安徽师范大学《计算方法》实验课程序答案数学专业.pdf

1 实验三实验三 第三节第三节矩阵基本函数运算与矩阵元素的提取（第二章）矩阵基本函数运算与矩阵元素的提取（第二章） 一、一、 矩阵基本函数运算矩阵基本函数运算 此运算是矩阵运算中最实用的部分，其基本命令如下：此运算是矩阵运算中最实用的部分，其基本命令如下： 命令集命令集 9矩阵的大小、行列式、逆、特征值、秩、迹、范数矩阵的大小、行列式、逆、特征值、秩、迹、范数 size(A)给出包含矩阵A的维数的一个行向量.在这个返回向量中的第一 个元素是行数，随后是列数 . m，n =size(A)给出 A 的维数，m 为行数、n 为列数，即两个标量. length(x)给出一个向量 x 的长度，即 x 分量个数. sum(A)若 A 是矩阵，给出一个行向量，其每个分量表示 A 相应的列和； 若 A 是向量，给出此向量的分量和. det(A)求矩阵 A 的行列式. eig(A)返回一个列向量，其中每一个分量均为矩阵 A 的特征值. X,D=eig(A)求包含矩阵 A 的特征值对应的对角阵 D 和以相应特征向 量为列的矩阵. inv(A)或或 A (-1)求矩阵 A 的逆矩阵. rank(A)求矩阵 A 的秩. trace(A)求矩阵 A 的迹（对角线元素之和）. norm(A，1)矩阵 A 的 1范数或列和范数，定义如下. norm(A，2)矩阵 A 的 2范数. norm(A，inf)矩阵 A 的范数. norm(x，1)向量 x 的 1范数或列和范数，定义如下. norm(x，2)向量 x 的 2范数. norm(x，inf)向量 x 的范数. 2 范数定义如下： 设 12 ( ,) n xx xx，() ijn m Aa ，则相应范数定义如下 1 1 n i i xx ； 2 2 1 n i i xx ；max i i xx 1 1 max n ij j i Aa ， 1 max n ij i j Aa ， 2 maxAA ii i A，其中 为的最大特征值 二、矩阵元素的提取矩阵元素的提取 在 MATLAB 中还有利用已存在的矩阵建立新矩阵的命令.以 下假设矩阵 A 是 mn 的矩阵，x 是 n 维向量. 1. 对角阵与三角阵的生成对角阵与三角阵的生成 命令集命令集 10 diag(A)生成一个由矩阵 A 主对角线元素组成的列向量.主对角线总是 从矩阵左上角开始.对于方阵来说它结束于矩阵的右下角. diag(x)生成一个 n 维的方阵，它的主对角线元素值取自向量 x，其余 元素的值都为 0. diag(A, k)生成一个由矩阵 A 第 k 条对角线的元素组成的列向量. k= 0 为 主对角线；k 0 为上第 k 对角线. diag(x , k)生成一个(n+ a b s (k) )(n+ a b s (k) )维的矩阵， 该矩阵的第 k 条对角线元素取自向量 x， 其余元素都为零.关于参数 k 可参考 上个命令. triu(A)生成一个和 A 大小相同的上三角矩阵.该矩阵的主对角线及 以上元素取自 A 中相应元素，其余元素都为零. triu(A, k)生成一个和A 大小相同的上三角矩阵.该矩阵的第 k 条对角线 及以上元素取自 A 中相应元素，其余元素都为零. 命令 triu (A, 0 )等同于命令 triu (A). 3 tril(A)生成一个和 A 大小相同的下三角矩阵.该矩阵的主对角线及以下 元素取自 A 中相应元素，其余元素都为零. tril(A, k)生成一个和 A 大小相同的下三角矩阵.该矩阵的第 k 条对角线 及以下元素取自 A 中相应元素，负数 k 表示主对角线下的对角 线.其余元素都为零.命令 tril (A, 0 )等同于命令 tril (A). 2. 向量和子矩阵的生成向量和子矩阵的生成 在 MATLAB 中可以使用冒号:来代表一系列数值.有时也 使用它来定义一个子矩阵. 命令集命令集 11 i : k创建从 i 开始、 步长为 1、 到 k 结束的数字序列， 即 i ,i+1, i+2,. . ., k . 如果 ik，MATLAB 则返回一个空矩阵，也就是 .数字 i 和 k 不必 是整数，该序列的最后一个数是小于或等于 k. i : j : k创建从 i 开始、 步长为 j、 到 k 结束的数字序列， 即 i, i+j, i+ 2j,. . ., k .