桥梁D1,隧道D2,渡船D3,收入,c2,岸间商业,c3,节省时间,c1,当地商业,c4,建筑就业,c5,安全可靠,c6,交往沟通,c7,自豪感,c8,舒 适,c9,进出方便,c10,美 化,c11,方案层,目标层,目标层,准则层,方案层,二、构造判断矩阵： 上、下层之间关系被确定之后，需确定与上层某元素Z（目标A或某个准则Z）相联系的下层元素（x1，x2，xn)各在上层元素Z之中所占的比重。 方法：每次取2个元素，如xi，xj，以aij表示 xi 和 xj 对Z的影响之比。这里得到的A=(aij)nn称为两两比较的判断矩阵。,两两比较的判断矩阵A的特征： 1) aij0. 2) aji=1/aij . 3) aii=1.,称具有上述性质的矩阵A为正互反矩阵。,三、单一准则下元素相对排序权重计算及判断矩阵一致性检验 1、单一准则下元素排序：,定义 若正互反矩阵A满足 aijajk=aik i ，j ，k =1，2，n 则称A为一致性矩阵。,特征值法的基本思想： A为一致性矩阵时，其最大特征值对应的特征向量归一化后即为排序向量。,判断矩阵是各元素均为正数的矩阵，这种矩阵有下列重要性质。,定理 设n阶方阵A为正矩阵， max为A的最大模特征值，u =（u1，u2，un)T为max的相应特征向量。 ) max 0，ui 0，i =1，2，n。 ) max是单特征根；（因此 u 除差一常数因子外是唯一的） ) 对A的任何其它特征值，有max|。 若A为判断矩阵，那么A对应于max =n 归一化特征向量 u=(u1,u2，un)T 就是一组排序权向量。,定理 n阶正互反矩阵A=（aij)nn是一致性距阵的充分必要条件为 max=n,2.判断矩阵一致性检验,四、计算各层元素对目标层的总排序权重： 层次总排序过程：计算同一层次所有因素对于最高层（总目标）相对重要性的排序权值。 从最高层到底层逐层进行： 设已算出第k-1层上nk-1个元素相对于总目标的排序为 w(k-1)=(w1(k-1)，w2(k-1)，wn (k-1)T,k-1,第k层nk个元素对于第k-1层上第j个元素为准则的单排序向量 uj(k)=(u1j(k)，u2j(k)，un j(k)T j=1，2，nk-1 其中不受第j个元素支配的元素权重取零，于是可得到nknk-1阶矩阵 u11(k) u12(k) u1n (k) U(k)= u21(k) u22(k) u2 n (k) un 1(k) un 2(k) un n (k),k-1,k,k,k,k-1,k-1,第k层上各元素对总目标的总排序w(k)为： w(k)=(w1(k)，w2(k)，wn (k)T w(k)=U(k)w(k-1) 分量形式：wi(k)= uij(k)wj(k-1) i=1，2，n 于是可得到公式: w(k)=U(k)U(k-1) U(3)w(2) w(2)为第二层上元素对目标的排序（即是单层排序）.,k,层次分析法对于下面几种情况的优化问题特别适用： 问题中除可计量的量外，还存在不可计量的量时，可用AHP通过对不可计量的量与可计量的量的相对比较，而获得相对的量测； 当优化问题的结构难以事先确定，而在很大程度上取决于决策者的经验时； 各变量不独立，有内部相关性时； 目标与约束，约束与约束之间紧密联系时； 多目标问题；,在用AHP法解决优化问题时，常用的有两种方式： 当模型中涉及不可计量的量时，用AHP法的比例标度来确定目标函数，约束函数的权重（系数） 直接采用AHP模型 下面举一个解决优化问题的例子。,例：最佳食品搭配问题. 假设某人有3种食品可供选择：肉，面包，蔬菜它们所含营养成分及单价如下表： 食品 维生素A 维生素B2 热量 单价 （国际 （毫克/克） （千卡/克） （元/克） 单价/克） 肉 0.3527 0.0021 11.93 0.0275 x1 面包 0 0.0006 11.51 0.006 x2 蔬菜 25.0 0.002 1.04 0.007 x3,该人体重55公斤，每天对各种营养的最小需求为： 维生素A：7500 国际单位 维生素B2：1.6338 毫克 热量：8548.5 千卡 问题：应如何搭配使在保证营养的情况下支出最小食品？,建立如下线性规划模型： min Z=0.0275 x1+0.006 x2+0.007 x3 s.t. 0.3527 x1+25.0 x37500 0.0021 x1+0.0006 x2+0.002x31.6338 (1) 11.93 x1+11.51 x2+1.04 x38548.5 x1，x2，x30 利用单纯形法可得解 x*=(0, 687.44, 610.67)T z*=8.35,即，不吃肉，面包689.44克，蔬菜610.67克，每日 支出8.35元。显然这个最优方案是行不通的，它没有 考虑本人对食品的偏好。,可根据偏好加约束: x1140,在这里各营养成分被看成同样重要，起决定因素是支出。但实际上，营养价值与支出都需考虑，只是地位（权重）不同。这样无法建立目标函数。 下面用层次分析法来处理问题： 层次结构：,每日需求 R,支出 C,营养 N,维生素 A,维生素 B2,维生素 Q,肉 me,面包 br,蔬菜 ve,R N C w(2) N 1 3 0.75 C 1/3 1 0.25,N A B2 Q w1(3) A 1 1 2 0.4 B2 1 1 2 0.4 Q 1/2 1/2 1 0.2,0.4 0 w(3) = 0.4 0 0.25 0.2 0 0.25 =(0.3, 0.3, 0.15, 0.25)T 0 1 最底层（方案层）对准则层的单排列权重，只需对题目给的 数据归一化即可。 由于要支出最小价格, 价格倒数归一. 于是得到,A B2 Q C(价格) me 0.0139 0.4468 0.4872 0.1057 U(4) br 0.0000 0.1277 0.4702 0.4819 ve 0.9861 0.4255 0.042