高中数学第三单元导数及其应用章末复习课课件新人教b版选修1_1

第三章 导数及其应用,章末复习课,1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题. 2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函 数的导数. 3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的 极值和最值. 4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.,学习目标,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 在xx0处的导数,斜率,知识点二 导函数,当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的 (简称 )，f(x)y .,导函数,导数,知识点三 基本初等函数的导数公式,0,uxu1,cos x,sin x,axln a,ex,知识点四 导数的运算法则,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),知识点五 函数的单调性、极值与导数,1.函数的单调性与导数 如果在(a，b)内， ，则f(x)在此区间内单调递增； ，则f(x)在此区间内单调递减. 2.函数的极值与导数 已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取 ，记作y极大值f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取 ，记作y极小值f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点. 极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.,f(x)0,f(x)0,f(x)f(x0),极大值,f(x)f(x0),极小值,知识点六 求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤,1.求f(x)在开区间(a，b)内所有 . 2.计算函数f(x)在极值点和 ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,极值点,端点的函数值,题型探究,类型一 导数几何意义的应用,解答,例1 已知函数f(x)xaln x(aR). (1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；,f(1)1，f(1)1, yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为 y1(x1), 即xy20.,(2)求函数f(x)的极值.,解答,当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值； 当a0时，由f(x)0，解得xa. 当x(0，a)时，f(x)0， f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值. 综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.,反思与感悟,跟踪训练1 已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，直线m：ykx9，且f(1)0. (1)求a的值；,解答,因为f(x)3ax26x6a，且f(1)0， 所以3a66a0，得a2.,(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由.,解答,因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线yg(x)相切的直线方程.,当x01时，g(1)12，g(1)21，切点坐标为(1,21)， 所以切线方程为y12x9； 当x01时，g(1)0，g(1)9，切点坐标为(1,9)，,所以切线方程为y9. 下面求曲线yf(x)的斜率为12和0的切线方程： 因为f(x)2x33x212x11， 所以f(x)6x26x12. 由f(x)12，得6x26x1212， 解得x0或x1. 当x0时，f(0)11，此时切线方程为y12x11； 当x1时，f(1)2，此时切线方程为y12x10. 所以y12x9不是公切线.,由f(x)0，得6x26x120， 解得x1或x2. 当x1时，f(1)18，此时切线方程为y18； 当x2时，f(2)9，此时切线方程为y9， 所以y9是公切线. 综上所述，当k0时，y9是两曲线的公切线.,类型二 函数的单调性与导数,解答,由f(x)0，得x2. 故f(x)的单调递增区间为(，2)，单调递减区间为(2，).,解答,反思与感悟,(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间. (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价. (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集. (4)求参数的范围时常用到分离参数法.,跟踪训练2 已知函数f(x)x3ax1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；,解答,求导得f(x)3x2a， 因为f(x)在R上是增函数， 所以f(x)0在R上恒成立. 即3x2a0在R上恒成立， 即a3x2，而3x20，所以a0. 当a0时，f(x)x31在R上单调递增，符合题意. 所以a的取值范围是(，0.,(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.,假设存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减， 则f(x)0在(1,1)上恒成立. 即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2， 又因为在(1,1)上，03x23，所以a3. 当a3时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0， 所以f(x)在(1,1)上单调递减，即a3符合题意. 所以存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，且a的取值范围是3，).,解答,类型三 函数的极值、最值与导数,例3 已知函数f(x)x3ax2bxc，过曲线yf(x)上的点P(1，f(1)的切线方程为y3x1，yf(x)在x2时有极值. (1)求f(x)的表达式；,解答,因为f(x)3x22axb， 所以f(1)32ab， 故过曲线上P点的切线方程为 yf(1)(32ab)(x1)， 即y(abc1)(32ab)(x1)， 已知该切线方程为y3x1，,因为yf(x)在x2时有极值，所以f(2)0， 即4ab12，,所以f(x)x32x24x5.,(2)求yf(x)在3,1上的单调区间和最大值.,解答,由(1)知f(x)3x24x4(3x2)(x2)，,当x3，2)时，f(x)0；,所以f(x)在区间3,1上的最大值为13.,反思与感悟,(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义. (2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f(x)的正负. (3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者.,解答,(2)求函数f(x)的单调区间与极值.,解答,令f(x)0，解得x1或x5. 因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去. 当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数. 所以函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5.,类型四 分类讨论思想,解答,函数f(x)的定义域是(0，).,令f(x)0，得1ln x0，所以xe.,所以函数f(x)在(0，e上单调递增， 在(e，)上单调递减.,(2)设m0，求f(x)在m,2m上的最大值；,解答,由(1)知函数f(x)在(0，e上单调递增，在(e，)上单调递减，,f(x)在m,2m上单调递增，,当me时，f(x)在m,2m上单调递减.,当mx0，,当ex2m时，f(x)0，,证明,由(1)知，当x(0，)时，,反思与感悟,(1)分类讨论即分别归类再进行讨论，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略. (2)解题时首先要思考为什么分类，即分类依据是什么，一般的分类依据如：方程类型、根的个数及与区间的关系、不等号的方向等；其次考虑分几类，每一类中是否还需要再分类. (3)分类讨论的基本原则是不重不漏.,设x(0,1，则x1,0). f(x)为偶函数， f(x)f(x)x3ax， 即当x(0,1时，f(x)x3ax.,跟踪训练4 设函数f(x)是定义在1,0)(0,1上的偶函数，当x1,0)时，f(x)x3ax(a为实数). (1)当x(0,1时，求f(x)的解析式；,解答,f(x)在(0,1上单调递增，证明如下： f(x)3x2a，x(0,1， 3x23,0). 又a3，a3x20，即f(x)0. f(x)在(0,1上单调递增.,(2)若a3，试判断f(x)在(0,1上的单调性，并证明你的结论；,解答,(3)是否存在a，使得当x(0,1时，f(x)有最大值1?,解答,当a3时，f(x)在(0,1上单调递增， f(x)maxf(1)a11. a2与a3矛盾. 当0a3时，令f(x)a3x20，,当a0时，f(x)a3x20， f(x)在(0,1上单调递减，f(x)在(0,1上无最大值.,当堂训练,1,2,3,4,5,答案,解析,答案,解析,1,2,3,4,5,2.如果函数f(x)的图象如图所示，那么导函数yf(x)的图象可能是,由f(x)与f(x)的关系可知选A.,1,2,3,4,5,答案,解析,2,3.体积为16的圆柱，它的半径为 时，圆柱的表面积最小.,设圆柱底面半径为r，母线长为l.,当r2时，圆柱的表面积最小.,由题意知，f(x)3x2a0(x1)， a3x2，a3，a的最大值为3.,3,1,2,3,4,5,4.已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上单调递增，则a的最大值为 .,答案,解析,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,(2)求函数f(x)的极值.,解答,当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数. 故f(x)在x1处取得极小值f(1)3，无极大值.