2020版高中数学第四章导数应用章末复习学案北师大版.docx

第四章 导数应用章末复习学习目标1.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.2.会用导数解决一些简单的实际应用问题1函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是增加的；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是减少的(2)函数的极值与导数极大值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当x0，当xa时，f(x)0，则点a叫作函数的极大值点，f(a)叫作函数的极大值；极小值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时，f(x)a时，f(x)0，则点a叫作函数的极小值点，f(a)叫作函数的极小值2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值题型一函数的单调性与导数例1已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，其中aR.(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)试求f(x)的单调区间考点利用导数研究函数的单调性题点求含参数函数的单调区间解(1)当a0时，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，故f(1)3e.即曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为3e，(2)f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2，当2aa2，即a时，f(x)0，f(x)在R上是增加的；当2a时，则当x(，2a)或x(a2，)时，f(x)0，故f(x)在(，2a)，(a2，)上为增函数，当x(2a，a2)时，f(x)a2，即a0，故f(x)在(，a2)，(2a，)上为增函数当x(a2，2a)时，f(x)0，f(x)在(a2，2a)上为减函数综上所述，当a时，f(x)的增区间为(，2a)，(a2，)，减区间为(2a，a2)反思感悟(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集(4)求参数的范围时常用到分离参数法跟踪训练1已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上是增加的，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上是减少的，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由考点利用函数单调性求变量题点已知函数单调性求参数解(1)求导得f(x)3x2a，因为f(x)在R上是增函数，所以f(x)0在R上恒成立即3x2a0在R上恒成立即a3x2，而3x20，所以a0.当a0时，f(x)x31在R上是增加的，符合题意所以a的取值范围是(，0(2)假设存在实数a，使f(x)在(1,1)上是减少的，则f(x)0在(1,1)上恒成立即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2，又因为在(1,1)上，03x23，所以a3.当a3时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上是减少的，即a3符合题意所以存在实数a，使f(x)在(1,1)上是减少的，且a的取值范围是3，)题型二函数的极值、最值与导数例2已知函数f(x)x2alnx.(1)若a1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a1，求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；(3)若a1，求证：在区间1，)上，函数f(x)的图像在函数g(x)x3的图像的下方考点导数的综合应用题点导数的综合应用(1)解由于函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)x，令f(x)0，得x1或x1(舍去)，当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)是增加的，所以f(x)在x1处取得极小值，且极小值为.(2)解当a1时，f(x)x2lnx，f(x)x0，则函数f(x)在1，e上为增函数，所以f(x)minf(1)，f(x)maxf(e)e21.(3)证明设F(x)f(x)g(x)x2lnxx3，则F(x)x2x2，当x1时，F(x)0，故F(x)在区间1，)上是减函数，又F(1)0，所以在区间1，)上，F(x)0恒成立即f(x)g(x)恒成立因此，当a1时，在区间1，)上，函数f(x)的图像在函数g(x)的图像的下方反思感悟1.已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义2讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f(x)的正负3求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可跟踪训练2已知函数f(x)exaxa(aR且a0)(1)若函数f(x)在x0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在2,1上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围考点导数的综合应用题点导数的结合应用解(1)函数f(x)的定义域为R，f(x)exa，f(0)e0a0，a1.f(x)ex1，在(，0)上，f(x)0，f(x)是增加的，当x0时，f(x)取得极小值，a1.f(x)在2,0上是减少的，在(0,1上是增加的，且f(2)3，f(1)e，f(2)f(1)，f(x)在2,1的最大值为3.(2)f(x)exa，由于ex0.当a0时，f(x)0，f(x)是增函数，且当x1时，f(x)exa(x1)0.当x0时，取x，则f1aa0，函数f(x)存在零点，不满足题意当a0时，令f(x)exa0，则xln(a)在(，ln(a)上，f(x)0，f(x)是增加的，当xln(a)时，f(x)取最小值函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0，又由h0可得0r0，故V(r)在(0,5)上为增函数当r(5,5)时，V(r)0)(2)f(x)2x2(e1)(x0)，当x1,2e时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表所示：x1，e)e(e,2ef(x)0f(x)极大值由上表得f(x)x22(e1)x2elnx2在1,2e上的最大值为f(e)，且f(e)e22.即月生产量在1,2e万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为e22(万元)，此时的月生产量为e万件导数中不等式证明问题典例已知函数f(x)xax2lnx(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)f(x2)32ln2.考点题点(1)解f(x)(x0，a0)，不妨设(x)2ax2x1(x0，a0)，(*)则关于x的方程2ax2x10的判别式18a.当a时，0，(x)0，故f(x)0，函数f(x)在(0，)上是减少的；当0a0，方程f(x)0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1x2，则当x(0，x1)及x(x2，)时，f(x)0，f(x)在(0，x1)，(x2，)上是减少的，在(x1，x2)上是增加的(2)证明由(1)知当且仅当a时，f(x)有极小值点x1和极大值点x2，且x1，x2是方程(*)的两个正根，则x1x2，x1x2，f(x1)f(x2)(x1x2)a(x1x2)22x1x2(lnx1lnx2)ln(2a)1lnaln21，令g(a)lnaln21，当a时，g(a)g32ln2，f(x1)f(x2)32ln2.素养评析(1)不等式证明中，常构造函数把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值解决(2)通过对条件和结论的分析，探索论证思路，选择合适的论证方法给予证明，这正是逻辑推理素养的充分体现.1已知f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意的正数a，b，若ab，则必有()Abf(b)af(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)bf(b) Daf(b)bf(a)考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案A解析设g(x)xf(x)，x(0，)，则g(x)xf(x)f(x)0，g(x)在区间(0，)上是减少的或g(x)为常函数ab，g(a)g(b)，即af(a)bf(b)故选A.2用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为()A2m3B3m3C4m3D5m3考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案B解析设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h3x(m)，故长方体的体积为V(x)2x29x26x3，从而V(x)18x18x218x(1x)，令V(x)0，解得x1或x0(舍去)当0x0；当1x时，V(x)0，故在x1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，从而最大体积VV(1)9126133(m3)3对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案D解析若f(x)不恒为0，则当x1时，f(x)0，当xf(1)，f(1)2f(1)若f(x)0恒成立，则f(2)f(0)f(1)综合，知f(0)f(2)2f(1)4若函数yx3ax有三个单调区间，则a的取值范围是_考点利用函数单调性求变量题点已知函数单调性求参数答案(0，)解析由题意知，y4x2a的图像与x轴有两个交点，16a0，a0.5已知函数f(x)lnx，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值考点函数的极值与导数的关系题点不含参数的函数求极值问题解(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知，f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)lnx(x0)，则f(x)(x0)令f(x)0，解得x1(舍)或x5.当x(