曲面积分与曲线积分.ppt

,102 对坐标的曲线积分,三、两类曲线积分之间的联系,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,二、对坐标的曲线积分的计算,第二类曲线积分的定义、,定义的推广,对坐标的曲线积分的性质,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,变力沿曲线所作的功：,设在xOy面内有一个质点，在变力F(x, y)P(x, y)iQ(x, y)j 的作用下从点 A 沿光滑曲线 L 移动到点 B，试求变力 F(x, y) 所作的功,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,变力沿曲线所作的功：,A,B,L,用点AA0，A1，A2， ，An1，AnB把L分成 n个小弧段，,F(xk , yk),P(xk , yk)costk Q(xk , yk)sintksk ,则,于是，变力F(x, y)所作的功,从而,这里tt(x, y)，cost, sint是曲线L在点(x, y)处的与曲线方向一致 的单位切向量,对坐标的曲线积分的定义：,设L为xOy面上一条光滑有向曲线，cost, sint是与曲线方向 一致的单位切向量，函数P(x, y)、Q(x, y)在L上有定义 如果下列 二式右端的积分存在，我们就定义,对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分,定义的推广：,设G为空间内一条光滑有向曲线，cosa, cosb, cosg是曲线在 点(x, y, z)处的与曲线方向一致的单位切向量，函数P(x, y, z)、 Q(x, y, z)、R(x, y, z)在G上有定义我们定义(假如各式右端的积分 存在),对坐标的曲线积分的简写形式：,对坐标的曲线积分的性质：,(1) 如果把L分成L1和L2，则,(2) 设L是有向曲线弧，L是与L方向相反的有向曲线弧，则,二、对坐标的曲线积分的计算,应注意的问题： 下限 a 对应于 L 的起点，上限 b 对应于L的终点，a不一定 小于b ,定理：设P(x, y)、Q(x, y)在光滑有向曲线L上连续，L的参数 方程为,当参数t单调在由a 变到b 时，点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终 点B，则,若空间曲线G由参数方程 xj(t)，y =y (t)，zw(t) 给出，曲线的起点对应于t=a ，终点对应于t=b ，那么曲线积分,讨论：,如何计算？,Pj(t), y(t), w(t)j(t) Qj(t), y(t), w(t)y(t)Rj(t), y(t), w(t) w(t)d t,提示：,B(1, 1)的一段弧,解 第一种方法：以x为积分变量L分为AO和OB两部分,因此,B(1, 1)的一段弧,解 第二种方法：以y为积分变量 L的方程为xy2，y从1变到1,因此,xy2,(1) L为半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周； (2) L为从点A(a, 0)沿x轴到点B(a, 0)的直线段,q 从0变到,解 (1)L 的参数方程为,xa cosq，ya sinq，,A(a, 0),B(a, 0),(2)L的方程为y0，x从a变到a,因此,因此,(3)有向折线OAB，顶点分别为O(0, 0)， A (1, 0)， B(1, 1),A (1, 0),B(1, 1),yx2,xy2,(1)抛物线yx2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧；,(2)抛物线xy2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧；,解 (1)L：yx2，x从0变到1所以,(2)L：xy2，y从0变到1所以,(3)有向折线OAB，顶点分别为O(0, 0)， A (1, 0)， B(1, 1),A (1, 0),B(1, 1),yx2,xy2,(1)抛物线yx2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧；,(2)抛物线xy2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧；,=0+1=1,解 (3)L=OA+AB，,点B(0, 0, 0)的直线段,x3t，y2t，xt，t从1变到0所以,例5 设一个质点在M(x, y)处受到力F的作用，F的大小与M 到 原点O的距离成正比，F的方向恒指向原点 此质点由点A(a, 0)沿,按逆时针方向移动到点B(0, b)，求力F所作的功,解 椭圆的参数方程为,由假设有Fk(x iy j)，其中k0是比例常数于是,A,B,F,三、两类曲线积分之间的联系,由定义，得