电磁场第四章补充习题.pdf

4.1 如题 4.1 图所示为两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由 yd到yb()z。上板和薄片保持电位 0 U，下板保持零电位，求板间电位的 解。设在薄片平面上，从0y 到yd，电位线性变化， 0 (0, )yU y d。 b d o y U0 x 题 4.1 图 4.2 求在上题的解中，除开 0 U y b一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按 2 0 2 fe CW U定出边缘电容。 4.3 一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为 ()sin()sin() xz y yb ac 的电荷。求体积内的电位。 4.4 如题 4.4 图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z轴平行的线电荷 l q， 其位置为(0, )d。求板间的电位函数。 b o y U0 x (0 , d) l q 题 4.4 图 4.5 如题 4.5 图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷 l q。求槽 内的电位函数。 a x b y o q1 (x0 , y0) 题 4.5 图 4.6 如题 4.6 图所示， 在均匀电场 00xE Ee中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆 柱， 圆柱的半径为a。 求导体圆柱外的电位和电场 E 以及导体表面的感应电荷密度。 x y a o E0 题 4.6 图 4.7 在介电常数为的无限大的介质中， 沿z轴方向开一个半径为a的圆柱形空腔。 沿 x 轴方向外加一均匀电场 00xE Ee，求空腔内和空腔外的电位函数。 4.8 一个半径为b、无限长的薄圆柱面导体被分割成四个四分之一圆柱面，如题 4.8 图所示。 第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地， 第一象限和第三象限分别保持电位 0 U 和 0 U。求圆柱面内部的电位函数。 U0 -U0 x y b o 题 4.8 图 4.9 如题 4.9 图所示，一无限长介质圆柱的半径为a、介电常数为，在距离轴线 )( 00 arr处，有一与圆柱平行的线电荷密度 l ，计算空间各部分的电位。 x y a o 0 q1 r0 题 4.9 图 4.10 将题 4.9 中的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算圆柱外空间的电位。 4.11 如题 4.11 图所示，空心导体球壳的内、外半径分别为 1 r和 2 r，球的中心放置一个 电偶极子p，球壳上的电荷量为Q。试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。 z o P Q r1 r2 题 4.11 图 4.12 欲在一个半径为 a 的球上绕线圈使在球内产生均匀场，问线圈应如何绕（即求绕 线的密度）？ o H1 H2 z a er 题 4.12 图 4.13 一个半径为 R 的均匀介质球，其极化强度 P。（1）证明：球内的电场是均匀的， 等于 0 (3)P；（2）证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子P产生的电场相同， 3 43R。 o P z R 题 4.13 图 4.14 半径为a的接地导体球， 离球心 11 ()r ra处放置一个点电荷q， 如题 4.14 图所示。 用分离变量法求电位分布。 o z R r1 q 题 4.14 图 4.15 一根线电荷密度为 l 、长为 2a 的线电荷沿z轴放置，中心在原点上。证明：对 于区域ra的点，有 35 24 35 0 ( , )(cos )(cos ) 235 l aaa rPP rrr o z r R P(r , ) 2a l 题 4.15 图 4.16 一个半径为a的细导线圆环，环与xy平面重合，中心在原点上，环上总电荷量 为Q，如题 4.16 图所示。证明：空间任意点电位为 24 124 0 13 1coscos.() 428 Qrr PPra aaa 24 224 0 13 1coscos.() 428 Qrr PPra raa z x y a o 题 4.16 图 4.17 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移到无穷远处，需要作多少 功？ 4.18 一个电荷量为q、质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面相 距为h。求q的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡（设 3 2 10 kgm ， 0.02mh）。 4.19 一个半径为R的导体球带有电荷量为Q， 在球体外距离球心为D处有一个点电荷 q。（1）求点电荷q与导体球之间的静电力；（2）证明：当q与Q同号，且 D R RD RD q Q 222 3 )( 成立时，F表现为吸引力。 4.20 两个点电荷Q和Q，在一个半径为a的导体球直径的延长线上，分别位于导体 球的两侧且距球心为D。 （1）证明：镜像电荷构成一个电偶极子，位于球心，电偶极矩为 2 3 2 D Qa p （2）令D和Q分别趋于无穷，同时保持 2 Q D不变，计算球外的电场。 4.21 一根与地面平行架设的圆截面导线，半径为a，悬挂高度为h。证明：单位长度 上圆柱导线与地面间的电容为 0 0 2 arccosh() C h a 。 4.22 在上题中设导线与地面间的电压为 0 U。证明：地面对导线单位长度的作用力 2 00 02 22 1 2 arccosh()() U F h aha 。 0 0 2 arccosh() C h a 。 4.1 ( , )x y 00 22 1 21 sin()sin()e n x b n UbUn dn y y bdnbb 4.2 0 222 1 0 241 sin() e f n Wbn d C Udnb 4.3 2 5 3222 1,3,5, 0 81 ( , , )sin()sin()sin() 11 ( )( )( ) n bxn yz x y z n abc n abc 4.4 1 1 0 1 ( , )sin()sin() l n n x a qn dn y x ye naa (0)x 2 1 0 1 ( , )sin()sin() l n n x a qn dn y x ye naa (0)x 4.5 10 1 0 21 ( , )sinh() sinh() l n qn x yax nn a bb 0 sin()sinh()sin() n yn xn y bbb )0( 0 xx 0 2 1 0 21 ( , )sinh() sinh() l n qn x x y nn a bb 0 sin()sinh()sin() n ynn y ax bbb )( 0 axx 若以 0 yy为界将场空间分割为 0 0yy和 0 yyb两个区域，则可类似地得到 10 1 0 21 ( , )sinh() sinh() l n qn x yby nn b aa 0 sin()sinh()sin() n xn yn x aaa 0 ( 0)yy 0 2 1 0 21 ( , )sinh() sinh() l n qn y x y nn b aa 0 sin()sinh()sin() n xnn x by aaa 0 ()yyb 4.6 22 00 22 (1)cos( 1)sin aa eEeE E 000 ()2cos sa E eE 4.7 10 0 2 ( , )cos()rE rra 2 0 20 0 ( , )1( ) cos() a rE rra r 4.8 3 0 2 1,3,5, 21 ( , )( ) sin( 1)cos() n n n Ur rnnrb n b 4.9 00 10 0000 2()1 ( , )lnln 22() ll qq rRr 00 2 00000 ()()11 ( , )lnlnln 222 lll qqq rRRr 4.10 0 0000 ( , )lnlnlnln 2222 llll qqqq rRRrCr 由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于 0 ( ,0)r的线电荷 l q； 位于 2 0 (,0)ar的线电荷 l q；位于0r的线电荷 l q。 4.11 1 23 0 201 1 ( , )()cos 44 Qpr r rrr ， 2 0 ( ) 4 Q r r 2 111 3 10 3 dcos2sind0 4 S p qSr r 4.12 0sinS H Je 这表明球面上的绕线密度正比于sin，则将在球内产生均匀场。 4.13 略。 4.14 21 1 0 001 ( , )(cos ) 44() n n n n qqa rP Rrr 4.15 略