对于 j= 0，则返回一个空矩阵.数字 i、j 和 k 不必是整数，该序 列的最后一个数是小于或等于 k. linspace(a , b)在区间a, b上创建一个有 100 个元素的向量，这 100 个 数把整个区间线性分隔.其中 a 是第一个元素，b 是最后一个. linspace(a, b, n)在区间a, b上创建一个有 n 个元素的向量.这个命令和 冒号表示形式相近，但是它直接定义了数据的个数，其步长 为（b-a）/(n-1) . 命令集命令集 12定义子阵定义子阵 A( i , j )返回矩阵 A 中第 ij 元素的值. A( : , j )返回矩阵 A 中第 j 列列向量. A( i , : )返回矩阵 A 中第 i 行行向量. A( : , j : k )返回由矩阵 A 中的第 j 列，第 j+ 1 列，直到第 k 列列向量组 成的子阵. A( i : k , : )返回由矩阵 A 中的第 i 行，第 i+ 1 行，直到第 k 行行向量 组成的子阵. 4 A( i : k , j : l )返回由二维矩阵 A 中的第 i 行到第 k 行行向量和第 j 列到 第 l 列列向量组成的子阵. A( : )将矩阵 A 中的每列合并成一个长的列向量. A(j:k)返回一个行向量，其中的元素为 A( : )中的从第 j 个元素到 第 k 个元素. A(j1 j2 . . . )返回一个行向量， 其中的元素为 A( : )中的第 j1、 j2 元素. A(:,j1 j2 . . . )返回矩阵 A 的第 j1 列、第 j2 列等的列向量. A(i1 i2. . . ,: )返回矩阵 A 的第 i1 行、第 i2 行等的行向量. A(i1 i2. . . ,j1 j2. . . )返回矩阵第 i1 行、 第 i2 行等和第 j1 列、 第 j2 列等的元素. 二、矩阵元素的增减矩阵元素的增减 在 MATLAB 中可以通过增加元素、 行和列将一个矩阵或者向 量进行扩展.由于 MATLAB 可以自动地改变矩阵的大小，所以使 用已存在的矩阵的一部分来创建一个新矩阵是很容易的,这在许 多应用中都很有用.从已存在的矩阵中建立一个矩阵就和定义一 个新矩阵一样.元素用空格或逗号分隔，行用分号或回车分隔. 例 1 假设下列矩阵已经定义为： 1 25 611 ,13 14 3 412 ABxyz (a) 有几种方式可以将向量 x 扩展成 14.假设想要的新向量是： xnew=(9 10 0 5) 下列的三种方法都可以给出想要的结果： xnew=x; xnew(3)=0；xnew(4)=5;xnew=x 0 5; t=0 5; xnew=x t; 5 (b) 以下两种方法可以对矩阵 A 扩展一个新行，如向量 z： Anew1=A; z ,Anew1=A; 13 14 . 它们在屏幕上显示的结果如下： Anew1= 12 24 1314 有时还可以对矩阵添加多个新行： Anew2=A；x；z;0 0 (c) 对矩阵 A 扩展一个新列，如 y，可以这样做： Anew3=Ay 或者或者Anew3=A11；12 (d) 对矩阵 A 扩展一个矩阵的操作是相似的，输入命令： Anew4=A; B , Anew5=AB 对于 Anew4 来说，它的列数一定等于矩阵 A 和 B 的列数； 而对于 Anew5 来说，它的行数一定等于矩阵 A 和 B 的行数. (e) 改变矩阵的元素 A(3,3)=15矩阵 A 的（3，3）元素变为 15 A(2,:)=1 0矩阵 A 的第 2 行变为10 A(2,:)= 删除 A 的第二行 (f) 为了生成规则的矩阵块可以下列的方式使用命令 repmat. 6 例例 2 repmat(1 0; 0 1,3,3)返回一个由1 0; 0 1组成的 6 阶矩阵 repmat(1 0,1,5)得到：得到：返回一个由1 0组成的 10 维行向量 如果要创建一个所有元素都是同一个值的矩阵，可以使如果要创建一个所有元素都是同一个值的矩阵，可以使 用命用命 repmat(42,2 2)返回一个由 42 组成的 2 阶矩阵 第四节第四节字符串（第二章）字符串（第二章） 在 MATLAB 中可能会遇到对字符和字符串的操作.