线性系统的状态空间描述(1).ppt

线性系统理论基础 第一章,线性系统的状态空间描述,内容与要点,什么是状态空间模型? 状态 状态空间 状态轨迹 状态空间模型 如何建立状态空间模型?（限定线性时不变系统） 根据物理规律建立（机械系统与电气系统） 已有的其它模型转化为状态空间模型 高阶微分方程 方框图 传递函数,例1：一个简单的RLC电路（P7图2.3）,一、状态空间模型的概念,二、状态空间模型的建立,例2：小车-倒立摆例子,非线性!,一、状态空间模型的概念,状态变量（简称状态） 用于描述系统时间域行为的一组变量 完全描述：若给定这组变量在当前时刻的值，以及从当前时刻开始的输入值，则系统从当前时刻开始的行为完全确定 最小变量组: 变量组中所有变量是相互独立的,一、状态空间模型的概念,状态向量（也简称为状态）,一、状态空间模型的概念,状态空间 状态轨迹,一、状态空间模型的概念,状态空间模型 状态方程: 由输入变量与状态变量构成的一阶微分方程组 ; 输出方程: 由状态变量和输入变量表示的输出变量的代数表达式 .,一、状态空间模型的概念,线性系统及其状态空间模型,一、状态空间模型的概念,时不变（定常）线性系统状态空间模型,以后的研究重点放在定常线性系统的研究上！,一、状态空间模型的概念,注意1：关于状态变量的选择 机械系统和电气系统中状态变量的选择 一般选择系统中储能元件上与储能有关的参量 电气系统中：电感中的电流、电容上的电压等 机械系统中：弹性元件的位移、速度、加速度等。 状态的选择不为一，可能具有明确的物理含义，也可以没有物理含义,一、状态空间模型的概念,状态空间模型与传递函数模型的比较 信号表示的不同 传递函数模型中为频域信号 状态空间模型中为时域信号 反映系统的信息不同 传递函数只描述输入输出信息 状态空间模型还描述系统内部状态信息 模型描述实际对象的范围不同 传递函数只能描述时不变线性对象 状态空间模型可以描述时变和非线性对象,一、状态空间模型的概念,注意2：关于状态空间模型 状态空间描述是一种内部结构描述方式，是系统的一种完全描述。 状态方程描述了系统状态的变化与输入的关系 输出是状态与输入的线性组合，常常是可观测量或者需要控制的量 状态变量的个数 n 是一个固定值，叫做系统维数 实际系统一般建模为非线性系统，研究时通常需要在操作点附近进行线性化，变为线性模型。,二、状态空间模型的建立,根据物理规律建立状态空间模型,线性化,例2：小车-倒立摆例子,二、状态空间模型的建立,用一阶微分方程组表示系统模型！,引入新的变量,二、状态空间模型的建立,向量表示,二、状态空间模型的建立,状态空间模型的线性化,二、状态空间模型的建立,例3：质量-弹簧-阻力器系统,二、状态空间模型的建立,二、状态空间模型的建立,例4：有源RLC电路,二、状态空间模型的建立,二、状态空间模型的建立,微分方程模型转化为状态空间模型 (单输入-单输出情况) 情况1：输入u不含导数,二、状态空间模型的建立,二、状态空间模型的建立,写成向量形式,二、状态空间模型的建立,二、状态空间模型的建立,回顾：微分方程与传递函数的关系,L变换 与反变换,L变换 与反变换,二、状态空间模型的建立,情况2：输入u存在导数,拉氏变换,二、状态空间模型的建立,等价变换,引入中间变量,拉氏变换,传递函数,等价分解,二、状态空间模型的建立,二、状态空间模型的建立,拉氏反变换,二、状态空间模型的建立,y用x代替,拉氏反变换,向量形式,二、状态空间模型的建立,写成向量形式,二、状态空间模型的建立,二、状态空间模型的建立,应用MATLAB: 函数 tf 和 ss,num=1 2 1;den=1 3 2 1; G=tf(num,den); Gss=ss(G) a = x1 x2 x3 x1 -3 -0.5 -0.25 x2 4 0 0 x3 0 1 0 b = u1 x1 1 x2 0 x3 0 c = x1 x2 x3 y1 1 0.5 0.25 d = u1 y1 0 Continuous-time model.,第二次课小结及作业,小结 状态空间模型的概念： 状态，状态空间，状态轨迹，状态空间模型 状态空间模型建立 从物理规律建模（机械系统、电气系统） 高阶微分方程转化为状态空间模型 右边没有u的导数情况 右边有u的导数情况 作业 p.48: 1（1），2 （1）（3）,二、状态空间模型的建立,方框图的转化为状态空间模型 一个控制系统通常由多个部件互相连接组成，假设每个部件的状态空间模型已写出, 要求基于方框图信息建立整个系统的状态空间模型。 