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实二次型的合同标准形与正交标准形,杨忠鹏 陈智雄 晏瑜敏 林志兴,2007年6月30日,莆田学院数学系,福建省高等代数与线性代数课程建设第八次研讨会,一、二次型的基本问题,（1）,（1）可被唯一表示为,（2）,基本问题：,（3）,其中 , 可逆,常用的实二次型化简,二、目前的教材处理情况,1. 北大教材1,将基本知识分散处理于三部分,距离远、联系差,2. 张禾瑞、郝鈵新：高等代数（第四版）2,福师大所编教材3的处理与2相似（只讲 第六章 二次型，第七章 欧氏空间），3另一个特点是二次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合1的较高的起点）.,3. 非数学专业教材,两种标准形是紧密出现的,4. 新出版的一些高等代数教材,姚慕生8,实对称矩阵的正交相似标准型是比一般合同标准型更强有力的工具.（见8,P246）,张贤科9,结构有较大变化，分三部分：, 选学内容,三、几点看法,1. 实二次型两种标准形的重要性,数学专业教材,新编教材,2. 要注重讨论的几何背景,合同标准形可给出二次曲面的仿射分类,9,8.8 二次曲面的仿射分类, 定理8.13,9, 9.5 二次曲面的正交分解, 定理9.12,3. 要加强对正交矩阵相关性质的教学,运算性质,与正交标准形相关的矩阵分解,应用:,i) 分解,设 , 如果 ,则有唯一的正交矩阵 和正上三角矩阵 使得 .,) 矩阵偶 (文献1 第九章 补充题10),设 都是实对称矩阵且 是正定的,证明存在实可逆 矩阵 , 使 与 同时为对角矩阵.,) 正定矩阵的正定平方根,设 是一个正定矩阵, 证明存在一个正定矩阵 ,使得 .,) 极分解（北师大高等代数第四版9.4习题）,设 为可逆矩阵, 证明存在正定矩阵 和正交 矩阵 , 使得 .,) 奇异值分解,设 为可逆矩阵, 证明存在正交矩阵 和 使 得,参考文献：,1 北京大学编, 高等代数（第三版）, 高等教育出版社, 2003年.,2 张禾瑞, 郝鈵新编, 高等代数(第四版), 高等教育出版社, 1999年.,3 陈昭木,陈清华,王华雄,林亚南编著, 高等代数(下), 福建教育出版社, 1992年.,4 居余马, 线性代数(第二版), 清华大学出版社, 2002年.,5 同济大学应用数学系编, 线性代数(第四版), 高等教育出版社, 2003年.,6 吴赣昌 主编, 线性代数(理工类), 中国人民大学出版社, 2006年.,7 邱维声, 高等代数(上册), 高等教育出版社, 北京, 2002年.,8 姚慕生, 高等代数(大学数学学习方法指导丛书), 复旦大学出
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