高中数学第一章导数及其应用1_3_2第1课时利用导数研究函数的极值课件新人教b版选修2_2

第1课时 利用导数研究函数的极值,第一章 1.3.2 利用导数研究函数的极值,学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点 极值的概念,观察yf(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值.,答案,答案 极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)； 极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h).,思考2,导数为0的点一定是极值点吗？,答案,答案 不一定，如f(x)x3，尽管由f(x)3x20，得出x0，但f(x)在R上是增函数，不满足在x0的左、右两侧符号相反，故x0不是f(x)x3的极值点.,极值的概念 (1)极大值与极大值点 已知函数yf(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有 ，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作 ，并把 称为函数f(x)的一个极大值点.,梳理,y极大f(x0),f(x)f(x0),x0,(2)极小值与极小值点 如果在x0附近都有 ，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作 ，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点. (3)极值与极值点 与 统称为极值， 与 统称为极值点.,f(x)f(x0),y极小f(x0),极大值,极小值,极大值点,极小值点,题型探究,例1 求下列函数的极值，并画出函数的草图. (1)f(x)(x21)31；,解答,类型一 求函数的极值,命题角度1 不含参数的函数求极值,解 f(x)6x(x21)26x(x1)2(x1)2. 令f(x)0，解得x11，x20，x31. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,当x0时，f(x)有极小值且f(x)极小值0. 函数的草图如图所示.,解答,令f(x)0，解得xe. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,因此，xe是函数的极大值点，极大值为f(e) ，没有极小值. 函数的草图如图所示.,(1)讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原则. (2)求可导函数f(x)的极值的步骤 求导数f(x)； 求方程f(x)0的根； 观察f(x)在方程根左右值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值. 注意：f(x)无意义的点也要讨论，可先求出f(x)0的根和f(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断.,反思与感悟,跟踪训练1 设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数yxf(x)的图象的一部分如图所示，则,C.f(x)极大值为f(3)，极小值为f(3) D.f(x)极大值为f(3)，极小值为f(3),解析 当x0，即f(x)3时，f(x)0. f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(3).,答案,解析,例2 设函数f(x)2x33(a1)x21，其中a1. (1)求f(x)的单调区间；,解答,命题角度2 含参数的函数求极值,解 由已知得f(x)6xx(a1)， 令f(x)0， 解得x10，x2a1， 当a1时，f(x)6x2， f(x)在(，)上单调递增. 当a1时，f(x)6xx(a1)， 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,从上表可知，函数f(x)在(，0)上是单调增函数， 在(0，a1)上是单调减函数，在(a1，)上是单调增函数.,(2)讨论f(x)的极值.,解答,解 由(1)知，当a1时，函数f(x)没有极值. 当a1时，函数在x0处取得极大值1，在xa1处取得极小值1(a1)3.,讨论参数应从f(x)0的两根x1，x2相等与否入手进行.,反思与感悟,跟踪训练2 已知函数f(x)xaln x(aR). (1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；,解答,因而f(1)1，f(1)1. 所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为 y1(x1)，即xy20.,(2)求函数f(x)的极值.,解答,当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值； 当a0时，由f(x)0，解得xa. 又当x(0，a)时，f(x)0， 从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值. 综上，当a0时，函数f(x)无极值； 当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.,类型二 已知函数极值求参数,解答,解 f(x)x2(a1)xa， 因为f(x)在(0,1)内有极大值和极小值， 所以f(x)0在(0,1)内有两不等实根，,已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.,反思与感悟,跟踪训练3 (1)函数f(x)x3ax2bxc的图象如图所示，且与直线y0在原点处相切，函数的极小值为4. 求a，b，c的值；,解答,解 函数图象过原点，c0， 即f(x)x3ax2bx， f(x)3x22axb. 又函数f(x)的图象与直线y0在原点处相切， f(0)0，解得b0， f(x)3x22axx(3x2a).,解得a3. a3，bc0.,解答,求函数的单调减区间.,解 由知f(x)x33x2，且f(x)3x(x2). 由f(x)0，得3x(x2)0， 0x2， 函数f(x)的单调减区间是(0,2).,解答,当00， 当x1时，f(x)0. f(x)在(0,1)上是单调增函数，在(1，)上是单调减函数， 函数f(x)在x1处取得极大值.,类型三 函数极值的综合应用,例4 (1)函数f(x) x34x4的图象与直线ya恰有三个不同的交点，则 实数a的取值范围是_.,答案,解析,f(x)x24(x2)(x2). 令f(x)0，得x2或x2. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,且f(x)在(，2)上是增函数，在(2,2)上是减函数，在(2，)上是增函数. 根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，,(2)已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图象与y f(x)5xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围.,解答,x2x3m. 则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根， 即g(x)x37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点. g(x)3x214x8(3x2)(x4)，,解 由f(x)x36x29x3， 可得f(x)3x212x9，,当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：,利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基本上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.,反思与感悟,跟踪训练4 若2ln(x2)x2xb0在区间1,1上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围.,解答,解 令g(x)2ln(x2)x2xb，,g(x)与g(x)随x在(2，)上的变化情况如下表：,由上表可知，函数在x0处取得极大值，极大值为2ln 2b.,所以2ln 2b22ln 3. 故实数b的取值范围是(2ln 2,22ln 3.,当堂训练,1.函数f(x)的定义域为R，它的导函数yf(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是 A.在(1,2)上函数f(x)为增函数 B.在(3,4)上函数f(x)为减函数 C.在(1,3)上函数f(x)有极大值 D.x3是函数f(x)在区间1,5上的极小值点,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 根据导函数图象知，当x(1,2)时，f(x)0， 当x(2,4)时，f(x)0. f(x)在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数， x2是f(x)在1,5上的极大值点，x4是极小值点.故选D.,2,3,4,5,1,2.已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为 A.12 D.a6,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 f(x)3x22axa6. 因为f(x)既有极大值又有极小值， 所以(2a)243(a6)0， 解得a6或a3.,2,3,4,5,1,3.函数f(x)aln xbx23x的极值点为x11，x22，则a_，b_.,答案,解析,2,2,3,4,5,1,函数的极值点为x11，x22，,即为2bx23xa0的两根，,4.直线ya与函数yx33x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是_.,2,3,4,5,1,解析,解析 f(x)3x23. 令f(x)0可以得到x1或x1， f(1)2，f(1)2，2a2.,答案,(2,2),5.已知函数f(x)ax2bln x在x1处有极值 . (1)求a，b的值；,解答,2,3,4,5,1,(2)判断f(x)的单调区间，并求极值.,解答,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,又f(x)的定义域为(0，)， 令f(x)0，解得x1. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化