离散型随机变量及其分布.ppt

离散型随机变量及其分布,离散型随机变量 随机变量的所有取值是有限个或可列个 非离散型随机变量 随机变量的取值有无穷多个，且不可列,定义：若随机变量X的所有可能取值为xi(i=1,2,) 而X取值为xi对应的概率为pi ，即,或,称之为离散型随机变量X的分布律或分布列或概率分布。,分布律具有以下重要性质：,即不满足这两条性质，就不能称为随机变量的分布律。,=P(抽得的两件全为次品),求分布律举例,例1 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。,解：X的可能取值为 0，1，2,=P(抽得的两件全为正品),PX=1,PX=2,=P(只有一件为次品),PX=0,故 X的分布律为,而“至少抽得一件次品”=X1,= X=1X=2,PX1= PX=1+PX=2,注意：X=1与X=2是互不相容的！,实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事件的方式变了,故,从一批次品率为p的产品中，有放回抽样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X的分布律。,解 记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3, 则 Ai , i=1,2,3, 是相互独立的！ 且,X的所有可能取值为 1，2，3， ,k,P(X=k)=,(1-p)k-1p ,k=1,2,( X=k )对应着事件,例,若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分布.,不难验证:,练习： 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布.,解: 依题意, X可取值0, 1, 2, 3.,P(X=0)=P(A1)=1/2,X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,即,不难看到,X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,设随机变量X的分布律为,试确定常数b.,解,由分布律的性质,有,例,解: 依据概率函数的性质:,a0,从中解得,欲使上述函数为概率函数,应有,练习,设随机变量X的概率分布为：,k =0,1,2, ,试确定常数a .,例：若随机变量X的分布律为,则随机变量X的分布函数为,即,分布函数的图像如下：,分布函数的图像是一个右连续的阶梯形。且在间断 点处的跳跃值等于X取这个值的概率。例如,几种常见的离散型分布,一、两点分布,定义：若随机变量X的分布律为,则称X 服从参数为p(0p1)的两点分布，或0-1分布。,背景：当样本空间只有两个样本点时，可以用两点 分布来描述。,实例：顾客的性别，机器工作是否正常，以及前面提到的掷硬币试验等都可用0-1分布来描述。,例,设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中 随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等， 并且用数“1”代表取得红球，“0”代表取得 白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型 随机变量,其概率分布为,即X服从两点分布。,二、二项分布,定义：若随机变量X的分布律为,则称X服从参数为n， p(0p1) 的二项分布，也称伯努利 分布。,记为,XB( n, p),注：1.当n=1时，即XB(1, p)，,2. 恰好是二项式 的展开式中出现 的那一项，这就是被称为二项分布的缘由。,亦即是两点分布。,从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率.,有放回地抽取5件,可视为5重Bernoulli实验,记X为共抽到的次品数，则,A=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12,n=5 p=1/4,例,解,例,一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒.求播种后, 求（1）恰有8粒发芽的概率；（2）不小于8粒发芽的概率。,解,XB（10, 0.9）,(1) P(X=8)=,P(X=8)+P(X=9)+P(X=10),例 ：某保险公司有2500个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险。在一年时间时每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日付12元保险费，而在死亡时家属可从公司领2000元。问：（1）“保险公司亏本”（记为A）的概率是多少？（2）“保险公司获利不少于10000，20000元”（分别记B1和B2）的概率是多少？,解：,问题：如何算出精确或近似值,泊松分布 Poisson distribution,若随机变量 X 的分布律为:,其中 0, 则称X服从参数为的泊松分布,XP(),定义,泊松分布的背景及应用,二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.,地震,在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.,火山爆发,特大洪水,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.,例：,假设书的某一页上印刷错误的个数服从参数为0.5,的泊松分布，求在这一页上至少有一处印刷错误的概率,解：,设X表示一页书上印刷错误的个数，则,XP(0.5 ).,因此,例,解,泊松定理,实际应用中：当n较大,p较小，np适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式,二项分布的泊松近似,The Poisson Approximation to the Binomial Distribution,某人骑摩托车上街,出事故率为0.02，独立重复上街400次，求出事故至少两次的概率.,400次上街400重Bernoulii实验,记X为出事故的次数，则,1- e-8 - 8e-8,0.9972,P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1),结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总会发生的！,=1-0.98 400-400（0.02)(0.98 399),0.9970,泊松定理,例,解,若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次， 则至少成功一次的概率为,成功次数服从二项概率,有百分之一的希望，就要做百分之百的努力,练习 为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员 . 设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理 . 问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,我们先对题目进行分析：,300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01. 一台设备故障一人来处理. 问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,设X为300台设备同时发生故障的台数，,300台设备，独立工作，每台出故障概率 p=0.01 . 可看作n=300的贝努里概型.,XB(n,p)，n=300, p=0.01,可见，,300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01 . 一台设备故障一人来处理. 问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,设X为300台设备同时发生故障的台数，,XB(n,p)，n=300, p=0.01,设需配备N个维修人员，,所求的是满足,P(XN) 0.01,的最小的N.,设需配备N个维修人员，,所求的是满足,P(XN) 0.01的最小的N.,P(XN),n大,p小,np=3, 用 =np=3 的泊松近似,下面给出正式求解过程：,即至少需配备8个维修人员.,查书末的泊松分布表得,N+1 9,即N 8,四、几何分布,定义：若随机变量X的分布律为,则称X服从几何分布。记为XG(p ).,注：重复进行一个每次成功概率为p的独立试验，若前k-1次失败，第k次成功，其概率即为,背景：放回抽样。,设箱中有N个白球与M个黑球，每次随机取一个球，直到取出黑球为止如果每取出一个球后立即放回，再取出一个球，试求下列概率：,例：,1.正好需要取n次； 2.至少需要取k次。,解：1.,令X表示取到黑球所需的次数，则,2.,五、超几何分布,定义：若随机变量X的分布律为,则称X服从超几何分布。记为XH(M，N，n ).,背景：产品检验和药