三类联接方式：并联、串联、反馈联接,二、状态空间模型的建立,并联,二、状态空间模型的建立,串联,二、状态空间模型的建立,反馈联接,二、状态空间模型的建立,应用Matlab 串联: A B C D=series(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2) G=ss(G1*G2) 并联: A B C D=parallel(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2) G=ss(G1+G2) 反馈联接 A B C D= feedback(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2) G=ss(feedback(G1,G2,Sign),二、状态空间模型的建立,G1=tf(1,1,2,1);G2=tf(1,1,1); Gs1=ss(G1);Gs2=ss(G2); G=ss(G1+G2) a = x1 x2 x3 x1 -3 -0.75 -0.125 x2 4 0 0 x3 0 2 0 b = u1 x1 1 x2 0 x3 0 c = x1 x2 x3 y1 1 0.75 0.25 d = u1 y1 0,G1=tf(1,1,2,1);G2=tf(1,1,1); Gs1=ss(G1);Gs2=ss(G2); G=ss(G1*G2) a = x1 x2 x3 x1 -3 -0.75 -0.03125 x2 4 0 0 x3 0 8 0 b = u1 x1 0.125 x2 0 x3 0 c = x1 x2 x3 y1 0 0 0.25 d = u1 y1 0,二、状态空间模型的建立,G1=tf(1,1,2,1);G2=tf(1,1,1); Gs1=ss(G1);Gs2=ss(G2); G=ss(feedback(G1,G2) a = x1 x2 x3 x1 -3 -0.375 -0.125 x2 8 0 0 x3 0 2 0 b = u1 x1 0.5 x2 0 x3 0 c = x1 x2 x3 y1 0 0.25 0.125 d = u1 y1 0,G1=tf(1,1,2,1);G2=tf(1,1,1); Gs1=ss(G1);Gs2=ss(G2); G=ss(feedback(G1,G2,-1) a = x1 x2 x3 x1 -3 -0.375 -0.125 x2 8 0 0 x3 0 2 0 b = u1 x1 0.5 x2 0 x3 0 c = x1 x2 x3 y1 0 0.25 0.125 d = u1 y1 0,二、状态空间模型的建立,基本单元的转化为状态空间模型,二、状态空间模型的建立,二、状态空间模型的建立,例: 已知系统方框图，求其状态空间模型,二、状态空间模型的建立,如何根据信号流关系直接写出状态空间模型 ?,二、状态空间模型的建立,基于基本模块的方框图的转化步骤 第1步：将各环节通过等效变换分解，使得整个系统由基本单元通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。 第2步：将每个基本单元的输出作为一个独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dxi /dt。 第3步：根据调整过的方块图中各信号的关系，写出每个状态变量的一阶微分方程，即得到该基本单元的状态方程。 第4步: 根据信号间的关系，写出整个系统的状态方程和输出方程。,二、状态空间模型的建立,二、状态空间模型的建立,例：某控制系统的方块图如图所示，试求出其状态表达方程。 第1步：转化方框图,二、状态空间模型的建立,第4步： 根据信号关系可得系统状态方程：,第2步：依次取各个积分器的输出端信号为系统状态变量x1 、 x2 、x3 、x4 ， 系统输出y = x1。,第3步：写出每个基本单元的状态方程,二、状态空间模型的建立,写成矢量形式，得系统动态方程为：,二、状态空间模型的建立,传递函数的转化(实现问题) 方法1、通过转化为微分方程,二、状态空间模型的建立,二、状态空间模型的建立,方法2：部分分式分解法-并联法,情况一：分母多项式只有单根,二、状态空间模型的建立,二、状态空间模型的建立,二、状态空间模型的建立,二、状态空间模型的建立,二、状态空间模型的建立,情况二：分母多项式只有一个重根 p,二、状态空间模型的建立,二、状态空间模型的建立,二、状态空间模型的建立,情况三：分母多项式既有单根也有重根,二、状态空间模型的建立,方法3：零极点分解法-串联法,二、状态空间模型的建立,二、状态空间模型的建立,二、状态空间模型的建立,应用MATLAB 函数 A, B, C, D = tf2ss (num, den) 函数 A, B, C, D = zp2ss (z, p, k),二、状态空间模型的建立, Num=0 0 1 0; Den=1 14 56 160; A,B,C,D = tf2ss(Num,Den) A = -14 -56 -160 1 0 0 0 1 0 B = 1 0 0 C = 0 1 0 D = 0,二、状态空间模型的建立,a = x1 x2 x3 