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文档简介

应用数理学院应用数学学科部,(Advanced Mathematics),高等数学习题课,2,习题课(二),中值定理,导数应用,第二章 一元函数微分学及应用,3,一、复习,4,函数性态,(水平,铅直,斜渐近线),(拐点,凹凸性和判别法),驻点,极值存在的必要条件,极值存在的充分条件,5,(1) 罗尔中值定理,(2) 拉格朗日中值定理,1、 微分中值定理,返回,6,推论,(3) 柯西中值定理,有限增量公式,返回,7,(4) 泰勒中值定理,返回,8,带Peano型余项的泰勒公式,返回,9,常用函数的麦克劳林公式,返回,10,返回,11,2、洛必达法则,注,(1) 当上式右端极限存在时, 才能用此法则,(2) 在求极限过程中,可能要多次使用此法则,(3) 在使用过程中, 要进行适当的化简.,返回,12,3、导数的应用,定理,(1) 函数单调性的判定法,返回,13,(2) 函数的极值及其求法,定理(必要条件),极值存在的条件,返回,14,定理(第一充分条件),返回,15,定理(第二充分条件),返回,16,求极值的步骤:,返回,17,步骤:,a. 求驻点和不可导点;,b. 求区间端点及驻点和,注,(3) 最大值、最小值问题,就是最值,其中最大者就是最大值,则这个极值,(最大值或最小值).,最小者就是最小值.,如果区间内只有一个极值,不可导点的函数值,返回,18,定理1,(4) 曲线的凹凸性,返回,19,返回,20,返回,21,例1,解,二、典型例题,22,这就验证了命题的正确性.,23,证,由介值定理,24,注意到,由, 有,+ ,得,25,例3,证,26,例4,解,奇函数,27,28,列表如下:,极大值,拐点,29,极小值,30,三、练习题,B,(一）选择题：,则点,（A）是 的极大值点,（B）是 的极小值点,（C）是 的驻点,但不是极值点,（D）不是 的驻点,31,D,32,A,A. 必有；,B. 可能有;,C. 没有;,D. 无法确定,33,D,34,5.,是可导函数,在,点处有,(A)充分条件； (B)必要条件 (C)充要条件； (D)既非必要又非充分条件.,B,极值的( ),35,C,6. 若连续函数在闭区间上有极大值和极小值,(D) 极大值必大于极小值 .,(C) 极大值不一定是最大值,极小值也不一定,(A) 极大值必是最大值,且极小值必是最小值,(B) 极大值必是最大值,或极小值必是最小值,则（ ）,是最小值,36,D,A. 单调减少,曲线是凹的；,B. 单调减少,曲线是凸的；,C. 单调增加,曲线是凹的；,D. 单调增加,曲线是凸的；,37,（二）填空题,38,（三）计算题,39,40,41,42,填空题解答,返回,43,返回,44,1,计算题解答,返回,45,返回,46,返回,47,返回,48,返回,49,所围三角形面积为,返回,50,返回,51,返回,52,返回,53,返回,54,返回,55,求出驻点后，也可用极值存在的第二充
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