字符串能 够显示在屏幕上，也可以用来构成一些命令，这些命令在其他的 命令中用于求值或者被执行. 一个字符串是存储在一个行向量中的文本，这个行向量中的 每一个元素代表一个字符.实际上，元素中存放的是字符的内部 代码，也就是 ASCII 码.当在屏幕上显示字符变量的值时，显示 出来的是文本，而不是 ASCII 数字.由于字符串是以向量的形式 来存储的， 所以可以通过它的下标对字符串中的任何一个元素进 行访问. 字符矩阵也可以这样，但是它的每行字符数必须相同. 一、 输入格式 MATLAB 中的字符串用单引号来定义： Name OfVariable =text 这里的 text 可以是字母、数字和特殊字符 7 (a) 简单的分配方法， 如 name =John Smith， 在屏幕上就会有如 下显示：name = John Smith (b) 分配一个字符.如果(a)中变量 name 已存在，令 name (3)=a， 则会给出：name = Joan Smith (c) 将上例中的字符串 name 的元素前后互换位置，可以输入： for i=length(name):-1:1 enam(i)=name(length(name)+1-i); end enam 下面显示出字符串 eman 的值：eman = htimS naoJ (d) 在字符串中用两个单引号来表示一个单引号： whoscat=Joan“s cat 显示结果为：whoscat = Joans cat (e) 字符串的组成可以象数字矩阵一样： name1=Joan; name2=John ;heart=is in love with; sentence=name1,heart, ,name2 显示的结果为：sentence= Joan is in love with John 8 (f) 冒号表达式的使用和在数字矩阵中的使用情况一样： name=Charles Johnson；firstname= name(1:7) firstname = Charles 二、 字符串求值 MATLAB 命令可以以字符串的形式进行输入和存储.这些命 令字符串通过 eval 命令来求值. 命令集命令集 13字符串求值 eval (str)执行 str 中包含的 MATLAB 命令并返回结果. eval(str1, str2)执行 str1 中的 MATLAB 命令，如果没有错误就和执行 eval(str1)一样； 如果在对str1求值中第一个字符串是一个错误， 则对字符串 str2 进行求值，给出一个错误信息或者其他内容. g = inline (str ,arg1, arg2)从字符串 str 中建立一个叫内联的函数 g， 如存储在工作内存中的函数， 可以用 g (val1 ,val2 )来调用.函数 中参数的名字可以在字符串 arg1，arg2， 中给出，如果没有 给出，MATLAB 将从 str 中找出小写字母作为参数的名字. 例 3 b=1 2 3;k=2 2 2 ;x=1.2 1.5 1.2;str1=b.* sin(k.*x); y=eval(str1) y= 0.67550.28222.0264 g=inline(3*sin(x)+5*cos(y),x,y),b=g(pi,2*pi) 9 练习题练习题 1.建立新矩阵建立新矩阵 已知已知(5)Amagic，求，求 ( ),( ),( ),2),( ,2),( , 2)diag Adiag diag Adiag diag Adiag Adiag A ( ),( ),( ,1),( , 2),( , 2)triu A tril A triu Atriu Atril A (3,2), (:,2), (4,:)AAA (2:3,3:4), (:), (:,:)AAA 2.2. 计算下列各题，已知计算下列各题，已知(4)Amagic，(1 2 3 4)x A的行和、列和，的行和、列和，A的迹、秩，的迹、秩，A的大小的大小 A的特征值、特征向量及的特征值、特征向量及 1 AA 12 ,AAA 12 ,xxx 3 已知已知(4)Amagic，(4)Bones， (1 2 3 4),(5 6 7 8)xy ，建立建立 下列矩阵：下列矩阵： 在在A的左边增加一列的左边