x1 0 1.414 1.414 x2 0 -1 4 x3 0 0 -8 b = u1 x1 0 x2 0 x3 2 c = x1 x2 x3 y1 0.7071 0.5 0.5 d = u1 y1 0, z=-2 -5;p=0 -1 -8;k=1; Gz=zpk(z,p,k); Gs=ss(Gz),二、状态空间模型的建立, z=-2 -5;p=0 -1 -8;k=1 A, B, C, D = zp2ss (z, p, k) A = 0 0 0 1.0000 -9.0000 -2.8284 0 2.8284 0 B = 1 0 0 C = 1.0000 -2.0000 0.7071 D = 0,第三次课小结与作业,小结 方框图转化为状态空间模型 串联、并联、反馈联接时的转化 基于基本模块的方框图的转化 传递函数转化为状态空间模型（实现问题） 转化为高阶微分方程 并联法部分分式分解法 串联法零极点分解法 作业 P48-49: 3(1), 4(1), 5(b),三、线性系统的标准型,问题的提出 状态变量选择不唯一！同一对象有不同状态空间模型! 问题1：不同状态变量选择之间的关系？ 线性变换 问题2：怎样的状态变量是“好的”状态变量 ？ 标准型,内容要点 1、线性变换 线性变换下状态空间表达式 2、标准型 对角线标准型 约当标准型 模态标准型,三、线性系统的标准型,状态的线性变换 向量线性变换的定义,三、线性系统的标准型,系统在状态变换下的表达式,回顾： 线性代数知识,矩阵特征值与特征向量 矩阵A的特征多项式 矩阵A的特征方程 A的特征值,n阶矩阵有n个特征值； 实数矩阵的特征值为实数或共轭复数,回顾： 线性代数知识,矩阵A的相应于 特征向量 向量的线性无关性 矩阵A的相应于 广义特征向量,不同特征值对应的 特征向量线性无关,回顾： 线性代数知识,回顾： 线性代数知识,矩阵相似变换 相似变换化矩阵为对角阵的条件,回顾： 线性代数知识,回顾： 线性代数知识,对角标准型的特殊情况,回顾： 线性代数知识,回顾： 线性代数知识,回顾： 线性代数知识,相似变换化矩阵为约当矩阵,回顾： 线性代数知识,变换矩阵P的求法 情况一:,回顾： 线性代数知识,变换矩阵P的求法 情况二:,回顾： 线性代数知识,回顾： 线性代数知识,回顾： 线性代数知识,回顾： 线性代数知识,约当标准型的特殊情况,回顾： 线性代数知识,回顾： 线性代数知识,三、线性系统的标准型,线性系统的标准型 对角标准型,三、线性系统的标准型,三、线性系统的标准型,三、线性系统的标准型,回忆： 系统的传递函数与对角线标准型,三、线性系统的标准型,约当（Jordan）标准型只有一个特征根情况,三、线性系统的标准型,三、线性系统的标准型,三、线性系统的标准型,约当（Jordan）标准型一般情况,三、线性系统的标准型,三、线性系统的标准型,三、线性系统的标准型,三、线性系统的标准型,应用Matlab CSYS = canon(sys,modal), A=2,4,5;0,1,0;0,0,1; B=1;2;3; C=1,0,0;0,1,0;0,0,1; D=0; sys=ss(A,B,C,D); Csys=canon(sys,modal),a = x1 x2 x3 x1 2 0 0 x2 0 1 0 x3 0 0 1 b = u1 x1 24 x2 8.246 x3 15.3 c = x1 x2 x3 y1 1 -0.9701 -0.9806 y2 0 0.2425 0 y3 0 0 0.1961 d = u1 y1 0 y2 0 y3 0,三、线性系统的标准型,模态标准型 2阶系统的模态标准型,三、线性系统的标准型,三、线性系统的标准型,3阶系统的模态标准型,三、线性系统的标准型,小结与作业,小结 状态线性变换 标准型 对角标准型 约当标准型 摸态标准型 作业 P49: 6(1), 9(1), 10(2), 11(1),四、传递函数矩阵,传递函数矩阵的定义,四、传递函数矩阵,状态空间模型转化为传递函数矩阵,四、传递函数矩阵,四、传递函数矩阵,四、传递函数矩阵,四、传递函数矩阵,四、传递函数矩阵,四、传递函数矩阵,应用MATLAB num,den = ss2tf A,B,C,D,iu 说明: 对多输入的系统，必须具体化iu。例如，系统有3个输（u1,u2,u3），则iu必须为1、2或3中的一个，其中1表示u1, 2表示u2, 3表示u3。如果系统为单输入系统，则采用 num,den = ss2tf (A,B,C,D) 或 num,den = ss2tf (A,B,C,D,1),四、传递函数矩阵,例：试求下列状态方程所定义的系统的传递函数。 解：MATLAB将产生给定系统的传递函数为：,四、传递函数矩阵,MATLAB的求解过程为：,四、传递函数矩阵,例：设系统为 求其传递函数矩阵。 解：传递函数矩阵为 MATLAB求解过程如下：,四、传递函