稳定性与鲁棒性lecture2——稳定性基础.ppt

稳定性与鲁棒性基础,Lecture2: 稳定性,稳定性的定义,当一个实际的系统处于一个平衡的状态时（就相当于小球在木块上放置的状态一样）如果受到外来作用的影响时（相当于对小球施加的力），系统经过一个过渡过程仍然能够回到原来的平衡状态，我们称这个系统就是稳定的，否则称系统不稳定。一个控制系统要想能够实现所要求的控制功能就必须是稳定的. 稳定性是系统运行的核心问题.,稳定性的萌芽思想,2000年前 ，汉朝的淮南王刘安 淮南子说山训 ：“下轻上重，其覆必易”； 宋朝沈括在 梦溪笔谈中把这种观察到的事实付诸于应用 ，他在忘怀录 中指出：“安车车轮不欲高，高则摇” ； 类似稳定，至少可以追溯1500年前到晋书上所述“行人安稳，布帆无恙” ； 西方“stable”源出于拉丁文“stabilis” ，表示坚持、保持的意思； 以上说法与观念表现了对稳定这一概念的最初理解。,稳定性科学概念的发展,18世纪下半叶到19世纪末 ，发生了一些具有深远影响的事件，从中人们可以看到稳定性理论产生的必然性。 J. Watt 1765改进了T. Newcomen 发明的蒸气机 ，引发了工业革命； J. L. Lagrange 1780年出版 分析力学，科学地讨论了平衡位置的稳定性； C. Hermite 1856年建立了关于多项式对根交错的理论； J. C. Maxwell 1868年发表的“论调节器” ，讨论了蒸气机自动调速器与时钟机构的运动稳定性；,A.L. Cauchy 在19世纪给出了关于极限描述的，N语言； H. Poincare在微分方程定义的积分曲线和天体力学方面作出了贡献； G. Peano，I. Bendixson和G. Darboux微分方程解对初值及参数连续依赖性的研究。 上述这些重要事件及相关科学的进展促成了19世纪末稳定性理论的两个主要学派的形成。,两个主要学派,Routh-Hurwitz （1875，1895）通过判断系统的特征根是否在左半平面判定系统是否稳定； A.M. Lyapunov 1892发表著名的博士论文运动稳定性一般问题，通过考察系统能量是否衰减来判定稳定性。,稳定性的研究方法,Lyapunov函数法 大概也是迄今为止唯一的纯粹非线性 线性化方法 包括一点线性化，逐点线性化(完全线性化)本质上依赖于系统解析解的方法(仅限于线性系统) 特征值法(极点法) 含时域、频域等 仅适用于定常系统 注意：时变系统(“缓变系统”除外)一般而言：即便是线性的，特征值也毫无意义的,数值仿真法(也属于近似方法) 近似方法(既非必要，也非充分，数学基础也不完善) 描述函数法(谐波线性化方法)，本质上的频域方法 相平面法(仅适用于平面系统(2阶),BIBO稳定性,假设系统H的描述方程 x(t)Rn是系统的内部状态，u和y分别是系统外部输入信号和输出信号，如图 任意输入u，系统H都有一个响应信号y与之对应：y=Hu 从数学意义上，H为输入函数空间U到输出函数空间Y的一个映射或算子,定义：对于算子H：LL，若存在两常数0和b0，使得 成立，则称算子H是BIBO稳定的. 注：1、BIBO稳定意味着任何一个有界输入的激励响应都是有界的; 2、不等式(1)并不局限于L空间，只要输入在某种范数意义下有界，输出就在同一范数意义下有界.,(1),考察线性系统(A,B,C)的BIBO稳定性 定理2.1 若In(A)=(0,n,0), 则系统 (A,B,C)是BIBO稳定性的 证明：系统(A,B,C)的输出响应表达式为 由于In(A)=(0,n,0), 响应表达式(2)中状态转移矩阵有界，即 对(2)取范数 令 则,(2),即，系统是BIBO稳定的,小增益定理,增益：描述在由输入到输出的信号传递过程中，系统对信号的强度放大或缩小的一种度量。 控制系统的增益一般用算子范数定义 例：用增益讨论BIBO稳定，系统 系统输出 若存在 ，使得,则系统BIBO稳定。,小增益定理：对于系统H1, H2，如果存在 以及 ，使得 对任意 成立，且 ，则对任意的,小增益定理等价描述：若系统H1, H2的增益 满足 ，则闭环系统是BIBO稳定的。 例：如图，系统满足(0)=0, 0k1(y)/y k2 求系统BIBO稳定的条件。 解：相应的 根据算子范数定义 由 ，得系统稳定的充分条件为,Lyapunov稳定性,一、系统状态的运动及平衡状态 齐次状态方程： 初始条件(t0, X0)下，有唯一解X=(t; X0, t0), X=(t; X0, t0) 描述了系统在n维空间中从初始状态 (t0, X0)出发的一条状态运动轨迹。称为运动轨迹或状态轨迹。 平衡状态：若存在状态向量Xe，对所有t，都有 f (Xe, t)0 成立，则称Xe为系统的平衡状态或平衡点。 平衡状态不一定存在，也不一定唯一 如： 其平衡状态有：,Lyapunov稳定性是相对于平衡点而言的！,二、稳定性的几个定义 1、Lyapunov意义下的稳定 如果系统 对任意实数0，都对应存在实数(, t0) 0 ，使当 时，从任意初态X0出发的解都满足 则称平衡状态Xe是Lyapunov意义下稳定的。 其中，实数与有关，一般也与t0有关。如果与t0无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。,2、渐近稳定 如果平衡状态Xe是稳定的，而且当t无限增大时，轨线不仅不超出 ，而且最终收敛于Xe，则称这种平衡状态Xe是渐近稳定的。即有：,3、全局稳定 若存在一个含平衡状态Xe为内点的区域S，使得对任意的x0S，均有x(t)=x(t,x0,t0)S,且 则称S为系统的平衡状态的吸引域 若系统的平衡状态Xe是稳定的，且其吸引域为Rn，则称系统的平衡状态Xe是全局稳定的,4、全局渐近稳定 如果平衡状态Xe是渐近稳定的，且吸引域是整个状态空间(Rn)，则Xe为全局渐近稳定的，其必要条件是整个状态空间只有一个平衡点。 线性系统：渐近稳定 全局渐近稳定 非线性系统：S()一般较小，小范围渐近稳定。 5、不稳定 如果对于某个实数0和任一实数0 ，不管多么小，由S()出发的状态轨线，至少有一条轨线越过S() ，则称 Xe为不稳定。,6、指数稳定 若系统在平衡状态Xe是渐近稳定的，且存在0和0，使得 成立。则称系统的平衡状态Xe是指数稳定的 如果上式对任意的x0 Rn 均成立，则称平衡点Xe是全局指数稳定的,三、 Lyapunov稳定定理 不失一般性，设系统 的平衡状态Xe 0，下面讨论其稳定或渐近稳定的条件 设V(x,t)是连续可微的正定函数，若V沿着系统(3)解的轨迹对t求导，其导数 半负定且连续，则称V(x,t)是方程(3)关于平衡状态Xe的Lyapunov函数 Lyapunov稳定定理：对于系统(3)，若存在Lyapunov函数V(x,t)，则Xe 0是该系统稳定平衡点。 Lyapunov渐近稳定定理：对于系统(3)，若存在Lyapunov函数V(x,t)和负定函数W(x)，满足 则Xe 0是该系统渐近稳定平衡点。,(3),Lyapunov指数稳定定理：对于系统(3)，若存在Lyapunov函数V(x,t)满足： 其中，r10, r20,0为给定常数，则平衡点Xe 0是指数稳定的 以上定理中，若初始条件x0 Rn ，则平衡点Xe 0为全局指数稳定的 线性系统全局指数稳定：若系统 的零解是渐近稳定的，则该系统全局指数稳定,对Lyapunov函数的说明： （1）V(X)是正定的标量函数； （2）并非所有系统都能找到V(X)来证明该系统稳定或者不稳定； （3） V(X)如果存在，一般是非唯一的，但关于稳定性的结论是一致的； （4）V(X)最简单的形式是二次型V(X)=XTPX； （5）V(X)只是提供平衡点附近的运动情况，丝毫不能反映域外运动的任何信息； （6）构造V(X)需要一定的技巧。,四、Lyapunov方法在线性系统中的应用 线性定常连续系统渐近稳定性判据： 设线性定常系统为： ，则平衡状态Xe0为全局渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在正定的实对称矩阵P，满足Lyapunov方程： ATP+PA=-Q 且V(X)=XTPX就是Lyapunov函数。 线性定常离散系统渐近稳定性判据： 设线性定常系统为：x(k+1)=x(k)，则平衡状态Xe0为全局渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在正定的实对称矩阵P，满足Lyapunov方程： T P -P =-Q 且V(X)=XTPX就是Lyapunov函数。,说明： （1）一般先取正定矩阵Q，带入Lyapunov方程，求出P，判别P的正定性，从而判断系统的稳定性； （2）通常取QI，以方便计算； （3）判据是充分必要的 A的特征值均具有负实部。,五、Lyapunov方法在非线性系统中的应用 Lyapunov方法用于非线性系统只能说明局部稳定性，而且只是充分条件而非必要条件。 1、雅可比（Jacobian）矩阵法 又称克拉索夫斯基（krasovski）法 设非线性系统： 假设原点Xe=0是其平衡状态，系统的雅可比矩阵,非线性系统稳定性充分判据： 任给定正定实对称矩阵P，使下列矩阵： 为正定的。并且 是系统的一个Lyapunov函数。如果当 时，有 则Xe=0是全局渐近稳定的。,例题：系统方程： ，用雅可比矩阵法分析稳定性。 解： 取PI,所以Q(X)是正定的。原系统稳定。且李氏函数： 当 时，有 ，故系统是全局渐近稳定的。,2、变量梯度法 变量梯度法又称为舒茨基布逊（Shultz-Gibson）法，由此二人在1962年提出。 变量梯度法是基于以下事实： 若能找到一个Lyapunov函数，证明系统是渐近稳定的，则这个Lyapunov函数的梯度 是必定存在而且是唯一的。 则V(X)对时间的导数 可表示为：,基本思路：,先假定 具有某种形式（系数待定）,根据 负定确定待定系数,由 求,判别 的正定性,步骤： （1）假设 为一待定系数的n维向量： （2）根据 负定来确定待定系数 （3）由 求 ： 这是一个线积分。 线积分与路径无关的条件： 的旋度为0，即：,若满足以上旋度为0的条件，则有 （4）判别V(X)的正定性 说明：即使用以上方法找不到合适的V(X) ，也不能说系统就是不稳定的。 例题：用变量梯度法分析以下系统的稳定性。,解：（1）假设 （2）求 欲使 负定，可选 则,为约束条件 在此条件下有： （3）求V(X) 先判断积分条件： 满足积分条件。,（4） V(X)正定 所以在x1x21的范围内，平衡点Xe=0是渐近稳定的。在步骤（2）中，也可以选取其它的能使 负定的系数aij，渐近稳定的结论不会改变，但约束条件可能发生变化。,生态系统中的生物有出生和 死亡，迁入和迁出；无机环境也 在不断变化，因此，生态系统总 是在发展变化的。生态系统发展 到一定阶段，它的结构和功能能 够保持相对稳定。生态系统所具 有的保持或恢复自身结构和功能 相对稳定的能力，叫做生态系统 的稳定性。例如，当气候干旱时，森林中的动植物种类和数量一般不会有太大的变化，这说明森林生态系统具有抵抗气候变化、保持自身相对稳定的能力。生态系统的稳定性包括抵抗力稳定性和恢复力稳定性等方面。,生态系统的稳定性,抵抗力稳定性是指生态系统 抵抗外界干扰并使自身的结构和 功能保持原状的能力。生态系统 之所以具有抵抗力稳定性，是因 为生态系统内部具有一定的自动 调节能力。例如，河流受到轻微 的污染时，能通过物理沉降、化 学分解和微生物的分解，很快消除污染，河流中生物的种类和数量不会受到明显的影响。再比如在森林中，当害虫数量增加时，食虫鸟类由于食物丰富，数量也会增多，这样害虫种群的增长就会受到抑制。,抵抗力稳定性,恢复力稳定性是指生态系统 在遭到外界干扰因素的破坏以后 恢复到原状的能力。河流被严重 污染后，导致水生生物大量死亡， 使河流生态系统的结构和功能遭 到破坏。如果停止污染物的排放， 河流生态系统通过自身的净化作 用，还会恢复到接近原来的状态。再比如，一片草地上发生火灾后，第二年就又长出茂密的草本植物，动物的种类和数量也能很快恢复。,恢复力稳定性,对一个生态系统来说，抵抗 力稳定性与恢复力稳定性之间往 往存在着相反的关系。抵抗力稳 定性较高的生态系统，恢复力稳 定性就较低，反之亦然。例如， 森林生态系统的抵抗力稳定性比 草原生态系统的高，但是它的恢 复力稳定性要比草原生态系统低得多。热带雨林一旦